[r]
Trang 1PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng 1: Đặt x = u(t) u() = a ; u() = b
b
a
f (x).dx
= f[u(t)].u (t).dt
Ví dụ 1: Tính tích phân sau :
a)
1
2
0
1 x dx
Đặt x = Sin t dx = Cos t.dt t [
2
; 2
]
Khi x = 0 t = 0
x = 1 t = /2
1
2
0
1 x dx
0
/ 2
1 Sin t.cos t.dt
0
/ 2
cos t cos t.dt
=1
2
0
/ 2
(1 cos 2t).dt
2(t+sin 2t
2 ) / 2
0
=1
2(
2
+sin
2
)=
4
b)
1
2
0
dx
1 x
Đặt x = tant dx = (tan2 t+ 1).dt ; t (
2
; 2
)
Khi x = 0 tan t =0 t = 0
x = 1 tan t = 1 t = /4
I =
2 2 0
/ 4
(tan 1).dt (tan 1)
0
/ 4
dt
/ 4 0
=
4
c)
3
2
2
0
dx
1 x
Đặt x = Sin t dx = Cos t.dt t (
2
; 2
)
Khi x = 0 t = 0
x = 3
2 t = /3
3
2
2
0
dx
1 x
2
Cos t.dt Cos t.dt
dt Cos t
1 Sin t
/3 0
=
3
Khi x = 1 t = 0
x = e t = /6
Dạng 2: Đặt : t = v(x) => dt = v/(x).dx
Khi đó biến đổi f(x) thành một biểu thức có dạng g[v(x)].v/(x)
Đổi cận : x = a t = v(a)
x = b t = v(b)
Trang 2f (x).dx
v(a )
g[v(x)].v (x).dx
Ví dụ 2: Tích các tích phân sau :
a)
3
2
1
x 3 2x dx
Đặt t =3+2x2 => dt = 4xdx => dt
4 =x.dx Khi x = 1 t = 5
x = 3 t =9
3
2
1
x 3 2x dx
4
9
5
t dt
4.
2 3
3
t 9
5=1
6(27
3
5 )
b)
1
2
1
3
-x
x e dx
Đặt t = x3 => dt = 3x.dx => dt
3 =x.dx Khi x = 1 t = 1
x = 1 t = 1
1
2
1
3
-x
x e dx
3
1 t 1
e dt
3e
t 1 1
=1
3.e
1
+1
3e=
1
3(e
1
e)
c)
3
e
e
dx
x ln x
Đặt t =lnx => dt =1
x dx Khi x = e t = 1
x = e3 t = 3
3
e
e
dx
x ln x
3
1
dt
t
=ln t
3
1=ln3
d)
1
2
0
6x 2
.dx
Đặt t= 3x2 2x+7 => dt=(6x2).dx Khi x = 0 t = 7
x = 1 t = 8
1
2
0
6x 2
.dx
8
7
dt t
=ln t
8
7=ln8 ln7 Bài tập :
Bài 1: Tính các tích phân :
a)
1
5
(3x2) dx
6
(3x 2) 3.6
0 = 1
18
6
( 2) 18
=
Trang 3b) 2 6
0
x(x 1) dx
Đặt t =x2+1 => dt = 2xdx => dt
2 =x.dx Khi x = 0 t = 1
x = 1 t = 2
1
0
x(x 1) dx
2
2 6 1
t dt
2
7
t 7
2
1=
7
2
14
1 14
c)
2
7
1
(2x 1) dx
8
(2x 1) 2.8
1=
8
5
16
8
3 16
d)
0
2
1
x x 3.dx
Đặt t =x2 +3 => dt = 2xdx => dt
2 =x.dx Khi x = 1 t = 4
x = 0 t =3
0
2
1
x x 3.dx
2
3
4
t dt
2.
