Cho tam giác ABC cân ở A, từ trung điểm H của cạnh đáy BC hạ đường vuông góc HE trên AC.. Gọi O là trung điểm của HE.[r]
Trang 1UBND Huyện Krông Pa
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2010- 2011
Môn: Toán Lớp 8
Thời gian: 130 phút(không kể thờii gian phát đề)
-II./ PHẦN TỰ LUẬN(17,0đ)
Bài 1(3,0đ).
a) Cho x2 + y2 + z2 = xy + yz + xz Chứng minh rằng: x = y = z
b) Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6(với n Z)
Bài 2(2,0đ) Cho hai phân thức:
A =
2008
2009
; B =
2009 2010
Hãy so sánh A và B
Bài 3(3,0đ) Cho M =
a) Rút gọn phân thức M;
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M
Bài 4(2,0đ) Giải phương trình:
2010 2009 2008 2007 2006 2005
Bài 5(2,0đ) Cho x > y > 0 Chứng minh rằng:
Bài 6(5,0đ)
Cho tam giác ABC cân ở A, từ trung điểm H của cạnh đáy BC hạ đường vuông góc HE trên AC Gọi O là trung điểm của HE Chứng minh OA BE
Trang 2
UBND Huyện Krông Pa
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2010 – 2011
Môn: Toán Lớp 8
I/ Phần trắc nghiệm(3,0đ) Mỗi câu khoanh tròn đúng được 0,5đ.
Câu 1-D, Câu 2- B, Câu 3- A, Câu 4- B, Câu 5- C, Câu 6- D
II/ Phần tự luận(17,0đ)
Bài 1(3,0đ)
a) x2 + y2 + z2 = xy + yz + xz
2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2xz
2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy - 2yz - 2xz = 0
(x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2yz + z2) + (y2 – 2xz + z2 ) = 0
(x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 = 0
(x – y)2 = 0 và (x – z)2 = 0 và (y – z)2 = 0
x – y = 0 và x – z = 0 và y – z = 0
x = y và x = z và y = z
x = y = z
0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b) Ta có: n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1) = (n-1)n(n+1)
Vì n Z và n – 1, n, n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết
cho 2, một số chia hết cho 3 mà (2; 3) = 1; 2.3 = 6
Vậy: (n – 1)n(n +1) chia hết cho 6 hay n3 – n chia hết cho 6
0,5đ 0,25đ
0,25đ
Bài 2(2,0đ)
Đặt 992008 = m
Xét hiệu: C = A – B
=
2008 2009
–
2009 2010
= 2
=
2
2
=
2
=
2 2
Vì m > 0 nên 992m – 197m > 0 và (99m + 1)(992m + 1) > 0,
Suy ra:
2008 2009
>
2009 2010
hay A > B
0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
Trang 3Bài 3(3,0đ).
a) Ta có:
x4 + 2x3 + 8x + 16 = x4 + 4x3 + 4x2 – 2x3 – 8x2 – 8x + 4x2 + 16x+ 16
= x2(x2 + 4x + 4) – 2x(x2 + 4x + 4) + 4(x2 + 4x + 4)
= (x + 2)2(x2 – 2x + 4)
x4 – 2x3 + 8x2 – 8x + 16 = x4 + 4x2 – 2x3 – 8x + 4x2 + 16
= x2(x2 + 4) – 2x(x2 + 4) + 4(x2 + 4)
= (x2 + 4)(x2 – 2x + 4)
Do đó, M =
2 2
(x 2) (x 2x 4) (x 4)(x 2x 4)
2 2
(x 2)
b) Ta có: (x + 2)2 0 với mọi giá trị của x,
x2 + 4 4 với mọi giá trị của x
Do đó : M =
2 2
(x 2)
0 với mọi giá trị của x, Đẳng thức trên xảy ra khi x + 2 = 0 hay x = - 2 Vậy minA = 0 tại x = - 2
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ 0,25đ
Bài 4(2,0).
2010 2009 2008 2007 2006 2005
x+2011 x+2011 x 2011 x+2011 x+2011 x+2011
x+2011 x+2011 x 2011 x+2011 x+2011 x+2011
0
(x + 2011)
0
2010 2009 2008 2007 2006 2005
x + 2011 = 0, vì
0
2010 2009 2008 2007 2006 2005
x = - 2011
0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ
0,25đ 0,25đ
Bài 5(2,0đ)
Do x > y > 0 nên x + y 0 Theo tính chất cơ bản của phân số ta có:
(1)
Mặt khác, do x, y > 0 nên x2 + 2xy + y2 > x2 + y2
Vậy,
(2)
0,25đ
0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ
Trang 4Từ (1) và (2) ta suy ra:
Bài 6(5,0đ)
Kẻ BK AC, gọi I là giao điểm của AO và BE
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AH cũng là đường cao
nên AH BC
Xét AHE và BCK, có Ê = Kˆ = 1v
A
E H KBC (cùng phụ Cˆ)
Nên AHE BCK(g.g)
Suy ra:
E
A HE
BK CK
mà HE // BK(cùng vuông góc với AC) và HB = HC(gt), suy ra KE = KC
Do đó: HE = 2OE; CK = 2EK
Nên
2
BK EK EK
Mà AEO và BKE là các tam giác vuông
Do đó AEO ~ BKE(c.g.c)
Suy ra AOE BEKˆ ˆ
Mà BEK BEO 1v nên A O BEOEˆ ˆ 1v => EIOˆ 1v
Hay OI IE
Vậy OA BE
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
0, 5đ
0,5đ
0,75đ
0,75đ 0,25đ 0,25đ