tong hop cac dang toan ve giai tich 12 co loi giai

Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến  d... Lập phương trình các tiếp tuyến đó.. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung

+ Bài toán về tiếp tuyến với đường cong:

Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến có dạng: yf x'  0 x x 0y0

1 Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M x y 0; 0thuộc đồ thị hàm số (tức là tiếp tuyến duy nhất nhận M x y 0; 0làm tiếp điểm).

Phương trình tiếp tuyến với hàm số  C : yf x  tại điểm M x y 0; 0   C

( hoặc tại x x 0) có dạng: yf x'  0 x x 0y0

2 Lập phương trình tiếp tuyến  d với đường cong đi qua điểm A x y A; Acho trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua điểm A x y A; A)

Cho hàm số  C : yf x  Gỉa sử tiếp điểm là M x y 0; 0, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: yf x'  0 x x 0y0  d

Điểm A x y A; A   d , ta được: y A f x'  0 x A x0y0  x0

Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến  d

3 Lập phương trình tiếp tuyến  d với đường cong biết hệ số góc k

Cho hàm số  C : yf x  Gỉa sử tiếp điểm là M x y 0; 0, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: yf x'  0 x x 0y0  d

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến  d là nghiệm của phương trình:

f x' 0  k x0, thay x0 vào hàm số ta được y0 f x 0

Ta lập được phương trình tiếp tuyến yf x'  0 x x 0y0  d

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M x y 0; 0có hệ số góc k có dạng:

y g x  k x x.  0y0  d

Điều kiện để đường thẳng y g x   tiếp xúc với đồ thị hàm số yf x 

là hệ phương trình sau có nghiệm:    

   







Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến  d

6/ Cho hàm số y x 3 3x22  C

a/ Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị  C , từ điểm 23; 2

9

M  

b/ Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C , biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng   : 3x 5y 4 0 .

Giải:

a/ Gỉa sử tiếp điểm là M x y 0; 0 , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

 d :yy x'  0 x x 0y0   d :y3x02 6x0 x x 0x03 3x022 1 

Điểm 23; 2

9

M  

  thuộc  d , ta được:

0 2

x  thay vào  1 ta được tiếp tuyến  d1 :y 1 2

Với x 0 3 thay vào  1 ta được tiếp tuyến  d2 :y9x 25

Với 0

1

3

x  thay vào  1 ta được tiếp tuyến  3

:

d y x b/ Đường thẳng   : 3x 5y 4 0 có hệ số góc 3

5 Từ giả thiết , ta có: ' .3 1

5

Với 1

1

3

x  ta được tiếp tuyến  1  1

d y x y   d y x

Với 2

5

3

x  ta được tiếp tuyến  2  2

d y x y   d y x

7/ Cho hàm số y x 4 x2  C

Chứng tỏ rằng qua điểm A  1;0có thể kẽ được ba tiếp tuyến đến  C Lập phương trình các tiếp tuyến đó.

Giải:

Gỉa sử tiếp điểm là M x y 0; 0 Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

d yf x x x y  d y x  x x x x  x

Điểm A  1;0thuộc  d , ta có:

2

3

Với x 0 1 thay vào  1 ta được tiếp tuyến  d1 :y2x 2

Với x 0 0 thay vào  1 ta được tiếp tuyến  d2 :y 0

Với 0

2

3

x  thay vào  1 ta được tiếp tuyến  3

:

Chọn Lọc Các Bài Toán Thường Gặp Về Đồø Thị trong kỳ thi Tuyển Sinh Đại Học, Cao Đẳng các năm gần đây

Bài 1 Cho hàm số 2 1 

x y x







a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1 .

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A B, và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O .

(Đại Học Khối A năm 2009)

Đáp số: yx 2.

Bài 2 Cho hàm số y2x4 4 x2  C .

a/ Khảo sát vẽ đồ thị  C

b/ Với các giá trị nào của m , phương trình x x2 2  2 m có đúng 6 nghiệm phân biệt?

(Đại Học Khối B năm 2009)

Đáp số: m 0; 1

Bài 3 Cho hàm số y x 4 3m2x23 m C m, m là tham số.

a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m 0

b/ Tìm m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị C m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

(Đại Học Khối D năm 2009)

Đáp số: 1; 1 ; 0

3

m   m

Bài 4 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng yx m cắt đồ thị hàm số y x2 1

x





tại hai điểm phân biệt A B, sao cho AB 4.

(Đại Học Khối B năm 2009)

Đáp số: m2 6; m2 6

Bài 5 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y2x m cắt đồ thị hàm số

y x2 x 1

x

 

 tại hai điểm phân biệt A B, sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.

(Đại Học Khối D năm 2009)

Đáp số: m 1.

Bài 6 Cho hàm số y4x3 6 +1 1x2  .

a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số  1

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M  1; 9 .

(Đại Học Khối B năm 2008)

Đáp số: Các tiếp tuyến cần tìm là: 24 15; 15 21

y x y x

Bài 7 Cho hàm số y x 3 3 +4 1x2  .

a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số  1

b/ Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I1; 2 với hệ số góc k k   3 đều cắt đồ thị của hàm số  1 tại ba điểm phân biệt I A B, , đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB .

(Đại Học Khối D năm 2008)

Bài 8 Cho hàm số 2  

1

x

x





a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C .

b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc  C , biết tiếp tuyến của  C cắt 2 trục Ox Oy, tại A B,

và tam giác OAB có diện tích bằng 14.

(Đại Học Khối D năm 2007)

Đáp số: 1 2 

1

; -2 ; 1; 1 ; 2

Bài 9 Cho hàm số y2x3 9x212x 4  C

a/ Khảo sát vẽ đồ thị  C

b/ Với các giá trị nào của m , phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:

3 2

2 x  9x 12x 4m (Đại Học Khối A năm 2006)

Đáp số: m 4; 5

Bài 10 Cho hàm số y x 3 3x2  C

a/ Khảo sát vẽ đồ thị  C

b/ Gọi  d là đường thẳng đi qua điểm A3; 20 và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng  d cắt đồ thị  C tại 3 điểm phân biệt.

(Đại Học, Cao Đẳng Khối D năm 2006)

Đáp số:

15 4 24

m m











2

x

 





Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C , biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của  C ?

(Đại Học, Cao Đẳng Khối B năm 2006)

Đáp số: Phương trình 2 tiếp tuyến cần tìm là: yx2 2 5;  yx 2 2 5.

Bài 12 Cho hàm số  

1

x

 





Tìm các điểm trên đồ thị  C mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị  C vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của  C ?

(Cao Đẳng Y Tế I năm 2006)

Bài 13 Cho hàm số 2 1  

2

x

  



Tìm các giá trị m để đường thẳng y m cắt đồ thị  C tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa chúng bằng 12?

(Cao Đẳng Sư Phạm Hải Dương năm 2006)

Đáp số: m4; m4

Bài 14 Cho hàm số y2x3 3x21  C

a/ Khảo sát vẽ đồ thị  C

b/ Tìm m để đường thẳng y mx 1, m là tham số cắt đồ thị  C tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương.

(Cao Đẳng Sư Phạm Trà Vinh năm 2006)

Đáp số: 9; 0

8

m  

Bài 15 Cho hàm số 1 3 2 1  

m

a/ Khảo sát vẽ đồ thị khi m 2

b/ Gọi M là điểm thuộc C m có hoành độ bằng  1 Tìm m để tiếp tuyến của C m tại điểm M song song với đường thẳng 5x y 0.

(Đại Học, Cao Đẳng Khối D năm 2005)

Đáp số: m 4

Bài 16 Cho hàm số 3  

2

x

x







Chứng minh rằng đường thẳng y12x m luôn cắt  C tại hai điểm phân biệt A B, Xác định m sao cho độ dài AB là nhỏ nhất?

(Cao Đẳng Kinh Tế Kỷ Thuật I năm 2005)

Đáp số: m 2

Bài 17 Cho hàm số yx33x2  C

a/ Khảo sát vẽ đồ thị  C

b/ Tìm m để phương trình x3 3x2m 6 0 có 3 nghiệm phân biệt.

(Cao Đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2005)

Đáp số: m 2; 3

Bài 18 Cho hàm số 1  

1

x

x







Xác định m để đường thẳng y2x m luôn cắt  C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho các tiếp tuyến của  C tại A B, song song nhau?

(Cao Đẳng Sư Phạm TP Hồ Chí Minh năm 2005)

Đáp số: m 1

2 2 2

1

x





Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C , biết tiếp tuyến đó song song với đường

4

y x ?

(Cao Đẳng Khối A-B năm 2005)

Đáp số: Phương trình 2 tiếp tuyến cần tìm là: 3x 4y 7 0; 3 x 4y 1 0

Bài 20 Cho hàm số

2 3 3

1

y

x



 , m là tham số Tìm m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số  1 tại hai điểm phân biệt A B, sao cho AB 1?

(Đại Học , Cao Đẳng Khối A năm 2004)

Đáp số: 1 5; 1 5

Bài 21 Cho hàm số 1 3 2  

3

y x  x  x C

a/ Khảo sát vẽ đồ thị  C

b/ Viết phương trình tiếp tuyến  của  C tại điểm uốn và chứng minh rằng  là tiếp tuyến của  C có hệ số góc nhỏ nhất.

(Đại Học , Cao Đẳng Khối B năm 2004)

Đáp số: Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn: yx38

Bài 22 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2 2

(Học Viện Kỷ Thuật Quân Sự năm 2000)

Đáp số: 4 2 1

3

S    

  (đvdt)

Bài 23 Cho hình phẳng  D giới hạn bởi các đường yx 2 , 2 y4 Tình thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng  D khi nó quay quanh:

a/ trục Ox ; b/ Trục Oy

(Đại Học Hàng Hải năm 2000)

Đáp số: a/ V 2565  (đvtt) ; b/ V 1283  (đvtt)

Bài 24

a/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 2x2, y x 24x5, y1

b/ Cho hình phẳng  D giới hạn bởi các đường y 4 x2, y x 22 Quay hình phẳng  D

quanh trục Ox , ta được vật thể tròn xoay Tính thể tích vật thể đó.

(Đại Học Thủy Sản năm 2000)

Đáp số: a/ 21

4

S  (đvdt) ; b/ V  16 (đvtt)