2 3
3
t 3
4=1
3( 27 8)
e)
/ 2
0
Sinx
dx
1 3Cosx
Đặt t = 1+3cosx dt =3sinx.dx => dt
3 =sinx.dx Khi x = 0 t = 4
x = /2 t = 1
/ 2
0
Sinx
dx
1 3Cosx
3
1
4
dt t
3ln t
1
4=1
3ln1+
1
3ln4=
1
3ln4
f)
0
/ 2
2 1 Cosx Sinx.dx
Đặt t = 1+cosx dt =sinx.dx => dt=sinx.dx
Khi x = 0 t = 2
x = /2 t = 1
0
/ 2
2 1 Cosx Sinx.dx
1
2
t dt
3
3
t 1
2=4
3+
4
3 8
g)
/ 4 tanx
2
0
e
dx
Cos x
Đặt t = tanx => dt = 12
cos x dx Khi x = 0 t = 0
x =/ 4 t = 1
/ 4 tanx
2
0
e
dx
Cos x
1 t 0
e dt
1
0 =e1
Trang 4h)
2
e
e
dx
x ln x
Đặt t =lnx => dt =1
xdx Khi x = e t = 1
x = e2 t = 2
2
e
e
dx
x ln x
2
1
dt
t
=ln t
2
1=ln2 Bài 2: Tích các tích phân sau :
a)
e 3
1
6 2ln x
dx x
Đặt t =6+2lnx => dt =2.1
x dx =>
dt
2 =
1
x dx Khi x = 1 t = 6
x = e t = 8
e 3
1
6 2ln x
dx
x
2
8 3 6
t dt
2.
3 4
3 t4
8
6= 3
8(16
364 )
b)
/ 2
3 / 2
Cosx Cos x.dx
/ 2
2 / 2
Cosx(1 Cos x).dx =
/ 2
/ 2 Cosx sin x dx
=
0
/ 2
Cosx sin x dx +
/ 2
0 Cosx sin x dx
=
0
/ 2
Cosx sin x.dx +
/ 2
0 Cosx.sin x.dx
Đặt t= cosx => dt = sinx.dx => dt =sinx.dx
Đổi cận : Khi x = /2 t = 0
x = 0 t = 1
x = /2 t = 0 I=
1
0
t dt
0
1
t dt
1
0
t dt
3
3
t 1
0 =4 3
c)
/ 9
2
/ 12
2dx
3.Cos 3x
3.
1
3tan3x
/ 9 /12
=2
9(tan3
tan 4
)=2
9( 3 1)
d)
9
2
5
x.dx
Đặt t =x2+144 dt =2x.dx=>dt
2 =x.dx Khi x = 5 t = 169
x = 9 t = 225
Trang 52
5
x.dx
=1
2
225
169
dt t
2ln t
225
169=1
2(ln225ln169) =ln15ln13
e)
ln 3 x
x
0
e
.dx
5 e
Đặt t = 5+ex dt =ex.dx
Khi x = 0 t = 6
x =ln3 t = 8
ln 3 x
x
0
e
.dx
5 e
8
6
dt t
=ln t
8
6=ln8ln6
f)
5
1
x x 1.dx
Đặt t= x 1 => x=t2 +1 => dx =2t.dt
Đổi cận : Khi x = 1 t = 0
x = 5 t = 2
5
1
x x 1.dx
2 2 0
(t 1).t.(2t.dt)
2
0
(2t 2t ).dt
5
2t
5 +
3
2t
3 )
2
0 =
6
2
5 +
4
2 3
g)
2
4
dx
x
2
2
2
=> x=42t2 => dx =4t.dt
Đổi cận : Khi x =4 t = 2
x = 2 t = 1
2
4
dx
x
2
2
1
2
4t.dt t
2
1
dt
2
1=4(21)=4
h)
/ 6
0
1 4Sinx.Cos x.dx
Đặt t = 1+4Sin x dt =4Cos x.dx => dt
4 =cosx.dx Khi x = 0 t = 1
x = /6 t = 3
/ 6
0
1 4Sinx.Cos x.dx
4
3
1
t dt
4.
