Tài liệu ôn thi đại học môn Toán

Tài liệu ôn thi đại học môn Toán

Bài 1: Hệ phương trình đại số

Một số loại hệ phương trình thường gặp:

;(

0)

;(

y x g

y x f

;(

)

;()

;(

x y g y x g

x y f y x f

+) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối

xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a) Vì vậy

hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y

+) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm

giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem

có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ)

II) Hệ đối xứng loại II

;

(

0)

+)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2 vế ta

đều thu được phương tình :

( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ

2 vế chưa xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy

luận tiếp mới có điều này)

+) Phương pháp điều kiện cần và đủ:

Phương pháp này được áp dụng tốt cho hệ đối

xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có

nghiệm duy nhất

Đ/k cần:

Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ

có nghiệm (x0;y0) thì (y0;x0) cũng là nghiệm của

hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x0 = y0 (1) Thay (1) vào một phương trình của hệ, tìm đ/k của tham số để pt` có nghiệm x0 duy nhất ,ta được giá trị của tham số Đó là đ/k cần

Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra, rồi kết luận

III) Hệ nửa đối xứng của x và y

;0)

;(

)1();

;()

;(

y x g

x y f y x f

(Tức là có 1 phương trình là đối xứng )

2)Cách giải:

Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phương trình tích: (x - y).h(x; y) = 0 Từ đó có: hệ đã cho tương đương với:

;0)

;(

0)

;()

(

y x g

y x h y x

;(

0)

;(

0)

;(0

y x g

y x h

y x g

y x

Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng

5

2

2 2

2

t y

y t

t x

x y

y x

IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y

;(

0)

;(

y x g

y x f

được gọi là hệ đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số hạng tự do) đều có bậc là 2

2) Cách giải :

* Cách 1) Khử số hạng tự do (Cách này thường dùng khi hệ không chứa tham số, hoặc tham số ở

số hạng tự do cho đơn giản)

* Cách 2) Khử x2 ( với y  0 ) hoặc y2 (với x  0): (Cách này thường dùng khi hệ có chứa tham số)

35 30

3 3

+ y = -2/x : ( 2; 2);( 2, 2)3) Hệ nửa đối xứng

11

3

x y

y

y x x

0 ) 1 )(

(

0

1 2

0

0

1 2

1 1

3 3

2 2 3

x y

xy y x

y x x

y

y x xy y x

y x x

y

y y x x

511)

(012(

0

3

y x

y x

y x

I x

x

y x

y x

+ Ta có II) :

1( )

f(0) = -(4 - m)2 < 0 nên phương trình f(t) = 0 luôn

có nghiệm t > 0 hay phương trình (*) luôn có nghiệm với m

Các bài tập luyện tập

Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản 1) Cho hệ phương trình

1(

2

x y x

m y

x xy

a) Giải hệ khi m=12

22

x y

y x

x x

y y x

y x

11

11

311

a) Giải hệ khi m=6 b) Tìm m để hệ có nghiệm Bài 2:

23

23

y

x x x

y y

(KB 2003)

HD:

Th1 x=y suy ra x=y=1

TH2 chú ýy: ý x>0 , y> 0 suy ra vô

152

3 3

2 2

y x

xy y x

HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt

)1(33

6 6

3 3

y x

y y x x

HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :

f t t33t trên [-1,1] áp dụng vào phương trình (1)

a y x

2 2

2 2

22

x y

y x

HD Bình phương 2 vế, đói xứng loại 2

)1(

2 2

x a y

xy

y a x

xy

xác định a để hệ có nghiệm duy nhất

)1(2010

2 2

y xy

x xy

HD : Rút ra y

y y

3

y x y

x

y x y

x

a y

x

3

21

Tìm a để hệ có nghiệm

HD: từ (1) đặt u x1,v y2 được

hệ dối xứng với u, - v

Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai

tương ứng có 2 nghiệm trái dấu

562

6

2 2

2 2

y xy x

y xy x

2 2

2 2

y x y

x

y y x

18)3)(

2(

2

2

y x x

y x x x

2 2

y x y x

y x y x

x

y xy

2.)(

3 3 2

y x

y y x

9)2)(

2(

2

y x x

y x x

x

đặt X=x(x+2) và Y=2x+y

2 2 2 2

y x y x

y x y x

đổi biến theo v,u từ phương trình số (1)

