CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN NÂNG CAO
I> TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
DẠNG I:
∫b +
a
dx b ax
x
p )(
a
dx b x
+
α
.
1 Phương pháp :
* nếu p(x) có bậc lớn hơn 1 cần phải tách phần nguyên cho biểu thức
+Viết
b x a
A x
g b
x
a
x
p
+ +
=
.
)
(
trong đó g(x) là đa thức + ∫b +
a
dx b
ax
x
p )(
= ∫b +∫ +
a
b a
dx b x a
A dx
x g
)
(
VD: Tính các tích phân sau:
1
1 0
1 0
3 2
dx 3 x
x 3) dx 3 x
1 x x 2)
dx
1
x
1
x
1)
HD;
1)Ta viết
1 x
2 1 1 x
1 x
+
−
= +
−
3
2 2 1 2 2 1 3 2 2 1
2 1 x 2 x dx 1
x
2
1
2
1
ln ln
ln
−
=
+
−
∫
−
− +
=
−
−
−
=
−
−
−
3 x 2
1 1 x 2 4
1 3
x
4 x x 4
1 3 x
1 x
.
8
1 2
1 0
1 3 x 2
1 x x 4
1 dx 3 x
1 1 x
2
4
1
1
0
ln
=
−
− +
= ∫
− + + +
=
27 9 x x 8
1 3 x 2
Từ đó ;
+
3 16
27
24
40
3 16
27 3
40 8
1 0
1 3 x 2
27 x x 3
x 8
1 dx 3 x
27 9 x x 4 8
1 dx
3
x
0 2 1
0
3
ln
ln ln
−
=
−
=
− +
+ +
=
− + + +
=
∫
Bài tập tự luyện phương pháp ;
Tính các tích phân sau:
dx 2 x
1 x x c) dx 3 x 2
5 x b)
dx
x
1
2
x
3
a
2 0
2 3
1
1 0
2
∫
)
Trang 2DẠNG II
b
a
n dx
b
x
a
x
p
)
(
Phương pháp ; Ta dặt t= a.x+b từ đó ta có : dt= adx và
a
b t
x= − VD; Tính tích phân ∫1 ( ++)
0
2 dx 3 x
1 x
Đặt t= x+3 →dt=dx, x=t - 3
5 3
4 2 dt t
5 t
2 dt t
5 t 2 dx 3
x
1 x
3
2 4
3 2 1
0
−
=
−
= +
+
∫
∫
DẠNG III: ∫b + +
a
c bx x a
x p
.
) (
Ta phân làm 3 trường hợp
* Trường hợp1 :
ax 2 +bx +c = 0 có hai nghiệm thực phân biệt
Giả sử ax2 +bx +c= 0 có hai nghiệm x1 , x2
+ Khi đó cần xét :
a) p(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2
Ta cần tách phần nguyên của biểu thức và viết phân thức ở dạng sau:
c bx x a
C c
bx x a
b x a 2 B A c
bx
x
a
x
p
2 2
+ +
= +
.
)
(
Đưa về việc tính ∫b + +
a
x a
dx
.
Để tính tích phân đó ta làm như sau:
+ Biến đổi ax2 +bx+c = a(x- x2)(x-x1)
+Áp dụng phương pháp đồng nhất thức ta được: ( − 2)( − 1) = 2 − 1 − 2 −x−x 1
1 x
x
1 x x
1 x
x x x 1
+ Từ đó ta có ;
b x x
x x x x
C c
bx x a B x A dx c
bx
x
a
x
p
1
2 1
2 2
b
a
.
)
(
−
−
− + + + +
= +
+
∫
b) Nếu p(x) có dạng mx+n
+∫b ++ +
a
c bx
x
a
n
mx
. ta cần tìm A,B sao cho : mx+n=A(2ax +b) +B
Từ đó :
+
+
a 2 2
b
a
dx B
a
b c bx x a A dx c bx
x
a
n
mx
.
ln
b x x
x x x x
B a
b c bx x a A dx c bx
x
a
n
mx
1
2 1
2 2
b
a
−
− + + +
= +
+
+
.
Trang 3*
Trường hợp 2 :
ax 2 +bx +c = 0 có nghiệm kép
Khi đó ta có thể viết : ax2 +bx+c = ( )2
x+ β
α Và ta đặt ẩn phụ t =( x ) dt =dx
α
→ β + α
Và có x=
α
β
−
t
* Trường hợp3:
ax 2 +bx +c = 0 vô nghiệm
Chú ý rằng khi đó ta có thể biến đổi : ax2+bx +c =
+
a a
b x a
a a
b
x+ = − ∆ tan với t
−π π
∈
2
2; để tính tích phân ∫b + +
a
x a
dx
.