2 3
3
t 3
1=1
6( 27 1)
i)
1
e
.dx
x
Đặt t = x => dt = 1
2 x dx => 2dt=
1
x .dx Khi x = 1 t = 1
Trang 6x = 4 t = 2
1
e
.dx
x
2
t 1
e dt
2
1 =2e2 2e
Bài 3: a)
2
3
0
Sin x.dx
0
/ 2 sin x.sin x.dx
0
/ 2 (1 cos x).sin x.dx
Đặt t = cos x dt =sinx.dx
Khi x = 0 t = 1
x = /2 t = 0
2
3
0
Sin x.dx
0
2 1
(1 t )( dt)
1 2 0 (1 t ).dt
3
t
3 )
1 0
=11
3=2
3
b)
/ 2
0
Sin x.Cos x.dx
/ 2
0
Sin x.Cos x.sin x.dx
/ 2
0
(1 cos x)Cos x.sin x.dx
Đặt t = cos x dt =sinx.dx
Khi x = 0 t = 1
x = /2 t = 0
/ 2
0
(1 cos x)Cos x.sin x.dx
0
2 2 1
(1 t ).t ( dt)
1
2 4 0
(t t ).dt
3
t
3
5
t
5 )
1 0
=1
31
5= 2
15
c)
/ 2
5
0
Sin x.dx
0
/ 2 (1 cos x) sin x.dx
Đặt t = cos x dt =sinx.dx
Khi x = 0 t = 1
x = /2 t = 0
/ 2
5
0
Sin x.dx
0
2 2 1
(1 t ) ( dt)
1
2 2 0
(1 t ) dt
1
2 4 0
(1 2t t ).dt
=(t
3 5
2t t
)
3 5
1 0
= 8/15
d)
/ 3
/ 4
dx
Cosx
/ 3
/ 4
dx sin( x) 2
/ 3
/ 4
dx
Trang 72 / 4
dx
Đặt t= tan(
4
x
2) => dt= 2
1 x
Đổi cận Khi x = /3 t = tan
12
x = /4 t = tan
8
/ 3
2 / 4
dx
tan 12
tan 8
dt t
tan 8
tan 12
dt t
=ln t
tan( / 8) tan( /12)
=ln(tan
8
) ln(tan
12
)
e)
/ 4 2
4
0
Sin x
.dx
Cos x
/ 4 2
0
Cos x Cos x =
/ 4 2
2 0
1
Cos x
Đặt t = tan x dt =
2
1 dx Cos x
Khi x = 0 t = 0
x = /4 t = 1
/ 4
2
2
0
1
1 2 0
t dt
3
t 3
1 0
= 1
3
f)
/ 4
5
0
tan x.dx
Ta có : tan5x = (tan3xtanx)(tan2x + 1 ) + tanx
/ 4
5
0
tan x.dx
/ 4 0 (tan x tanx)(tan x 1 )dx
0
/ 4 tan x.dx
/ 4
0
(tan x tanx)(tan x 1)dx
/ 4 0 (tan x tanx).d(tanx)
= (
4
tan x
2
tan x
4 / 0
=1
41
2=1
4
J =
/ 4
tan x.dx
/ 4 d(Cosx) Cosx
= ( ln Cosx)
4 / 0
= ln 2 1 ln2
Trang 8Vậy :
/ 4
5
0
tan x.dx
4 2
g) I=
/ 4
0
Sin x.Cos x.dx
/ 4
0
Sin x.Cos x.dx
/ 4
0
Sin x.Cos x.(Sin x Cos x).dx
/ 4 0
Sin x.Cos x.dx
=1
4
/ 4
2
0
Sin 2x dx
/ 4 0
1 Cos4x dx
4 / 0
=
32
2
1 Sin x.Cos x.(Cos x Sin x).dx Sin 2x.Cos2x.dx
4
=
/ 4 2 0
1 Sin 2x.d(Sin2x) 8
3
Sin 2x 24
4 / 0
=
24 1
24
1 32
( 2
1
và J = )
24
1 32
( 2
1
h)
3
3
1
x x 1.dx
Đặt t= 3x 1 => x=t3 +1 => dx =3t2.dt
Đổi cận : Khi x = 1 t = 0
x = 3 t =
3
3
1
x x 1.dx
3 2
0
(t 1).t.(3t dt)
3 2
0
(3t 3t ).dt
7
3t
7 +
4
3t
4 )
3 2 0
=12
7 .
32 +3
2.
