Viết phương trỡnh mặt cầu cú tõm thuộc ủường thẳng d, cỏch mặt phẳng P một khoảng bằng 2 và vắt mặt phẳng P theo giao tuyến là ủường trũn cú bỏn kớnh bằng 3.. Viết phương trỡnh mặt phẳng
Trang 1Sở GD ư ĐT Vĩnh Phúc
Trường THPT Tam Dương
đề thi Khảo sát chuyên đề lớp 12
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phỳt
Cõu 1 (2.0 ủiểm): Cho hàm số y=x3 ư3mx2 +4m3 (m là tham số) cú ủồ thị là (C m)
1 Khảo sỏt và vẽ ủồ thị hàm số khi m = 1
2 Xỏc ủịnh m ủể (C m) cú cỏc ủiểm cực ủại và cực tiểu ủối xứng nhau qua ủường
thẳng y = x
Cõu 2 (2.0 ủiểm ) :
1 Giải phương trỡnh: 32 4 2sin 2 2 3 2(cotg 1)
sin 2 cos
x
x x
x
+
2 Tỡm m ủể hệ phương trỡnh:
3 3 2
Cõu 3 (2.0 ủiểm): 2 Trong khụng gian với hệ tọa ủộ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và
ủường thẳng (d) lần lượt cú phương trỡnh:
(P): 2x ư y ư 2z ư 2 = 0; (d): 1 2
x = y+ = zư
ư
1 Viết phương trỡnh mặt cầu cú tõm thuộc ủường thẳng (d), cỏch mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 và vắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là ủường trũn cú bỏn kớnh bằng 3
2 Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) chứa ủường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P)
một gúc nhỏ nhất
Cõu 4 (2.0 ủiểm):
1 Cho parabol (P): y = x2 Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại ủiểm cú hoành ủộ x = 2 Gọi (H) là hỡnh giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay sinh ra bởi hỡnh (H) khi quay quanh trục Ox
2 Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món: x2 + y2 + z2 ≤ 3 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất
P
Cõu 5 (2.0 ủiểm):
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa ủộ Oxy, hóy lập phương trỡnh tiếp tuyến chung của elip (E):
2 2
1
+ = và parabol (P): y2
= 12x
2 Tỡm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển Newton:
12
4 1
1 x
x
ưưưưưưưưưưưưưo0oưưưưưưưưưưưưư
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
Họ và tờn thớ sinh: SBD:
Trang 2http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi trắc nghiệm, Tài liệu học tập
1 Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x3 − 3x2 + 4
+ TXð: R
+ Sự biến thiên: y’ = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Hàm số ñồng biến trên: (−∞; 0) và (2; +∞)
Hàm số nghich biến trên: (0; 2)
Hàm số ñạt Cð tại xCð = 0, yCð = 4; ñạt CT tại xCT = 2, yCT = 0
y” = 6x − 6 = 0 ⇔ x = 1
ðồ thị hàm số lồi trên (−∞; 1), lõm trên (1; +∞) ðiểm uốn (1; 2)
0.25
Giới hạn và tiệm cận: lim lim 3 1 3 43
x y x x
→±∞ →±∞
LËp BBT:
0.25
§å thÞ:
0.25
2/ Ta có: y’ = 3x2 − 6mx = 0 ⇔ 0
2
x
=
=
ðể hàm số có cực ñại và cực tiểu thì m ≠ 0
0.25
I
Giả sử hàm số có hai ñiểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) ⇒ uuurAB=(2 ; 4m − m3)
0
x
−∞
−
y’
y
0
x
y
O
Trang 3ðiều kiện ñể AB ñối xứng nhau qua ñường thẳng y = x là AB vuông góc với
ñường thẳng y = x và I thuộc ñường thẳng y = x
3 3
2
⇔
=
0.25
Giải ra ta có: 2
2
Kết hợp với ñiều kiện ta có: 2
2
m = ±
2/ ðk:
2
Phương trình ñã cho tương ñương với:
2 2 2
2
4
sin 2
sin cos
x
+
0.25
⇔
3
3 1
tg
tg
x
x
π
= + π
0.25
KL: So sánh với ñiều kiện phương trình có nghiệm :
x= +π kπ
2/
3 3 2
3 3 2 0 (1)
ðiều kiện:
2 2
y
0.25
ðặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t3 − 3t2 = y3 − 3y2 0.25
Hàm số f(u) = u3 − 3u2 nghịch biến trên ñoạn [0; 2] nên:
(1) ⇔ y = y ⇔ y = x + 1 ⇒ (2) ⇔ x2 −2 1−x2 +m= 0 0.25
II
ðặt v= 1−x2 ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v2 + 2v − 1 = m
Hàm số g(v) = v2 + 2v − 1 ñạt
0;1 0;1
[ ] g v = − [ ax] g v =
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m≤ 2
0.25
Trang 4http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi trắc nghiệm, Tài liệu học tập
1/ ðường thẳng (∆) có phương trình tham số là: 1 2 ;
2
= −
= +
Gọi tâm mặt cầu là I Giả sử I(−t; −1 + 2t; 2+ t)∈(∆)
0.25
Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên:
| 2 1 2 4 2 2 | | 6 5 |
2 3 7 3
t t
=
= −
0.25
⇒ Có hai tâm mặt cầu: 2 1 8; ; 7; 17; 1
3 3 3 vµ 3 3 7
Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo ñường tròn có bán kính bằng 4 nên mặt cầu
có bán kính là R = 5
0.25
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
0.25
2/ ðường thẳng (∆) có VTCP u = −r ( 1;2;1); PTTQ: 2 1 0
+ + =
+ − =
Mặt phẳng (P) có VTPT n =r (2; 1; 2)− −
0.25
Góc giữa ñường thẳng (∆) và mặt phẳng (P) là: sin | 2 2 2 | 6
3
3 6
− − −
⇒ Góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (Q) cần tìm là cos 1 6 3
0.25
Giả sử (Q) ñi qua (∆) có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z − 2) = 0 (m2+ n2 > 0)
⇔ (2m + n)x + my + nz + m − 2n = 0
Vậy góc giữa (P) và (Q) là:
2 2
cos
3
m
0.25
III
⇔ m2
+ 2mn + n2 = 0 ⇔ (m + n)2 = 0 ⇔ m = −n
Chọn m = 1, n = −1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y − z + 3 = 0 0.25
IV
1/ Phương trình tiếp tuyến tại ñiểm có hoành ñộ x = 2 là: y = 4x − 4
0.25
Trang 5Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là:
2 2
0 1
(4 4)
=
5
3
( 1)
x
x
2 2 2
P
Vậy GTNN là Pmin = 3
1/ Giả sử ñường thẳng (∆) có dạng: Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0)
(∆) là tiếp tuyến của (E) ⇔ 8A2 + 6B2 = C2 (1)
(∆) là tiếp tuyến của (P) ⇔ 12B2 = 4AC ⇔ 3B2 = AC (2)
0.25
Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A hoặc C = −2A
Với C = 4A ⇒ 2
3
A
⇒ ðường thẳng ñã cho có phương trình:
3 3
A
0.25
V
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: 2 3 4 0
3
Ta có:
12
12 0
k
k k k
−
=
( )
12
12 4 5 12
0 0
1
( 1)
i
k k i k k i k i i
k
k k i k i k
k i
x
C C x
−
− −
= =
∑∑
0.25
Ta chọn: i, k ∈N, 0 ≤ i ≤ k ≤ 12; 4k − 5i = 8
V
Vậy hệ số cần tìm là: C C122 20 −C C127 74 +C C1212 128 = −27159 0.25