Đề cương hình học 11 chương 2

d Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệ

HÌNH HỌC 11

CHƯƠNG II

ĐỀ CƯƠNG

TỰ LUẬN TRƯỜNG THPT

CHUYÊN NGOẠI NGỮ

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ SONG SONG

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

I Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

1 Các tính chất thừa nhận:

a) Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước

b) Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hang cho trước

c) Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên mặt phẳng

d) Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó

e) Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng

2 Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó

II Hai đường thẳng song song

1 Trong không gian qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó

2 Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song

3 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)

4 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

III Đường thẳng và mặt phẳng song song

1 Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng  P và song song với một đường thẳng nào đó trên  P thì a song song với  P

2 Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P thì mọi mặt phẳng  Q chứa a mà cắt mặt phẳng  P thì cắt theo giao tuyến song song với a

3 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó

IV Hai mặt phẳng song song

1 Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung

2 Nếu mặt phẳng  P chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng

 Q thì  P và  Q song song với nhau

3 Qua một điểm ngoài mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó

4 Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  Q thì có duy nhất một mặt phẳng  P chứa a

và song song với  Q

5 Nếu hai mặt phẳng  P và  Q song song với nhau thì mọi mặt phẳng  R đã cắt  P thì phải cắt  Q và các giao tuyến của chúng song song

6 Định lí Ta – Lét: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

7 Định lí Ta – Lét đảo: Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a lần lượt lấy A , B , C và

A , B , C sao cho AB BC CA

A C  B C C A

      Khi đó ba đường thẳng AA , BB , CC lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng

V Các cách xác định mặt phẳng

Một mặt phẳng được xác định nếu biết một trong các điều kiện sau đây:

1 Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

2 Mặt phẳng đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng ấy

3 Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng các nhau

4 Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song

VI Trọng tâm tứ diện

Ba đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện của một tứ diện đồng qui tại trung điểm G của mỗi đoạn Điểm G đó gọi là trong tâm tứ diện

VII Định lí Mê – nê – la - uýt

Nếu đường thẳng dcắt đường thẳng AB , AC, BC của ABC lần lượt tại A, B , C thì

1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng Tìm giao tuyến của đường thẳng và mặt phẳng

2 Xác định thiết diện

3 Chứng minh các điểm thẳng hàng; các điểm, các đường thẳng đồng qui

4 Các bài toán chứng minh hai đường thẳng chéo nhau, hai đường thẳng song song; đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song

5 Các bài có nội dung tính toán

6 Các bài có yếu tố chuyển động

a Chứng minh một đường thẳng đi qua một điểm cố định

b Chứng minh một mặt phẳng chứa một đường thẳng cố định

c Chứng minh một đường thẳng thuộc mặt phẳng cố định

d Tìm tập hợp giao điểm

HỆ THỐNG BÀI TẬP

§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Bài 11/50 SGK

Cho hình bình hành ABCD nằm trong mặt phẳng  P và một điểm S nằm ngoài  P Gọi

M là điểm nằm giữa S và A ; N là điểm nằm giữa S và B ; giao điểm của hai đường thẳng

AC và BD là O

a) Tìm giao điểm của mặt phẳng CMN với đường thẳng SO

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và CMN

Bài 1 Cho 4 điểm không đồng phẳng A , B , C, D Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC , BC

E là một điểm trên BD thỏa mãn ED EB

a) Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng MNE

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng MNE với các mặt phẳng ACD, ABD

Bài 2 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MBC và  NDA 

b) Cho I, J là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MBC và  IJD 

Bài 3 Cho hình chóp tam giác S ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác SBC Gọi E và F

tương ứng là hai điểm thuộc cạnh AB và AC sao cho EF không song song với BC

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MEF và SBC

b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác SAC sao cho NF cắt đoạn SA tại H Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MNF và SAB