3 3 3

6

191

x xy

y

x y x

Đặt x=1/z thay vào được

11

3

x y

y

y x

x

(KA 2003)

HD: x=y V xy=-1

CM x4 x20 vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm

a y x

2 2

)1(

)1(

322

xy y x

x

y y

x

HD bình phương 2 vế

Bài 4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2

x  x  x  xm

Bỡnh phửụng : ẹaởt t= x(9x)0 t 9 / 2KSHS

2

f t   t t o t  Ds m d) Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm:

x  x  m  x  x  m HDẹS: ẹaởt t 4 x4 4xm 0pt t: 2  t 60

09

1

2 x  x x

HD :

 nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT

 Biến đổi về BPT tích chú ýy ĐK

Bài 5: Giải bất phương trình:

72

12

ra ĐK

Bài 6: Giải bất phương trình

4)

11

x  9   29 Tìm m để phương trình có nghiệm

)16(

x x

Bài tập áp dụng 1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

m x

5) (x1)x (2x)x2 x2

6)

2

31

)2(1

8) x23x42x320 9) x2 4x 3x2 18x29

cos(a - b) = cosacosb + sinasinb

cos(a + b) = cosacosb - sinasinb

sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb

sin(a - b) = sinacosb - cosasinb

b) Công thức nhân đôi, nhân ba

cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1- 2sin2a;

2 Một số phương trình lượng giác thường gặp

a) phương trình lượng giác cơ bản:

+ sinx = a 1

+ cotgx = a, ĐK: xk  , x =  k  (cotg = a)

b) Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Cách giải:

* Cách 1: Thử với cos2x = 0  sinx =  1 nếu

nghiệm đúng phương trình thì đặt cosx làm thừa số

chung

Với cos2x  0 chia cả hai vế cho cos2x ta được:

atg2x + btgx + c = d(1 + tg2x)

* Cách 2: Hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất đối

với sin2x và cos2x

e) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

*) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c

Đặt sinx + cosx = t, điều kiện t  2

* Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c

Đặt sinx - cosx = t, điều kiện t  2

3 Một số phương pháp thường dùng khi giải

các phương trình lượng giác:

+ áp dụng các hằng đẳng thức;

+ áp dụng các công thức biến đổi;

+ Đổi biến số, đặt ẩn phụ;

+ Biến đổi về tích bằng 0;

+ Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y =

sinx; y = cosx, dùng đạo hàm;

+ Biến đổi về tổng bình phương bằng 0

gx

2sin

4cos.2

13

2cos

2sin2sin

sin

2 2 2

.6

3cos.cos3sin

tg

x x x

x x x

2

1sin.4cos2sin.3

x T

nx x

x T

sin

2sinsin

cos

2coscos

x x

1cossin

x x a

1) Giải phương trình khi a=1/3

x

cos

13cos.2sin

13

g

2sin

2cos12

3sin42sin2cos

8) 1sinxcosxsin2xcos2x 0

Một số đề thi từ năm 2002

1) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 của phương

2sin21

3sin3cossin

2 4

cos

3sin)2sin2(

3) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 của phương

trình

x x

tgx x g

2sin

22

sin42

4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng 0;14 của

phương trình cos 3x4 cos 2x3cosx  4 0

2

2

x tgx x x x tgx tg 

2002) 7) Cho phương trình 2sin cos 1 (1)

8 cos x  x (DB

2002) 9) Giải phương trình

18) Giải phương trình :

2 cosx1 2 sin xcosxsin 2xsinx

KB 2004

+ Các công thức biến đổi

*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ:

