*Chú ý: Ở mỗi phần, học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa..[r]
Trang 1UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
- ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - 1
MÔN TOÁN 8 Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
A ĐỀ BÀI
Bài 1 ( 2 điểm ):
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x3(x2 - 7 )2 - 36x b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh:
A= n3(n2 - 7 )2 - 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n
Bài 2 ( 2 điểm ):
Cho biểu thức A = (1− x3
1 − x − x): 1 − x
2
1− x − x2
+x3 với x khác -1 và 1
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x ¿−12
3
c, Tìm giá trị của x để A < 0
Bài 3 ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2004.
Tính : M =
2004
Bài 4 (4 điểm ) : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB , BC Gọi P giao điểm của AN với DM
a) Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông
b) Tính diện tích của tam giác APM
c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân
Bài 5 ( 1 điểm ): Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : x2 = y2 + 2y + 13.
- HẾT
Trang 2-UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
-HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8
1
a) x3(x2 - 7 )2 - 36x = x[( x3 - 7x)2 - 36]
= x(x3 - 7x - 6)( x3 - 7x+ 6 ) = x(x3 - x - 6x - 6)( x3 - x - 6x + 6 )
= x[x(x - 1 )( x + 1) - 6( x+ 1)][ x(x - 1 )( x + 1) - 6( x- 1)]
= x(x + 1 )(x2 - x - 6)(x - 1 )( x2 + x - 6 )
= x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 +3x - 2x - 6 )
= x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 + 3x - 2x - 6 )
= x(x + 1 )( x - 1 )[(x(x - 3 ) + 2( x - 3 )][(x(x + 3 ) - 2( x + 3 )]
= x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 )
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
b) Theo phần a ta có :
A = n3(n2 - 7 )2 - 36n
= n(n + 1 )( n - 1 ) (n - 3 )(n + 2 ) ( n - 2 )( n + 3 )
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp Trong 7 số nguyên liên tiếp có :
- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2
- Một bội của 3nên A chia hết cho 3
- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5
- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7
Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A ( 2.3.5.7 )
Hay A 210
0,25
0,25
2
a) Với x khác -1 và 1 thì :
A=1− x
3
− x +x2
1− x :
(1− x)(1+x) (1+x)(1 − x +x2)− x (1+x) =
(1 − x)(1+x +x2− x)
(1 − x )(1+ x) (1+x )(1− 2 x + x2
)
= (1+x2): 1
(1− x) = (1+x2
)(1 − x )
0,25
0,25
b) Tại x = −12
3 = −
5
3 thì Acó giá trị là ¿
5 1 )(
9
25 1
( ¿34
9 .
8
3=
272
27 =10
2
27
0,25
0,25
c) Với x khác -1 và 1 thì A< 0 khi và chỉ khi (1+x2)(1 − x )<0 (1)
Vì 1+x2
>0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 − x <0⇔ x >1
KL
0,25 0,25
3
Thay 2004 = abc vào M ta có :
2 2 2
1
1
1 1 1
M
ab a bc abc bc b abc ac c
ac c
ac c
0,25
0,25 0,25 0,25
1 1
P M
Trang 3a) Chứng minh ∆ADM =∆BAN ( cgc )
=>
A D
Mà D 1M 1900( ∆ADM vuông tại A )
Do đó: A1M 1 900=> APM 900.Hay ∆APM vuông tại P
0,75 0,25 0,25
b) Tính được : AP =
4 5 ( )
5 cm
AM =
2 5 ( )
5 cm
SAPM =
2
4 ( )
5 cm
0,5
0, 5 0,25
c) Gọi I là trung điểm của AD Nối C với I; CI cắt DM tại H
Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành
=> AN // CI mà AN DM nên CI DM
Hay CH là đường cao trong ∆CPD (1)
Vận dụng định lý về đường trung bình trong ∆ADP chứng minh được H
là trung điểm của DP => CH là trung tuyến trong ∆CPD (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∆CPD cân tại C
0,5 0,25 0,25 0,25
5 Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng ( x + y + 1)( x - y - 1) = 12
Lập luận để có x + y + 1> x - y - 1 và x + y + 1; x - y - 1 là các ước
dương của 12 từ đó có các trường hợp :
2
2
2
2
Mà x; y nguyên dương nên ( x; y) = ( 4; 1)
KL
0,25 0,25
0,25
0,25
*Chú ý: Ở mỗi phần, học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa.
1
H