De HSG Toan 820162017 12

Gọi K là giao điểm của AC và BE a Cho biết dạng của tứ giác OKO’I b Trung điểm M của OO’ di động trên đường nào c Xác định vị trí của I để OKO’I là hình vuông Bµi 5... Vế trái là tổng bì[r]

Đề thi học sinh giỏi lớp 8

Môn thi : toán

ĐỀ BÀI

Bài 1 Phõn tớch đa thức thành nhõn tử

a x7x2 1

b x3y3z3 3xyz

Bài 2 (3đ)Cho biểu thức:

A = (x +1

x −1

x +2006 x

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định

b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

Bài 3: (3đ)

a) Giải phơng trình: 2− x

2004 − 1=

1 − x

2005 −

x

2006 b) Tìm a, b để: x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho x2 + x + 1

Bài 4 (4đ) Cho điểm I di động trờn đoạn thẳng AB Trờn cựng một nữa mặt phẳng

bờ AB vẽ cỏc hỡnh vuụng AICD, BIEF Gọi O và O’ lần lượt là tõm của hai hỡnh vuụng đú Gọi K là giao điểm của AC và BE

a) Cho biết dạng của tứ giỏc OKO’I

b) Trung điểm M của OO’ di động trờn đường nào

c) Xỏc định vị trớ của I để OKO’I là hỡnh vuụng

Bài 5 Tỡm a, b, c thuộc Z biết

Bài 1 Phõn tớch đa thức thành nhõn tử

a

1 ( 1) (0,5)

= ( 1) ( 1) (0,5)

= ( 1)( 1) ( 1)

= ( 1)( 1)(

1) ( 1) (0,5) =( 1)( 1) (0,5)

b.x3y3z3 3xyz

3 3

3 ( ) 3 ( ) 3 (0,5) ( ) 3 ( ) (0,5)

(0,5)

Bài 2:

a) Điều kiện:

x ≠ ± 1

x ≠ 0

¿ {

¿

¿ ( 0,5đ)

b) A = ¿ ¿ ( 0,5đ)

= (x +1+ x − 1)(x +1− x+ 1)+ x2− 4 x −1

x +2006

x ( 0,5đ)

= 4 x + x2− 4 x −1

x +2006

x ( 0,5đ)

= x +2006

x ( 0,5đ)

c) Ta có: A nguyên ⇔ (x + 2006) ⋮ x ⇔2006 ⋮ x ( 0,25đ)

Vậy x là ước của 2006 và x ≠ ± 1 ( 0,25đ)

Bài 3

a) Ta có: 2− x

2004− 1=

1 − x

2005−

x

2006

2004 +1=

1 − x

2005+1 −

x

2006 +1 ( 0,5đ) ⇔ 2− x

2004 +

2004

2004=

1 − x

2005+

2005

2005 −

x

2006+

2006

2006 ⇔ 2006 − x

2004 =

2006 − x

2005 +

2006 − x

2004 2005 2006

( 0,5đ) ⇔ (2006 - x) = 0 ⇒x = 2006 ( 0,5đ)

b) Thực hiện phép chia đa thức, rồi từ đó ta tìm đợc:

2

2

2

-1

2-a 1

x b a

 

  

(1đ)

Suy ra

1 0 2 1

a

b a

a

b

 





  







 



 (0,5 đ)

2 1

x x

x +

a - 1

Bài 4 vẽ hinh 0,5 điểm

a DI  AC suy ra COI  900

tương tự KO I  ' 900 (0,5đ)

ID là tia phân giác của góc AIE

IF là tia phân giác của góc BIE

Mà AIE và BIE là hai góc kề bù

Suy ra ID  IF (1đ)

Tứ giác KOIO’ có 3 góc vuông nên

Nên là hình chữ nhật (0,25đ)

b AB cố định (0,25đ)

 45 0

 45 0

Suy ra đường thẳng AC VÀ BE cố định vậy K cố định (0,5)

M là trung điểm của OO’ nên M cũng là trung điểm của KI (0,25)

I di động trên cạnh AB nên M di động trên đường trung bình của tam giác AKB, song song với AB (0,5)

c Hình chữ nhật OKO’I là hình vuông khi và chỉ khi IO = IO’ (0,25)

'

  

 I là trung điểm của AB (0,25)

Bµi 5 Tìm a, b, c thuộc Z biết

2 2 2

2

4 3 2 0 (0,5) 3

3 3 2 1 0 (1)

3 1 1 0 (0,5)

          

Vế trái là tổng bình phương nên luôn 0 (0,5)

Vây để thỏa mãn yêu cầu của đề bài thì

2

    = 0 (0,5)

I

C D

O

O’

K

M

Vậy

0

2

1

1 0

b

a

a b

b c c











 





(0,5)