SinA SinBSinC Cos Cos Cos

cot2

cot2

.22

A tg

C tg

C tg

B tg

B

tg

A

tg

+ cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1

+Sin2A.Sin2BSin2C22CosACosBCo sC

+Cos2A.Cos2BCos2C12sinAsinBsinC

+ Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC

+ Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC

tgB

lập phương hai vế thay trở lại phương trình đầu ta

được đpcm

Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có :

HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP

VP= [cos(B-C) – cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) –

cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) – cos(A+B)].cosC

=Cos(B-C).cosA + Cos 2 A + Cos(C-A).cosB +Cos 2 B +

Cos(A-B).cosC + cos 2 C

thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B, cos2C… sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos 2 A, cos 2 B, cos 2 C suy ra đpcm

Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có

 

1Cos A.Cos BCos C 2.CosACosBCosC 1

Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và chỉ khi Sin2A.Sin2BSin2C2

Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:

2tgA = tgB + tgC CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA

tgC tgB C

B tg

.1)

cot2

cot22221

sin

1sin

1sin

1

A g A g A g C

tg B tg A tg

C B

A

HD: thay

2

cot2

cot2

cot2cot.2cot.2cotg A g B g C g A g B g C

áp dụng công thức nhân đôi

Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có

C B A B

A C CCosA B

C Sin B Sin A Sin

cossinsin2cossinsinsin

sin2

c b a

111

Cos

Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có:

C B

A R

r

coscos

2

2  , CMR tam giác ABC cân Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk

22

.tgB tg A tg B

tgA  

CMR tam giác ABC cân

Bài 12 CMR nếu tam giác ABC có

a

c b C

B cos  

Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b,

Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn đk:

3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15

CMR tam giác vuông

Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk

2

1 2 sin 2 sin 2 sin 2

CMR tam giác ABC vuông

Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk

2sin

cos

1

1)

(

2 2

3 3 3 2

b a

b a C

C

a c b a

c

b

a

CMR tam giác ABC đều

Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:

gC gB

CMR tam giác ABC là tam giác đều

Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk

2

sin2

sin2sin

tam giác ABC là tam giác đều

Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ

22

.2

2 2

cos2

cossin

sin

thì tam giác đều

Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:

8(p-a)(p-b)(p-c)=abc CMR tam giác đều Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk

gC gB gA

C B A

C g B g A g

cot cot cot

2 cos 1

2 cos 1

2 cos

1 2 cot 2 cot 2 cot

C B

A

M

2cos2

12

cos2

12

cos2

3cos

(sin3sin.sin.cos

Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? CM?

log ( ) log log ;

( ) 0( ) ( )

+ Đưa về phương trình dạng cơ bản

+ Lấy lôgarit hai vế;

+ Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện của ẩn phụ);

+ Đánh giá: Dùng BĐT, hàm số, đoán nghiệm và

chứng minh nghiệm duy nhất,

5 21 x7 5 21 x 2x ; g) ( 15)x 1 4x; ĐS: x = 2 h) 23x32x7x 14x2;

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a) logx 2.log (2 x 6) ; 1b) x log (9 2 )2  x  ; 3c) log3x7(4x212x9) log 2x3(6x223x21)4d) log22x(x1) log2x 6 2 ;x

e) log 2 log 3 2

27 xx 30; f) log5xlog (7 x2);

2 log ( x x)log x; h) log (3 x23x13)log2x; i) log (3 x2 x 1) log 3x2xx2; j)

x y

5)(

log

2 4

2 2 2

y x

y x

đs (4,4)

4

1)3(log

2

1

2 8 4

x

x x

x

22

2

4

452

1

2 3

2 1 2

loglog

y x

x

HD ĐK x,y>= và khác 1

BĐ (1) được TH1: y=x thay vào (2) có nghiệm

TH2:

2

1

y

x  thay vào (2) CM vô nghiệm

chia thành 2 miền y >1 và 0<y<1

Các bài tập tự luyện:

