0,5đ Tứ giác MNPQ là hình bình hành suy ra MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O’ của mỗi đường.. 0,5đ Chứng minh tứ giác AQCN hình bình hành.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Đề chính thức
Môn: Toán - Lớp 8
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1 (5,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi a, b, c thuộc tập hợp số thực thì
a2 + b2 + c2 +3 2(a + b + c)
a2 + b2 + c2 +3 - 2(a + b + c) 0 (0,75đ)
a2 - 2a + 1 + b2 - 2b + 1 + c2 - 2c + 1 0 (0,75đ)
(a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2 0 ( đúng) (0,5đ)
đpcm
b) Phân tích đa thức thành nhân tử:
2x4 + 7x3 - 2x2 - 13x + 6
= 2x4 - 2x2 + 7x3 - 7x - 6x + 6 (0,5đ)
= 2x2( x2 - 1) + 7x( x2 - 1) – 6(x - 1) (0,5đ)
= (x - 1)( 2x3 + 9x2 + 7x – 6) (0,5đ)
= (x - 1)( 2x3 + 4x2 + 5x2 + 10x - 3x – 6) (0,5đ)
= (x - 1)(x +2)( 2x2 + 5x – 3) (0,5đ)
= (x - 1)(x +2) )(x +3)( 2x– 1) (0,5đ)
Bài 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:
23
166 21
195 19
220 17
241
x
23
166 (
) 3 21
195 (
) 2 19
220 (
) 1 17
241 (
23
258 21
258 19
258 17
258
23
1 21
1 19
1 17
1 (
258
x (0,5đ)
x 258 0 (0,25đ)
x258 (0,25đ)
b) A
2014
1 2013
1
5
1 4
1 3
1 2 1
1
2013 2
2012
2011
3 2012
2 2013
1
Ta có:
2013 2012 2011 2 1 2013 2012 2
Trang 2
2014 2014 2014
2013 2012 2
2014
2014 2013 3 2
(1đ)
2014
1 2013
1
5
1 4
1 3
1 2 1
2
1 3
1
2013
1 2014
1 2014
(0,5 đ)
Bài 3 ( 2,0 điểm)
Gọi x, y, z là số cây trồng được của các lớp 8A, 8B, 8C
Điều kiện: x, y, z N* (0,25đ)
Ta có
11
6
y
x và
10 7
z
x hay
77 42
y
60 42
z
x (0,5đ)
Suy ra:
60 77 42
z y x
và x + y + z = 358 (0,5đ)
179
358 60 77 42 60 77
x
(0,5đ) Lớp 8A trồng 42.2 = 84 cây
Lớp 8B trồng 77.2 = 154 cây (0,25đ)
Lớp 8C trồng 60.2 = 120 cây
Bài 4 ( 4,0 điểm)
Hình vẽ
a) Xác định vị trí điểm Q để tứ giác MNPQ là hình bình
hành
Từ P kẻ Px // MN cắt AD tại Q, suy ra Q là trung điểm
AD (0,5đ)
Nối MQ ta có: MQ // BD// NP (do t/c đường trung bình)
(0,5đ)
Suy ra, tứ giác MNPQ là hình bình hành
Vậy Q là trung điểm AD
b) Với điều kiện nào của AC và BD thì tứ giác hình vuông? Giải thích
- Chứng minh được tứ giác MNPQ là hình vuông
- Để MNPQ là hình chữ nhật thì MNP 1 vhay MN NP tức
AC BD (0,5đ)
- Để MNPQ là hình thoi thì MN = NP mà MN = ½ AC, NP = ½ BD
tức AC = BD (0,5đ)
- Để MNPQ là hình vuông thì AC, BD phải thỏa cả 2 điều kiện:
AC BD và AC = BD (0,5đ)
c) Tính tỷ số diện tích tứ giác MNPQ và diện tích tứ giác ABCD
Ta có: SAMQ = ¼ SABD; SBMN = ¼ SABC; SCNP = ¼ SCBD; SDPQ = ¼ SDCA (0,5đ)
Suy ra: SAMQ + SBMN +SCNP + SDPQ
= ¼ SABD + ¼ SABC + ¼ SCBD + ¼ SDCA
= ¼ ( SABD + SABC + SCBD + SDCA)
= ¼ ( 2 SABCD) =
x
Q
P
N M
B
A
D
C
Trang 3= ½ SABCD (0,5đ)
SMNPQ = SABCD - ½ SABCD = ½ SABCD (0,5đ)
Bài 5 ( 4,0 điểm)
Hình vẽ (0,25đ)
a) Chứng minh CPN AMQ c.g.cPN MQ 1 (0,75đ)
Chứng minh DQP BNM c.g.cQP NM 2 (0,75đ)
Từ (1) và (2): Tứ giác MNPQ là hình bình hành (0,25đ)
b) Tứ giác ABCD là hình bình hành suy ra AC và BD cắt
nhau tại trung điểm O của mỗi đường (0,5đ)
Tứ giác MNPQ là hình bình hành suy ra MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O’ của mỗi đường (0,5đ)
Chứng minh tứ giác AQCN hình bình hành (0,5đ)
Suy ra: hai đường chéo AC và NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (0,25đ)
Suy ra: OO' hay bốn đường thẳng AC, BD, MP, NQ đồng quy (0,25đ)
Ghi chú: Thí sinh có thể giải theo cách khác Nếu đúng vẫn cho trọn số điểm theo qui
định của từng bài
- HẾT -
O' O M
Q
P