Bài 4 Cho hình chóp SABCDcó đáy là tứ giác ABCD sao cho AB CD E   và AC BD F  

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng SAB và  SCD ; của SAC và  SBD 

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng SEF và mp SAD ; SBC

Bài 5 Cho hình chóp S ABCD Trong SBC lấy một điểm M , trong SCD lấy một điểm N

a) Tìm giao điểm của MN với mặt phẳng SAC 

b) Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng AMN 

Bài 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M N lần lượt là trung điểm của ,

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng SAM với mặt phẳng SBC

b) N là điểm thuộc cạnh AB Tìm giao điểm của SB với mặt phẳng DMN

Dạng 2: Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi một mặt phẳng

Bài 15/51 SGK

Cho hình chóp tứ giác S ABCD Ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SCnhưng không trùng với S, A, B, C Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng

A B C   

Bài 16/ 51 SGK Cho hình chóp S ABCD Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SBM và SAC

b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mp SAC 

c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp ABM 

Bài 8 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi I là trung điểm AD , J là điểm đối xứng với D

qua C; K là điểm đối xứng với D qua B

a) Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng IJK

b) Tính diện tích của thiết diện được tính ở câu a

Bài 9 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi E là trung điểm SB , G là trọng

tâm tam giác SAD Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD với:

a) Mặt phẳng CEG b) Mặt phẳng AEG

Dạng 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Bài 4/ 50 SGK

Cho hai mặt phẳng    P , Q cắt nhau theo giao tuyến  Trên  P cho đường thẳng a và trên

 Q cho đường thẳng b Chứng minh rằng nếu a và b cắt nhau thì giao điểm phải nằm trên 

Bài 5/ 50 SGK

Cho mặt phẳng  P và ba điểm không thẳng hàng A , B , C cùng nằm ngoài mặt phẳng  P Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB , BC, CA đều cắt mp P thì các giao điểm đó thẳng  

hàng

Bài 9/ 50 SGK Cho ba đường thẳng a, b , c không cùng nằm trong cùng một mặt phẳng sao cho

chúng đôi một cắt nhau Chứng minh rằng chúng đồng quy

Bài 10 Cho hình chóp tam giác S ABC Lấy các điểm M N E, , lần lượt thuộc các cạnh SA SB, và AC

sao cho MN cắt AB ở P , ME cắt SC ở Q Chứng minh rằng ba đường BC EP NQ, , đồng quy

Bài 11 Cho hình chóp S ABCD .Trên hai cạnh AD , SBlần lượt lấy hai điểm M , N

a) Tìm các giao điểm E , F lần lượt của MN, DN với SAC

b) Gọi giao điểm của AD và BC là P và giao điểm của PNvà SC là Q Chứng minh rằng bốn điểm A , E , F , Q thẳng hàng

Dạng 4: Các bài toán có yếu tố chuyển động

Bài 10/ 50 SGK

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O và đường thẳng c cắt mpa b ở điểm I , 

khác O Gọi M là điểm di động trên c và khác I Chứng minh rằng giao tuyến của các mặt phẳng M a,  , M b nằm trên một mặt phẳng cố định , 

Bài 12 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N lần lượt là hai điểm cố định trên AB , AC và MN không

song song với BC Mặt phẳng   quay quanh MN cắt các cạnh BD , CD lần lượt tại E và

F

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định

b) Chứng minh giao điểm của ME và NF thuộc một đường thẳng cố định

Bài 13 Cho hình chóp S ABCD với AB và CD không song song M là điểm chuyển động trên cạnh

SA N là giao điểm của SB và mặt phẳng CDM Chứng minh đường thẳng  MN luôn đi qua một điểm cố định

Bài 14 Cho hình chóp S ABCD Gọi I , J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI IA, SJJC