32 =45
14
32
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số khi f(x) có chứa dạng sau :
a x đặt x= a.Sin t với t [
2
; 2
]
hoặc đặt x = a.Cos t với t [0 ; ]
a x hoặc (a2 + x2 ) đặt x = a.tan t với t (
2
; 2
)
Cos t với t [0;]\2
Bài 4 : a)
1
2
dx
1 x
Đặt x = tant dx = (tan2 t+ 1).dt ; t (
2
; 2
)
Trang 9Khi x = 0 tan t =0 t = 0
x = 1 tan t = 1 t = /4
I =
2 2 0
/ 4
(tan 1).dt (tan 1)
0
/ 4
dt
/ 4 0
=
4
b)
2
2
0
dx
4 x
Đặt x = 2Sin t dx = 2Cos t.dt
Khi x = 0 t = 0
x = 2 t = /4
2
2
0
dx
4 x
2
2Cos t.dt 2Cos t.dt
dt 2Cos t
4 4Sin t
4 / 0
= /4
c)
1
0
x 4 x dx
Đặt x = 2Sin t dx = 2.Cos t.dt
Khi x = 0 t = 0
x = 1 t = /6
1
0
x 4 x dx
0
/ 6
8.Sin t 4 4Sin t.Cos t.dt
0
/ 6
16 Sin t Cos t Cos t.dt
0
/ 6
1 Sin 2t.dt 4
0
/ 6
2 (1 Cos 4t).dt
= 2(t 1 Sin 4t) /
4
4
3
3
d)
4
3
2
4
x
.dx
x 4
Đặt t=x2 4 => dt= 2x.dx => dt
2 =x.dx Đổi cận : Khi x = 4 t = 12
x = 4
3 t = 4/3
4
3
2
4
x
.dx
x 4
2
4 / 3
12
dt t
4 / 3
12 = 2
3 12 =
4 3
e)
1
x 1 x dx
1
x 1 x x.dx
Trang 10Đặt t=1+x2 => dt= 2x.dx => dt
2 =x.dx ; và x
2
=t1 Đổi cận : Khi x = 0 t = 1
x = 1 t = 2
1
0
x 1 x x.dx
2
2
1
(t 1) t dt
2
2
3 / 2 1
(t t ).dt
2(
5/ 2
t
5 / 2
2 3
3
t ) 2 1
=1
2(
2
5
5
t 2
3
3
t ) 2
1=(1 5
5
2 1 3
3
2 )(1
5
1
3)=
2 2
15 +
2 15
f)
2
1
x 4 x dx
Đặt x = 2Sin t dx = 2.Cos t.dt
Khi x = 1 t = /6
x = 2 t = /4
2
1
x 4 x dx
/ 6
/ 4
8.Sin t 4 4Sin t.Cos t.dt
/ 6
/ 4
16 Sin t Cos t Cos t.dt
/ 6
/ 4
1 Sin 2t.dt
4
/ 6
/ 4
2 (1 Cos 4t).dt
= 2(t 1 Sin 4t) / 4
4
1
4sin) 2(
6
1
4sin2
3
)=5
6
+ 3
4
g)
1
2
2
0
x.dx
1 x
Đặt t=1x2 => dt= 2x.dx => dt
2 =x.dx Đổi cận : Khi x = 0 t = 1
x = 1/2 t = 3/4
1
2
2
0
x.dx
1 x
2
3/ 4
1
dt t
3 / 4
1 = 3
2 +1
h)
1
2
0
x.dx
1 x
Đặt t=1+x2 => dt= 2x.dx => dt
2 =x.dx Đổi cận : Khi x = 0 t = 1
x = 1 t = 2
1
2
2
x.dx
1 x
2
2
dt t
2
1 = 2 1
Trang 11Bài 5 :
a)
e
2 1
dx
x 1 (ln x)
Đặt ln x = Sin t dx
x = Cos t.dt
Khi x = 1 t = 0
x = e t = /6
e
2
1
dx
x 1 (ln x)
2
Cos t.dt Cos t.dt
dt Cos t
1 Sin t
b)
2
2
4
0
x.dx
1 x
Đặt x2 = Sin t 2x.dx = Cos t.dt => x.dx=1
2cost.dt Khi x = 0 t = 0
x = 2
2 t = /6
2
2
4
0
x.dx
1 x
0
/ 6
Cos t.dt
1 Sin t
2 0
/ 6
Cos t.dt Cos t
2 0
/ 6
dt
2.
6
= 12
c)
1
2
4
0
x.dx
1 2x
Đặt 2x2 = Sin t 2 2x.dx = Cos t.dt => x.dx= 1
2 2cost.dt Khi x = 0 t = 0
x = 1
2 t = /4
1
2
4
0
x.dx
1 2x
0
/ 4
Cos t.dt
1 Sin t
2 2 0
/ 4
Cos t.dt Cos t
2 2 0
/ 4
dt
2 2 4