VD1:
Tính tích phân sau; ∫
0 1 2
2
dx 6 x x
x
=I
Ta có :x2 - 5x +6 = 0 có hai nghiệm x= 2, x=3
+ Trước hết ta có :
6 x x
6 x 5 1 6 x x
x
2 2
2
+
−
− +
= +
− + Mặt khác ta cần tìm A,B sao cho; 5x-6 = A(2x-5)+B
Ta có:
x = 0 → −6= −5 A+B,
x=
2
13 B
2
5
=
→
10
25
A=
→
−
−
− +
+
−
− +
= +
−
+
2 x
1 3 x
1 2
13 6 x x
5 x 10
25 1 6
x
5
x
x
2 2
2
+Vậy
8
9 2
13 2
1 10
25 1 0
1 2 x
3 x 2
13 6 x x 10
25 x
− +
+
− +
=
VD2; Tính tích phân I= ∫3 +−
2
1 x
2 x 3
Xác định A ,B sao cho 3x+2 =A(2x) + B
+ Ta có ; với x= 0 B= 2 , x= -1 thì -1= -2A +B
Giải hệ ;
+
−
=
−
=
B A 2 1
B 2
+ vậy ta có ; A = 3/2 , B = 2
+ Từ đó ; ∫3 −+
2
1 x
2 x
−
3 2 2 3
2
dx 2 dx 1 x
x 2
3
1 x
1 1 x
1 2
3 1 x 2
2
2
+
−
− +
−
ln
=
2
3
3
8
2
3
ln
ln +
Trang 4VD3;
Tính tích phân ; ∫1 − − +
0 2
2
dx 4 x x
3 x
Ta có nhận xét ; x2 -4x+4=(x-2)2 + ta đặt t= x-2 →x=t+2 , dt= dx
2
3 2
1 t
1 t 4 t dt t
1 t
4 1 dt t
1 t
4
2
2 1
2
2
2
ln
−
−
=
+ +
= + +
∫
−
−
−
VD 4;
Tính tích phân sau; I = dx
5 x x
1 x 2
1 1 2
∫
+
+ Ta cần phân tích :
5 x x
1 x
+ bằng phương pháp đồng nhất thức + Ta tìm A, B sao cho 2x+1 = A (2x+ 2) +B
+x= 0 → 1=2A+B, x= -1→ B=-1
Giải hệ :
−
=
=
→
=
−
+
=
1 B
1 A B
1
B A 2 1
5 x 2 x
1 x
2
1
1
2
∫
+
−
−
= + +
−
− + +
= + + +
+ +
1 2 2
1 1
1 1 2
5 x x
dx 1
1 5 x 2 x 5 x x
dx dx
5 x x
2 x
ln ln
+ Để tính tích phân: J = ∫
1 1
x
dx
ta làm như sau:
Biến đổi : x 2 + x+5=(x+1)2 +4 vàđặt x+1=2tant , dx=2(1+ tan2 t)dt
đổi cận : x= -1 → t=0, x= 1→t =
4
π
+ ∫
1
1
x
dx
π
=
= +
+
4 0
4 0 2
2
8
dt 2
1 t 1
4
dt t 1
2
tan
tan Đ/s: Vậy I =ln2 -
8
π
VD5: Tính tích phân sau I = ∫
+
0
1
2 dx
1 x x
3 x 4
+ Ta tìm A,B sao cho : 4x+3 = A(2x+1) +B
Bẳng phương pháp đồng nhất thức ta tìm được A= 2, B= 1
= +
= +
− + +
= + +
+ + +
+
0
1
0 1
2 2
1
0 1 x x 2 1 x x
dx dx
1 x x
1 x
∫
+
=
1
2
4
3 2
1
x
dx
J
2
3 dx t 2
3 2 1
Đổi cận : x= -1
6
t=−π
6
t= π
→
3 2 3 3
3 2 dt t 1
4
3
t 1
2
3
6
2
2
π
=
π
= +
+
= ∫
π
π
tan
tan
Trang 5Bài tự luyện :
Tính các tích phân sau:
Bài 1:
∫
+ +
+ +
+
+
−
+ +
+ +
+ +
+ + +
+
+
1
0
1 0
2 1
5
5 6
4 2
3
1 0 2
2 3 1
0
1 0
1 0
2 3
dx x 1 x
x -1 7)
dx 1 x 1 x 6)
dx 2 x x x 1 x 5 dx 9 x x 1 x 10 x x 4)
dx 3 x 2 x 3 x 3)
dx 1 x 4x 2)
dx 3 x 9 x 1 ) ) ( ) x (1 x )dx 1 x 8)
dx 1 x 1 x 7)
dx 3 x x 4 4x 6)
dx 3 x x 4 5 2 x x dx 4)
dx 1 x x 3)
dx 5 x x 3 2)
dx x 4 x 1 0 2 0 -1 1 0 3 1 2 6 6 4 2 2 2 2 1 0 1 0 2 1 0 0 -1 2 2 4 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − + + + − + − + − + + + − − − − ) ) II > TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỶ THƯỜNG GẶP DẠNG I:∫ n ++ d cx b x a x R , . dx Phương pháp giải : Ta thường đặt d cx b x a t n + + = . VD; Tính tích phân sau: I=∫1 +− 0 dx x 1 x 1