Một mặt phẳng   quay quanh IJ cắt SB tại M , cắt SD tại N

a) Chứng minh IJ , MN và SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD )

b) AD cắt BC tại E , IN cắt MJ tại F Chứng minh ba điểm S, E , F thẳng hàng

c) IN cắt AD tại P , MJ cắt BC tại Q Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định khi

  quay quanh IJ

Bài 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với O là giao điểm của hai đường

chéo AC và BD Gọi E là điểm thuộc đoạn OC( E không trùng với O và C) và M thuộc đoạn SA ( M không trùng với S và A )

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng MDE và mặt phẳng  SAB 

b) Tìm giao điểm N của SB và MDE 

c) Chứng minh rằng SO ME DN đồng quy , ,

Bài 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành O là tâm của đáy M N lần lượt ,

là trung điểm của SA SC, Gọi  P là mặt phẳng qua M N B , ,

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  P với các mặt phẳng SAB , SBC 

b) Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng  P và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng  P

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng  P với các mặt phẳng SAD , SCD 

d) Tìm các giao điểm ,E F cùa các đường thẳng AD CD, với mặt phẳng  P và chứng minh

3 điểm E B F, , thẳng hàng

Bài 17 Cho hình chóp S ABCD với ABCDlà hình thang AB/ /CD AB CD,   Gọi I J, lần lượt là

trung điểm của SA SB, ; Mlà điểm bất kì trên SD

a) Tìm giao điểm Kcủa IMvà mặt phẳng (SBC)

b) Tìm giao điểm Ncủa SCvới mặt phẳng ( IJ)M

c) Gọi Hlà giao điểm của IN và JM Chứng minh Hthuộc một đường thẳng cố định khi

Mchuyển động trên SD

Bài 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang AB / / CD AB ,  C D Gọi I J , lần lượt là trung

điểm của các cạnh SB và SC

a Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC

b Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng AIJ

c Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng AIJ

Bài 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD , M là trung điểm cạnh

bên SA và N là điểm bất kì thuộc cạnh bên SC ( N không là trung điểm của SC )

a) Xác định giao tuyến của ABN và  CDM 

b) Tìm giao điểm của MN với SBD 

c) Gọi P là một điểm thuộc cạnh AB Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi MNP 

Bài 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M , N , P lần lượt là

trung điểm BC, CD, SO

a) Xác định giao tuyến của MNP với các mặt phẳng  SAB , SAD ,  SBC và  SCD 

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNP 

c) Tính tỉ số các đoạn thẳng chia bởi các đỉnh của thiết diện trên các cạnh của hình chóp

S ACBD

Bài 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; M là điểm thuộc cạnh SD thỏa mãn

13

SM  SD

a) Tìm giao điểm của BM với mặt phẳng SAC 

b) N là một điểm thay đổi trên cạnh BC Xác định giao tuyến của AMN và  SBC Chứng 

minh giao tuyến này luôn đi qua một điểm cố định

c) G là trọng tâm tam giác SAB Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp MNG  

PHẦN ĐÁP ÁN

§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Bài 11/50 SGK

Cho hình bình hành ABCD nằm trong mặt phẳng  P và một điểm S nằm ngoài  P Gọi

M là điểm nằm giữa S và A ; N là điểm nằm giữa S và B ; giao điểm của hai đường thẳng

AC và BD là O

a) Tìm giao điểm của mặt phẳng CMN với đường thẳng SO

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và CMN

Lời giải a) Tìm SOCMN

Trong SAC, gọi I SO CM  Ta có

OA

H O

A

D S

N

Bài 1 Cho 4 điểm không đồng phẳng A , B , C, D Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC , BC

E là một điểm trên BD thỏa mãn ED EB

a) Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng MNE

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng MNE với các mặt phẳng ACD, ABD

Bài 2 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MBC và  NDA 

b) Cho I, J là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MBC và  IJD 

Bài 3 Cho hình chóp tam giác S ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác SBC Gọi E và F

tương ứng là hai điểm thuộc cạnh AB và AC sao cho EF không song song với BC

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MEF và SBC

b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác SAC sao cho NF cắt đoạn SA tại H Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MNF và SAB

