Định lí 1 Định lí cơ bản về số nguyên tố: Mọi số nguyên dương n, n > 1, đều có thể được viết một cách duy nhất không tính đến việc sắp xếp các nhân tử dưới dạng:.[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ II SỐ NGUYÊN TỐ
I SỐ NGUYÊN TỐ:
1 Lí thuyết:
Để kiểm tra một số nguyên a dương có là số nguyên tố hay không ta chia số nguyên tố từ 2 đến a Nếu tất cả phép chia đều có dư thì a là số nguyên tố
Ví dụ 1: Để kiểm tra số 647 có là số nguyên tố hay không ta chia 647 lần lượt
cho các số 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 các phép chia đều có dư khi đó
ta kết luận số 647 là số nguyên tố
Ví dụ 2 : Chỉ với các chữ số 1, 2, 3, hỏi có thể viết được nhiều nhất bao nhiêu số
tự
nhiên khác nhau mà mỗi số đều có ba chữ số ? Hãy viết tất cả các số đó
Giải:
Các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ 3 số 1; 2; 3 là: 27 số
111; 112; 113; 121; 122; 123; 131; 132; 133;
211; 212; 213; 221; 222; 223; 231; 232; 233 311; 312; 313; 321; 322; 323; 331; 332; 333;
Ví dụ 3: Trong tất cả n số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có bảy chữ số, được viết ratừ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thì có k số chia hết cho 5 và m số chia hết cho 2
Hãy tính các số n, k, m
Giải:
Ví dụ 4
Trang 2Bài 4: Có 3 thùng táo có tổng hợp là 240 trái Nếu bán đi
2
3 thùng thứ nhất ;
3 4
thùng thứ hai và
4
5 thùng thứ ba thì số táo còn lại trong mỗi thùng đều bằng nhau
Tính số táo lúc đầu của mỗi thùng ? Điền các kết quả tính vào ô vuông :
Thùng thứ ba là
Giải:
Gọi số táo của 3 thùng lần lượt là: a; b; c (quả) Điều kiện 0a b c; ; 240
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
240
a b c
240
1 1
3 4
1 1
4 5
a b c
240
1 1
0 0
3 4
1 1
4 5
a b c
Giải hệ phương trình này ta được: a = 60 ; b = 80; c = 100
Vậy Thùng thứ nhất có 60 (quả); Thùng thứ hai có 80 (quả); Thùng thứ ba có 100 (quả)
2 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
|a| |shift| |sto| |A|
xem A có chia hết cho 2, cho 3 hay không? (chuyện này đơn giản)
lấy A chia cho 3: A/3 =
Ấn tiếp: A/(A/Ans+2)
Sau đó ấn = = = để kiểm tra, khi số trên màn hình hạ xuống dưới căn A thì ngưng
II Định lí 1 (Định lí cơ bản về số nguyên tố):
Trang 31 2
1e 2e e k,
k
np p p
với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn:
1 < p1 < p2 < < pk
Khi đó, dạng phân tích trên được gọi là dạng phân tích chính tắc của số n.
Bài 1: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:
A = 2152 + 3142
H Dẫn:
- Tính trên máy, ta có: A = 144821
- Đưa giá trị của số A vào ô nhớ A : 144821 SHIFT STO A
- Lấy giá trị của ô nhớ A lần lượt chia cho các số nguyên tố từ số 2:
ANPHA A 2 = (72410,5)
ANPHA A 3 = (48273,66667)
tiếp tục chia cho các số nguyên tố: 5, 7, 11, 13, ,91: ta đều nhận được A không chia hết cho các số đó Lấy A chia cho 97, ta được:
ANPHA A
97 = (1493) Vậy: 144821 = 97 x 1493
Nhận xét: Nếu một số n là hợp số thì nó phải có ước số nguyên tố nhỏ hơn
n
để kiểm tra xem 1493 có là hợp số hay không ta chỉ cần kiểm tra xem 1493
có chia hết cho số nguyên tố nào nhỏ hơn 1493 40 hay không
- Thực hiện trên máy ta có kết quả 1493 không chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn 40 1493 là số nguyên tố
Vậy A = 2152 + 3142 có ước số nguyên tố nhỏ nhất là 97, lớn nhất là 1493
Bài 2: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:
A = 10001
Trang 4
Đáp số: A có ước số nguyên tố nhỏ nhất là 73, lớn nhất là 137
Bài 16: Số N = 27.35.53 có bao nhiêu ước số ?
Giải:
- Số các ước số của N chỉ chứa thừa số: 2 là 7, 3 là 5, 5 là 3
- Số các ước số của N chứa hai thừa số nguyên tố:
2 và 3 là: 7x5 = 35; 2 và 5 là: 7x3 = 21; 3 và 5 là: 5x3 = 15
- Số các ước số của N chứa ba thừa số nguyên tố 2, 3, 5 là 7x5x3 = 105 Như vậy số các ước số của N là: 7 + 5 + 3 + 35 + 21 + 15 + 105 + 1 = 192
III Định lí 2 (Xác định số ước số của một số tự nhiên n):
Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử khi phân tích n ra thừa số nguyên tố ta được:
1 2
1e 2e e k,
k
np p p
với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn:
1 < p1 < p2 < < pk
Khi đó số ước số của n được tính theo công thức:
(n) = (e1 + 1) (e2 + 1) (ek + 1)
Bài 3: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học
2003-2004)
Hãy tìm số các ước dương của số A = 6227020800
Giải:
- Phân tích A ra thừa số nguyên tố, ta được:
A = 210.35.52.7.11.13
Áp dụng định lí trên ta có số các ước dương của A là:
(A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584
Bài 4: (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm 2004):
Trang 5- Phân tích N ra thừa số nguyên tố, ta được:
N = 25 x 34 x 55 x 7 x 11 x 79 x 167 x 179 x 193 x 389 x 977
Áp dụng định lí 2, ta có số các ước dương của N là:
(N) = 6 x 5 x 6 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 46080
Trang 6
Trang 7