Ta đặt 2 ( 2)2 2 2 t 1 t 4 dx t 1 t 1 x x 1 x 1 t x 1 x 1 t + − = → + − = ↔ + − = ↔ + − =
Vậy; I= ∫ ( + ) = ∫ + − ∫ ( + ) = +
1
0
1 0
2 1
0
1 2
2 2
2 2
2
I 4 I 4 dt t 1
1 4 t 1
dt 4 dt t 1
t 4
Để tính I1,I 2 dùng cách là đổi biến lượng giác đặt t = tanu ta được :
I= ∫π( ) =π∫ = π
+
+
= 4
0
4 0 2
2 1
4 du du
u 1
u 1
I
/
tan tan
Để tính I2 ta biến đổi + =∫ ( + ) =
1 0
2 2 2
t 1
dt I
+
=
= +
= +
+
4
0
4 0
4 0 2 4
0
2 2
2
2
du u 2 s co 1 2
1 du u du
u 1
1 du
u
1
u
1
cos
tan tan
tan
=
4
1 8 2
1 4 2
1 0
4 u 2 2
1
u
2
1
+
π
=
+ π
=
π
+ sin
2
1
2− = π−
π
−
π
Trang 6Chú ý:
Nếu tích phân có dạng : dx
x a
x a x
(
∫ +− người ta thường đặt x = a.cos2t + Nếu vậy tích phân trên có thể tính như sau:
Đặt x= cos2t →dx= −2sin2 tdt
Và ta có :
t 2 s co 1
t 2 s co 1 2 dx
x
1
x
0
4 0 2 4
0
4 0
1
∫
π π
π π
−
=
=
= +
−
=
+
.
2 0
4 t 2
2
1
t
π
− sin
+
+
+
r n
m
d cx
b x a d x c
b x a x
.
, trong đó m,n, s, r là các số nguyên dương ,a,b,c,d là
hằng số
Phương pháp ta thường đặt t= k
d x c
b x a
+
+
. với k = BSCNH của các mẫu số( n,s ) VD; Tính tích phân :∫2 + −
1
dx 1 x 1
x
=I
Ta đặt t= x−1→2 tdt =dx, đổi cận x= 1→ t=0, x=2 → t=1
+
− +
−
=
+
+
1
0
1 0 2
2
2 4 3
11 dt t 1
2 2 t t 2 dt t 1
1 t
t
VD2: Tính tích phân;
I =∫
+
−
0
dx 1 x
1
1 x
1
Ta đặt t= 6 x+1→6 t 5 dt =dx đổi cận : x= -1→ t=0, x= 0 → t=1
+
− + +
−
− + +
−
= +
−
1
0
2 3 4 5 7 1
0
2 2
3 4 6 2
8
5
0
1 t 2
t 3
t 4
t 5
t 7
t 6 dt 1 t
1 t 1 t t t t t 6 dt t
1
t
t
+ ( )
2
3 2 3 70
199 1 t
dt 6 1 t
1 t d 3
1 0 2 1
0 2
+
− +
+
∫
Bài tập tự luyện :
Tính các tích phân sau:
0
2 63
0
1
0 3
3
1 x 3 x
dx 3)
1 x 2 1 2x
dx 2)
dx
2
x
1
x
1)
DẠNG III: ∫R(x, a.x 2 +bx+c)dx trong đó a,b,c là các số thực, a≠ 0
Phương pháp : Ta dùng phương pháp lượng giác hoá bằng cách biến đổi ,
Trang 7ax2 +bx+c =
−
a
ac 4 b a
b x
a
b
để đưa về một trong các dạng sau;
(x t )dt
+ , Thì ta đặt t =αtanu
+∫R(x, α2 −t 2)dt Thì ta đặt t =αsinu
+∫R(x, t 2 − α2)dt Ta đặt
u
1 t
cos
=
Chú ý:
nhiều khi lượng giác hoá gặp khó khăn cần sử dụng phương pháp đại số hoá
sử dụng các phép biến đổi của Euler
+ Nếu a >0 đặt a.x 2 +bx+c =t± a x
+Nếu c > 0 đặt a.x 2 +bx+c =tx± c
+nếu ax2 +bx+c =0 có nghiệm x1, x2 thì đặt a.x 2 +bx+c =t(x−x 1) hoặc đặt
x
Chú ý :
a
x
2
+
Vd1: Tính tích phân sau I= ∫
1
dx
+ Ta biến đổi : x 2 −2 x+5=(x−1)2 +4
Đặt x-1 =2tant→dx=2(1+ tan2 t)dt, đổi cận x= 1 ta có t=
-4
π , x=1 ta có t =
4
π I=
4
4 t 1
t 1 2
1 t d t 1
1 t
1
1 2
1 dt t 1
st co dt
st co
1 dt
st
co
1
2
t
4
4
4 2
4
4
4
4
2
π
−
π
−
+
=
+
+
−
=
−
=
=
+
∫
∫
π
π
π
π
π
π
π
sin ln sin
sin sin
sin
.
.
tan
= ln( 2+1)
Ta nhận thấy bằng cách đặt đổi biến lượng giác như vâyh có phần phức tạp nếu ta đổi biến đại
số thì sao?
+ Ta thử đổi biến bằng phép biến đổi sau
Đặt x 2 − x+5 = (x−1)2 +4 =t−(x−1)
+ Khi đó
5 x x
dx t
dt dx 5 x 2 x
1 x 1
dt
2
+
−
− +
= + Đổi cận : x=-1→t=2( 2−1), x= 1 → t= 2
( ∫ )
−
+
=
= 2
1
2
2
1 2 t
dt
Trang 8DẠNG IV : ( )
c bx x
a
dx n mx
2
. Bàng phương pháp đồng nhất thức ta tìm A,B sao cho : (mx+n) =A( a+b)+B
+ Từ đó ta có ;
+∫ ( ++ ) + dx
c bx x
a
dx n mx
R
2
+ +
+
c bx x a
dx B
dx c bx x a
b a A
2
.
Như vậy ta được tích phân quen thuộc đã biết cách tìm
VD: Tính tích phân: ( )
∫1 ++ +
dx 4 x
+ Ta tìm A, B sao cho : x+4 =A(2x+4) +B
Bằng phép đồng nhất thức hai vế được A=
2
1
, B= 2 + khi đó ; ∫1 ( ++ ) +
dx 4 x
=
5 2
10 3 2 5 10 5
x x
dx 2
5 x x
5 x x d 2
1 1
0
1
2
2
+
+ +
−
= + +
+ + +
+ +
.
) (
Bài tập tự luyện
Tính các tích phân sau:
∫
−
-2 3
0
1
2
dx 4 -7x c) 5 x 12 x
dx 1 x 2 b)
2 x
x
dx
2
x
1)
DẠNG V: ∫ (mx+n) a dx.x 2 +bx+c (m2 +n2 ≠ 0)
Phương pháp ; ta đặt t=mx+n hoặc mx n
t
Ta cũng có thể đặt t= a.x 2 +bx+c hoặc a x bx c
t
1 = 2 + + , ngoài ra ta cũng có thể đổi biến bằng lượng giác
VD; Tính tích phân : I=
∫
2 1
2
dx
+ Ta biến đổi :I=
∫
2 1
2
dx
=
∫
−
+
=
− + +
2 1
2
2 1
2
3 x d 2
1 4 3 x 2 3 x
dx
t
dt 3
x 2 d 3 x
t
1
−
= +
→ +
+Đổi cận x=
4
1 t 2
1 x 2
1 t 2
Trang 9+ khi đó :I=
∫
2 1
2
dx
−
− 4
1
2 1
2 1
4
2
t 4 1
dt 2
1 4 t
1 t
dt 2
1
+ Bằng phép đỏi biến lượng giác : đặt t= u
2
1
sin , t=
2 u 2
1 t 6
u 4
,
+dt= udu
2
1
π
π
π
π
π
=
=
2
6
4
6
12
du 4
1 du u
u 4
1
cos cos
Bài tập tự luyện :
Tính các tích phân sau;
2
5
1 0
1
2
dx 3)
5 x x 1 x
dx 2)
4
x
x
dx
Trang 10
2