Bài 4 Cho hình chóp SABCDcó đáy là tứ giác ABCD sao cho AB CD E   và AC BD F  

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng SAB và  SCD ; của SAC và  SBD 

d) Xác định giao tuyến của mặt phẳng SEF và mp SAD ; SBC

Vậy SE là giao tuyến của mặt phẳng SAB và SCD 

+ Giao tuyến mặt phẳng SAC và  SBD

Vậy SF là giao tuyến của mặt phẳng SAB và  SCD 

b) Trong mặt phẳng ABCD : kéo dài EF cắt  BCvà AD lần lượt tại M và N + Giao tuyến của mặt phẳng SEF và  SAD 

Vậy SN là giao tuyến của mặt phẳng SAD và  SEF 

+ Giao tuyến mặt phẳng SEF và  SBC

Vậy SM là giao tuyến của mặt phẳng SEF và  SBC 

Bài 5 Cho hình chóp S ABCD Trong SBC lấy một điểm M , trong SCD lấy một điểm N

a) Tìm giao điểm của MN với mặt phẳng SAC 

b) Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng AMN 

Lời giải

a) Trong SBC kéo dài  SM cắt BC tại F

Trong SCD kéo dài  SN cắt CD tại G

Trong ABCD có  AC cắt FG tại  

+) Trong mp ABCD  gọi O AC BD, trong mp SBD  gọi ISO MN

+) Ngoài ra cũng có MNE  SABHM MNE,   SADHN

+) Trong mp SAB  gọi F HMAB, trong mp SAD  gọi G HN AD

Khi đó ,F G là hai điểm chung của hai mặt phẳng MNE và ABCD

Vậy MNE  ABCDFG

Bài 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD , M là một điểm thuộc

mặt bên SCD

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng SAM với mặt phẳng SBC

b) N là điểm thuộc cạnh AB Tìm giao điểm của SB với mặt phẳng DMN

NM

D

CB

AS

N

Cho hình chóp tứ giác S ABCD Ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SCnhưng không trùng với S, A, B, C Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng

Trong SAC , gọi  O A C SO

Trong SBD , gọi  DB O SD Suy ra DA B C  

Ta có A B , B C  C D , D A  lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng A B C   với các mặt 

phẳng SAB ,  SBC ,  SCD ,  SDA nên thiết diện của hình chóp  S ABCD khi cắt bởi mặt phẳng A B C   là tứ giác  A B C D   

Bài 16/ 51 SGK Cho hình chóp S ABCD Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SBM và SAC

b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mp SAC 

c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp ABM 

Lời giải

a) Trong mp SCD , kẻ SM cắt CD tại N Trong mp ABCD , gọi O là giao điểm của

Từ (1) và (2), ta có SO là giao tuyến của hai mặt phẳng SBM và SAC

b) Trong mp SBM , gọi I là giao điểm của SO và BM Vì SOSAC, nên I là giao điểm của BM và mặt phẳng SAC

c) Trong mp SAC , đường thẳng AI cắt SC tại J Trong mp SCD , đường thẳng JM cắt

, suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng

ABM là tứ giác ABJK

Bài 8 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi I là trung điểm AD , J là điểm đối xứng với D

qua C; K là điểm đối xứng với D qua B

S

M

a) Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng IJK

b) Tính diện tích của thiết diện được tính ở câu a

Lời giải a) Ta có: IK và AB cùng thuộc mặt phẳng ABD nên IKAB E

Tương tự IJ và AC cùng thuộc mặt phẳng ADC nên IJAC H

Vậy thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi IJK là tam giác IHE

b) Áp dụng định lí: Menelaus cho tam giác ADC ta có JD CH AI 1

a

S  EH IM  Bài 9 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi E là trung điểm SB , G là trọng

tâm tam giác SAD Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD với:

B

C

DK

J

I