3 3 2

2

13loglog

034

2

y x

3)532(log

2 3

2 3

x y y y

y x x x

y x

1)

1(log)(log

2 2

4 4

1

x y

y x

x y y x

x y

2 2

22

)(8

13)

(

4 4

4 4

y x

x y

y x

y x

11) Tìm m để phương trình

4

2 1 2

1: 0 ( )log ( )

Ví dụ 1 Giải các bất phương trình sau:

5 6

;3

Giải (2) 1< x ≤ 2

BBT: f(x) = (x -1)3 -3x ĐS k > -5 Bài 2:

06log)1(log2

4 1 2

Bài 3:

1))279.(

)52(log

)1(

2 1 2

Bài 8: Giải bất phương trình

1

)3(log)3(

3 1 2

2 1

Bài 9: Giải bất phương trình 2

log (x 3 )x log (3x1)Bài 10 Giải bất phương trình

3

129

2 2

2 2

xlg(x2 x 6) 4 lg(x2)

n

n n

+ Xét xự biến thiên của hàm y = (x) trên (a; b)

+ Dựa vào sự biến thiên chứng tỏ rằng (x) > 0,

3 ứng dụng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn

0

0

0 0

+ Bước 3: Kết luận

0

0

0 0

dạng:

0

( ) (0)lim

3 4

c)

PP: + Lập BBT của hàm số trên khoảng cần tìm

+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một

* Bài toán 3: Xác định tham số để các phương trình

hoặc bất phương trình có nghiệm

+ F(x) = m  m  [MaxF(X); minF(x)]

+ F(x) > m với mọi x <=> m < minF(x)

+ F(x) > m có nghiệm <=> m<MaxF(x)

 Chú ý ý: khi đổi biến phải tìm ĐK của biến mới

có thể sử dụng phương pháp miền giá trị

)1

(

x

y    trên đoạn [-1;1]

Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

với mọi x thuộc [-1/2;3]

)352()

3).(

27

;0

Biến đổi thành f(t) = t2 + t > m + 2

Tìm miền giá trị của VT m < -6

Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phương trình sau thoả mãn với mọi x thuộc [0;1]

2 2

2

)1(

)1.(x x  x x

Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

x x

y2sin8 cos42

HD : 3 và 1/27 Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2x 2 x (4x 4 )x

y      với 0x  1Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2

4 x x

x y





  ; c) 2 sin 1

x y

* Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước:

+ Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Ta có f’(x0) = k

+Giải phương trình ta tìm được x0, rồi tìm y0 =

f(x0)

Từ đó ta viết được phương trình

Chú ý: Nếu  là tiếp tuyến và:

+  // d: y = ax + b  k = a

+   d: y = ax + b  k = -1/a

+  hợp với trục Ox một góc   k =  tg()

+  hợp với tia Ox một góc   k = tg()

* Tiếp tuyến đi qua một điểm A(x 1 ; y 1 )

Cách 1: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm

PTTT tại x0 là: y = f’(x0)(x - x0) + f(x0)

A TT  y1 = f’(x0)(x1 - x0) + f(x0)

Giải phương trình ẩn x0 rồi tìm f(x0), f’(x0)

Cách 2: Đường thẳng  đi qua A có hệ số góc k có

nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm

Đặc biệt đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục Ox

 hệ phương trình sau có nghiệm

3 Điểm cố định của họ đường cong

Điểm cố định là điểm có toạ độ (x0; y0) nghiệm

đúng phương trình: y0 = f(x0, m) Vì vậy: muốn tìm

điểm cố định mà họ đường cong (Cm) đi qua ta làm

theo hai bước tuỳ theo dạng hàm số như sau:

4 Tiếp tuyến cố định

* PP:

 Dạng 1: Họ đường cong đi qua điểm cố định: Ta tìm điểm cố định M(x0; y0), rồi chứng minh f’(x0) = hằng số với m

 Dạng 2: Họ đường cong không đi qua điểm

cố định: áp dụng điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số, ta có hệ phương trình sau có nghiệm với mọi m:

( )'( )

Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số y = f(x)

và y = g(x) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x)

Chú ý bài toán tìm số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành

* Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng  hàm số

có 2 cực trị và điểm uốn nằm trên trục hoành  ' 0

0

uèn

cã hai nghiÖm ph©n biÖt

y y

1) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -x +1

2) Chứng minh rằng trên (C) không có 2 điểm mà tiếp tuyến với (C) tại hai điểm này vuông góc với nhau

HD: 1) ĐS: y = x, y = x + 2/27

2) CM: y’ > 0 với x

Bài 2 Viết PTTT tại điểm uốn của đồ thị hàm số y

= x3 - 3x2 CMR đây là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong các hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị HD: ĐS: y = -3x + 1



 CMR tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đồ thị luôn cắt hai đường tiệm cận và tam giác tạo thành có diện tích không đổi HD: + Giao với TCĐ tại 0



 , giao với TCN tại B(2x 0 2;1)

1) CMR hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm x =

x0 của đồ thị với trục hoành là k = 0

0

'( )( )

điểm này vuông góc với nhau

 luôn tiếp xúc với một

đường thẳng cố định tại một điểm cố định

Tìm a để (C) và (P) tiếp xúc nhau Viết PT các tiếp

tuyến chung của (C) và (P)

d) Các bài toán về tương giao:

+ 2m + 1 cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một

Tìm m để đường thẳng y=-x-4 cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=x HD: Ycbt  trung điểm đoạn thẳng thuộc đường thẳng y = x

1) Tìm m để đường thẳng D: y= 2x + m cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau

2) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đường tiệm cận là ngắn nhất

Bài 16: Cho hàm số (1)

1

12

Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của (C ) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với dường thẳng IM

Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 18: Cho hàm số yx4 mx2 m1 (1)Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

1

22

Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và đối xứng nhau qua đường thẳng x - y - 4 = 0

Bài 20: Cho hàm sốy x4 4x2 m (1)Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới đối với trục hoành bằng nhau

HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x1, x2, x3,

Xác định m để (d) y = m(x - 5) + 10 cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt nhận I(5;10) là trung điểm Bài 22 Cho hàm số

2

(1)1

y x

 





Bài 1 (39.I): Cho y = x3 + 3x2 + 3x + 5

1 CMR: Trên đồ thị không tồn tại hai điểm mà hai

tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau

2 Tìm k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp

tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y = kx

 sao cho tiếp tuyến tại M cắt các trục toạ

độ tại A và B tạo thành tam giác vuông cân OAB

Bài 3 : Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của y

= x3 + 3x2 - 9x + 5

Bài 4 : Viết tiếp tuyến với y = -x3 + 3x2 biết tiếp

tuyến vuông góc với y = 1

9x

Bài 5: Viết pttt qua M(2

3; 1) với y = -x

3 +3x -1

Bài 6:Viết pttt đi qua M(1 ; 0) với y =

2

11



 không có tiếp tuyến nào đi qua giao hai tiệm cận

Bài 8: Qua A(-2; 5) có mấy tiếp tuyến với y = x3 -

y x

 



 Xác định a để hàm số tiếp xúc với Parabol y = x2 + a



 có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao

cho các tiếp tuyến ấy vuông góc với tiệm cận xiên

Chứng minh rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn

thẳng tiếp tuyến bị chắn bởi hai đường tiệm cận

Cm Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại hai điểm

và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau

Bài 13 Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị (C)

Qua A(1; 0) kẻ được mấy tiếp tuyến tới (C) Viết

các phương trình tiếp tuyến ấy Chứng minh rằng

không có tiếp tuyến nào của đồ thị song song với

tiếp tuyến qua A(1; 0)



cắt đường thẳng d: y = mx + 1 tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị

 tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho OA  OB

Bài 19 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 - m cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng