cẩm nang ôn luyện thi đại học môn toán

cuốn cẩm nang luyện thi đại học môn Toán của trường Đại học ngoại thương do các giáo sư dầu ngành nổi tiếng biên soạn sẽ là kim chỉ nam để thầy cô giáo có phương pháp ôn thi phù hợp cho học sinh. Tập trung vào các vấn đề trọng tâm trong chương trình thi đại học môn Toán.

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG

TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CẨM NANG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN

ƠN THI ĐẠI HỌC PGS.TS LÊ ANH VŨ - TS.HUỲNH CƠNG THÁI

(GV ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM)

- NẮM VỮNG LÝ THUYẾT & CÁC DẠNG TOÁN

- CHUẨN BỊ CÁC KỸ THUẬT GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI – 2014

Trang 2

1 481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM, www.ftu2.edu.vn

Truy cập: http://docsachtructuyen.vn/ để tham khảo nhiều tài liệu hơn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG

TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC

THƠNG BÁO CHIÊU SINH CÁC KHỐI A, A1, B, C, D

LỚP LUYỆN THI CẤP TỐC

Khai giảng ngày 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10 tháng 06 năm 2014

Chúng tơi tự hào là trung tâm cĩ tỷ lệ đỗ đại học cao nhất Tp HCM

Nội dung khĩa học

- Chú trọng hệ thống hĩa kiến thức, nhấn mạnh trọng tâm, giúp cho học

sinh cĩ học lực chưa tốt vẫn cĩ thể đủ điểm đậu đại học

- Ơn tập tổng hợp, giải đề thi mẫu

- Rèn luyện “ tâm lý trường thi ”, giúp các em vững vàng tâm lý- tự tin

vào chính minh khi bước vào phịng thi

- Rèn luyện phương pháp giải bài tập trắc nghiệm nhanh nhất Với những phương pháp này, các em khi làm bài thi sẽ biết ngay cách giải một cách nhanh và chính xác

- Rèn luyện phương pháp trình bày bài giải trong phần thi tự luận để đạt điểm số tối ưu

- Đặc biệt các thầy sẽ chia sẻ trực tiếp trên lớp những bí kíp sau bao năm tháng giảng dạy , nghiên cứu và ra đề thi

Đây là nội dung giảng dạy đặc biệt duy nhất chỉ cĩ tại trung tâm của chúng tơi

Đội ngũ giảng viên luyện thi hàng đầu Tp HCM

Chúng tơi tự hào là trung tâm duy nhất cĩ đội ngũ giảng viên xuất sắc nhất và tâm huyết với học sinh:

- Là những Giảng viên đang giảng dạy tại các trường đại học uy tín nhất nước

- Là các Phĩ giáo sư, Tiến sĩ dày dặn kinh nghiệm giảng dạy, ra đề thi và

chấm thi hàng năm

- Là tác giả của những bộ sách ơn luyện thi đại học bán chạy nhất nước

Trang 3

DANH SÁCH ĐỘI NGŨ GIẢNG VIÊN

Mơn học

Giảng viên Giảng viên Đơn vị cơng tác

Mơn Tốn

PGS.TS Lê Anh Vũ GV Đại học Sư pham & ĐH Kinh tế Luật

PGS.TS Võ Khắc Thường GV Đại học Ngoại Thương

TS Huỳnh Cơng Thái GV Đại học Bách Khoa & Trường chuyên Lê

Hồng Phong

TS Nguyễn Thái Sơn GV Đại Học Sư Phạm

ThS Trần Đức Huyên GV Trường chuyên Lê Hồng Phong

ThS Nguyễn Anh Trường GV Trường chuyên Lê Hồng Phong

Mơn Hĩa

ThS Bùi Văn Thơm Chuyên viên Bộ Giáo Dục - GV T.T Trường

chuyên Lê Hồng Phong ThS Nguyễn Đình Độ GV TT Trường chuyên Lê Hồng Phong

CN Nguyễn Văn Phong GV TT Trường chuyên Lê Hồng Phong

Mơn Lý

ThS Trần Quang Phú GV Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

ThS Vũ Thị Phát Minh GV Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

ThS Hồ Văn Huyết GV Trường chuyên Lê Hồng Phong

ThS Trương Trường Sơn GV Đại Học Sư Phạm

Mơn Sinh Thầy Phan Kỳ Nam GV Trường Chuyên Lê Hồng Phong

Cơ Phạm Thu Hằng GV T.T Đại học Ngoại Thương

Mơn Anh Ths Bạch Thanh minh GV Đại Học Sư Phạm Tp HCM

Ths Đinh Xuân Lan GV Đại học Ngoại Thương

Mơn Văn CN Nguyễn Đức Hùng Soạn giả

ThS Nguyễn Tấn Phúc GV Trường chuyên Lê Hồng Phong

ƯU ĐÃI LỚN KHI ĐĂNG KÝ TRƯỚC NGÀY 31/5/2014

- Giảm ngay 20% học phí tương đương 600.000đ ( 1 triệu đối với lớp đặc biệt )

- Miễn phí ở ký túc xá đến hết kì thi đại học 2014

- Miễn phí đưa đĩn các em học sinh và phụ huynh từ bến xe, ga tàu về trường

- Miễn phí tài liệu học tập cả 3 mơn học

- Được tặng bộ sách nỗi tiếng "Bí quyết phát hiện ra manh để tìm lời giải

Trang 4

hay nhất trong đề thi đại học" của nhĩm tác giả: PGS.TS Lê Anh Vũ, TS Huỳnh Cơng Thái, TS Nguyễn Phúc Sơn trị giá 500.000 đ

- Tặng ngay tài khoản đọc sách online miễn phí 1 năm tại trang docsachtructuyen.vn

- Miễn, giảm học phí cho các bạn HS cĩ hồn cảnh khĩ khăn, con thương binh liệt sĩ…

Đăng ký ngay để nhận 100% ƯU ĐÃI từ trung tâm

CAM KẾT HỒN TRẢ 100% HỌC PHÍ NẾU KHƠNG HÀI LỊNG

Vui lịng gọi Thầy Thắng để ghi danh trước

Hotline : 08 668 224 88 - 0989 88 1800

Địa chỉ:

1 481/8 Trường Chinh, P14, Tân Bình, TPHCM

2 73 Văn Cao, P Phú Thọ Hoà, Tân Phú, TPHCM

Trang 5

3 327 Nguyễn Thái Bình, P12, Tân Bình, TPHCM

Website: www.ftu2.edu.vn ,

Email: phongdaotaoftu@gmail.com

PHẦN I 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1 điểm)

2) Các bài toán liên quan đến đồ thị (1 điểm)

Dạng 1: Vẽ đồ thị và biến đổi đồ thị

Loại 1: Các bước vẽ đồ thị hàm số (C): y = f(x)

 Trong đề thi Đại học, chúng ta chỉ khảo sát và vẽ đồ thị của ba hàm số sau: a) Hàm y = 



ax b

3 + bx2 + cx + d c) Hàm y = ax4 + bx2 + c

 Dù là hàm số nào đi chăng nữa thì vẫn thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Tìm tập xác định D



x

lim y

 = ∞  (C) có TCĐ là: x = α (α là nghiệm của mẫu số)

+ Bước 4: – Lập bảng biến thiên

– Tìm các khoảng tăng; giảm

– Tìm các điểm cực trị của hàm số

+ Bước 5: – Tìm các điểm đặc biệt để vẽ đồ thị gồm

 Tâm đối xứng , các giao điểm của (C) với hai trục Ox, Oy

 Tìm thêm các điểm đặc biệt có tọa độ nguyên và nhỏ nhất

+ Bước 6: Vẽ đồ thị: – Nếu (C) là hàm bậc ba thì đồ thị đối xứng qua tâm

(là điểm uốn của (C))

Trang 6

– Nếu (C) là hàm bậc bốn trùng phương thì đồ thị đối xứng qua Oy

– Nếu (C) là hàm hữu tỉ thì ta chú ý:

 Vẽ nhánh có cắt Ox, Oy trước

 Nhánh còn lại đối xứng qua tâm

Loại 2: Biến đổi đồ thị:

Bài toán: Dựa vào đồ thị (C): y = f(x), suy ra đồ thị (C) của

a) Hàm y = f(x):

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C1) của (C) có y ≥ 0

+ Đối xứng phần đồ thị của (C) có y < 0 qua Ox được (C2) thì (C) gồm (C1) và (C2) Vẽ lại đồ thị (C)

b) Hàm y = f(x):

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C1) của (C) có x ≥ 0

+ Đối xứng chính phần này qua Oy được (C2)

+ Cắt bỏ phần đồ thị của (C) có x < 0 thì ta được đồ thị (C) gồm (C1) và (C2) Vẽ lại đồ thị của (C)

Dạng 2: Dựa vào đồ thị (C) đã vẽ, hãy biện luận nghiệm của phương trình có dạng: F(x, m) = 0 (1) (m là tham số)

 * Kỹ thuật giải:

+ Bước 1: Vẽ đồ thị (C): y = f(x)

+ Bước 2: Biến đổi trực tiếp phương trình (1) về dạng f(x) = g(m)

– Nếu (1) là phương trình phức tạp thì ta đặt ẩn phụ t trước rồi biến ẩn sau

+ Bước 3: Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C): y = f(x) và đường thẳng

: y = g(m) di động và song song với Ox

– Cho  dạng khắp đồ thị của (C) và // Oy, quan sát số giao điểm rồi suy ra số nghiệm cần thỏa mãn yêu cầu bài toán

 * Chú ý quan trọng:

+ Nếu đề yêu cầu biện luận nghiệm x  (a; b) thì ta phải giới hạn đồ thị (C) trong (a; b); cắt bỏ phần đồ thị còn lại

+ Khi đặt ẩn phụ t thì ta phải tìm miền giá trị chính xác của t Nếu miền giá trị của t sai thì bài toán sẽ giải sai

Dạng 3: Tính đơn điệu của hàm số và ứng dụng để giải toán

Trang 7

y = ax b

cx d



 luôn đồng biến; nghịch biến trên:

a) Miền xác định của nó:

Cách giải: + Tìm D = R \ {– d

c } + Tính y = 2

ad bc(cx d)



 + Hàm số luôn đồng biến (hay nghịch biến) trên miền xác định của nó

Cách giải: + MXĐ: D = R \ {– f

e} + Hàm số luôn đồng biến (hay nghịch biến) trên miền xác định của nó

Trang 8

 maxf(x) ≤ g(m)

a) Tìm các giá trị của tham số để hàm số luôn đồng biến (hay nghịch biến) trên R

Cách giải:

+ Tính y và dùng định lý vế dấu của tam thức bậc hai

b) Tìm các giá trị của tham số để hàm số luôn đồng biến (hay nghịch biến) trên (α; )

Cách giải

Cách 1

Dùng định lý Viet:

Cách 2

Dùng định lý Min–Max

 Các ứng dụng của tính đơn điệu

Cách 1: Dùng định lý: “Cho hai hàm f(x) và g(x) đối nghịch nhau nghiêm ngặt trên

cùng miền D Khi đó phương trình f(x) = g(x) chỉ có thể có nghiệm duy nhất trên D” Các bước giải:

+ Bước 1: Tìm miền xác định của phương trình

+ Bước 2: Biến đổi (1)  f(x) = g(x) sao cho f(x) tăng và g(x) giảm trên D hay ngược lại

+ Bước 3: Nhẩm một nghiệm và kết luận nghiệm trên là duy nhất

Cách 2: Ta chứng minh f(x) ≥ 0 x  D hay f(x) ≤ 0 x  D

Sau đó xét dấu “=” xảy ra

Cách 3: + Biến đổi (1)  f(x) = g(x)

+ Sau đó chứng minh f(x) ≤ g(x) x  D hay f(x) ≥ g(x) x  D

Trang 9

+ Xét dấu “=” xảy ra

Cách 4: + Biến đổi (1)  f(x) = g(x)

+ Chứng minh f(x) ≥ A ≥ g(x) hay f(x) ≤ A ≤ g(x) Xét dấu “=” xảy ra

Cách 5: Đưa (1) về dạng f(u) = f(v)

+ Dùng đạo hàm chứng minh u = v

Cách 1: Ta chứng minh trực tiếp h(x) ≥ 0 x  D hay h(x) ≤ 0 x  D

Cách 2: + Nhẩm một nghiệm x = α của phương trình h(x) = 0

+ Lập bảng biến thiên,chứng minh h(x) ≥ h(α) = 0 hay h(x) ≤ h(α) = 0

Cách 3: + Biến đổi (1)  f(x) ≥ g(x) (hay f(x) ≤ g(x))

+ Nhẩm 1 nghiệm x = α của phương trình f(x) = g(x)

+ Chứng minh f(x) và g(x) đối nghịch nhau trên một miền D

Cách 4: + Biến đổi (1)  f(x) ≥ A ≥ g(x) hay f(x) ≤ A ≤ g(x)

Cách 5: + Đưa về dạng f(u) ≥ f(v)

+ Chứng minh f(t) luôn tăng luôn giảm

Cách 1: + Đưa hệ về dạng f(u) = f(v):

+ Chứng minh hàm f(t) luôn tăng (hay luôn giảm) trên D

+ Dùng tính đơn điệu, chứng minh x = y = z

Cách 3: Dùng phép thế hay phép đặt ẩn phụ rồi dùng đạo hàm

Dạng 4: Cực trị của hàm số

 Các loại toán

 Loại 1: Cho hàm số y = f(x, m) (m là tham số) Tìm m để hàm số đạt cực

đại, cực tiểu tại điểm x = x0

Cách giải

Trang 10

ta kiểm tra dấu của y(x0) và kết luận

 Loại 2: Cực trị của hàm bậc ba:

Cho hàm số: y = f(x, m) Tìm m để hàm số có hai cực trị tại (x1; y1) và (x2;

y2) thỏa mãn một điều kiện cho trước

Điều kiện cho trước Cách giải

 Viết phương trình đường

thẳng qua hai đỉnh cực

trị A; B

Cách 1:

+ Tìm rõ tọa độ hai điểm cực trị A, B nếu phương trình y = 0 có hai nghiệm x1; x2 đơn giản

Cách 2: Nếu y = 0 có hai nghiệm x1, x2

không đơn giản thì ta giải như sau:

+ B1: Lấy y chia cho y và viết y dưới dạng:

y = y(x + ) + ax + b + B2: do hàm số có cực trị nên y = 0 nên

y = ax + b Đây là phương trình đường thẳng qua hai điểm qua hai điểm cực trị

 Liên quan đến hoành

độ cực trị, tung độ cực

trị; khoảng cách hai

điểm cực trị

Dùng định lý Viet

 Liên quan đến tính chất

hình học như tính đối

xứng; tam giác cân,

vuông, đều, hình chữ

vuông, hình chữ nhật…

Dùng tính chất học, kết hợp với định lý Viet

 Loại 2: Cực trị của hàm trùng phương: y = ax4 + bx2 + 2

Cách giải:

Trang 11

a) Hàm số có 1 cực trị  (1) vờ nghiệm hay a  0 và b = 0

b) Hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì biện luận nghiệm của (1) và dấu của hệ số a

c) Hàm số có 3 điểm cực trị A, B, C thỏa mãn một tính chất hình học

+ B1: Tìm giá trị của tham số để hàm số có 3 điểm cực trị

+ B2: Tìm tọa độ của 3 điểm cực trị và dùng tính chất hình học để tìm giá trị tham số m thỏa mãn B1

 Loại 3: Cực trị của hàm hữu tỉ 2/1: Có các bài toán giống như hàm bậc 3

 Loại 4: Dùng tính chất cực trị để khảo sát nghiệm của phương trình bậc ba:

 Phương trình (1) có hai

Dạng 5: Tiếp tuyến của đồ thị

Bài toán 1: Viết phương

trình tiếp tuyến tại

Cho (C) biết  vuông

góc; song song; tạo với

đường thẳng d góc 

 B1: Dựa vào giả thiết ta tìm hệ số góc k của   : y = kx + b

 B2:  tiếp xúc với (C)

Trang 12

 B3: Giải (2), tìm x thế vào (1)  b 

Bài toán 3: Viết phương

trình tiếp tuyến cho (C)

đi qua A(xA; yA)

 B3: Thế k ở (2) vào (1), giải tìm x  k 

Cho (C): y = f(x) và

đường thẳng  Tìm

các điểm M nằm trên

 để từ M kẻ đến (C)

đúng 1, 2, 3, 4 tiếp

tuyến thỏa mãn một

điều kiện cho trước

+ B1: Trên  lấy M(a; b) và viết d qua M có hệ số góc k là: y = k(x – a) + b

+ B2:  tiếp xúc với (C)  f (x) k(x a) b (1)

+ B5: Xử lí điều kiện cho trước thường dùng định lý Viet

Cách giải: + B1: Tìm (C) lấy điểm M(a; f(a))

+ B2: Dựa vào đề, ta lập một phương trình và giải tìm a

Dạng 6: Sự tiếp xúc của hai đồ thị

Cho hai đường cong: + B1: (C1) tiếp xúc với (C2)

Trang 13

+ B2: Giải hệ trên bằng phép thế  m

Dạng 7: Sự tương giao của hai đồ thị

Cho hai đồ thị: (C1): y =

f(x,m), (C2): y = g(x,m)

Tìm m để (C1) cắt (C2) tại

2, 3, 4 điểm thỏa mãn một

điều kiện cho trước

+ B1: Viết phương trình hoành độ giao điểm và rút gọn

+ B2: Định m để phương trình có số nghiệm bằng số giao điểm

+ B3: Xử lí điều kiện dùng định lý Viet và tính chất hình học

Dạng 8: Các bài toán đối xứng

Bài toán 1: Tìm cặp điểm

+ B3: Giải phương trình này  A, B

Bài toán 2: Tìm cặp điểm

A, B nằm trên (C) đối

xứng nhau qua d:

y = ax + b

+ B1: Gọi   d:  : y = 1

a x + m + B2: Tìm I =   d  xI

+ B3: Viết phương trình hoành độ giao điểm của  và (C), rút gọn được:

h(x) = 0 (1) + B4: Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai điểm thuộc (C) thì xA, xB là hai nghiệm của (1) A và B đối xứng nhau qua d nên I là trung điểm AB

Trang 14

+ B5: Thế m vào (1) và giải tìm xA, xB

 A, B

Dạng 9: Toán về khoảng cách, chu vi, diện tích

B là hai điểm cực trị hay 2 giao điểm của hai đồ thị cắt nhau

Cách giải:+ B1: Tìm giá trị của tham số để tồn tại hai điểm

+ B2: Gọi hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) và dùng định lý Viet

Cách giải: + B1: Trên (C) lấy điểm M(a; f(a))

+ B2: Tính toán các dữ liệu có liên quan theo a

+ B3: Giải theo yêu cầu của đề bài

cực trị

Cách 1: Dùng tính chất hình học:

+ B1: Tìm điểm cố định A của đường

thẳng  ( qua 2 điểm cực trị)

hữu tỉ sao cho AB bé nhất

Cách giải: + B1: (C) có tiệm cận đứng x = 

Gọi A(xA; f(x)), B(xB; f(x0)) thuộc hai nhánh của (1) và giả sử:

 và tính lại tọa độ A, B theo a, b

+ B3: Tính độ dài đoạn AB bình phương và biến đổi

+ B4: Dùng bất đẳng thức Cô sy

PHẦN II HÀM SỐ MŨ & LOGARIT (1 ĐIỂM)

M

A

H



Trang 15

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I Các công thức luỹ thừa

II Hàm số mũ: y = a x

1 Xác định  a > 0 ; 2 Miền giá trị  0;   

3 Nếu 0 < a < 1 thì hàm số giảm (nghịch biến)

4 Nếu a > 1 thì hàm số tăng (đồng biến)

5 Dạng đồ thị: đồ thị của hàm số mũ y = ax có tiệm cận ngang

là trục Ox

III Hàm số logarit và các tính chất: y log x a

1 Hàm số y = logax xác định  0 a 1

3 Nếu 0 < a < 1 thì y = logax luôn giảm

4 Nếu a > 1 thì y = logax luôn tăng

IV Các công thức biến đổi (cơ số và biểu thức chứa trong

logarit đã xác định)

1 y = logax x = ay 2 logaa = 1; loga1 = 0

3 loga(x.y) = logax + logay 4.loga x log x log ya a

log a

 (0 < x  1) 8.log x log b.log xa  a b

9.alog x a x 10.alog c b clog a b

B CÁC DẠNG TOÁN MŨ & LOGARIT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Trang 16

Phương pháp 1: BIẾN ĐỔI Å ĐƯA VỀ CÁC DẠNG CƠ BẢN

1 Các dạng cơ bản

Dạng 7: log f (x) ba  (5) ; log f (x) ba  (Tương tự)

Cách giải: + Nếu a > 1 thì (5)  f(x)  ab

+ Nếu 0 < a < 1 thì (5)  0 < f(x)  ab

Dạng 8: log f(x) log g(x)a  a (7) ; log f(x) log g(x)a  a (Tương tự)

Cách giải: + Nếu a > 1 thì (7)  g(x) 0

2 Kỹ thuật biến đổi

a Đối với cơ số

 có dạng mũ; tích; thương, liên hiệp

 Phép nghịch đảo: a

b

1log b

log a



Trang 17

 Xen cơ số: logab = logac.logcb

b Đối với biểu thức chứa trong loga

 Có dạng mũ; tích; thương

 Dùng phép nghịch đảo: a

b

1log b

log a



 Biểu thức liên hợp

3 Chú ý: Khi cơ số chứa x

 Trước hết ta dự vào miền xác định của bất phương trình để xem cơ số a đó 

(0; 1) hay lớn hơn 1

 Nếu không biết chính xác cơ số a thuộc khoảng (0; 1) hay > 1 thì ta chia trường hợp để giải

4 Các bước giải

Bước 1: Tìm miền xác định của bất phương trình

Bước 2: Dùng công thức biến đổi mũ; cơ số; loga để đưa về các dạng cơ bản Bước 3: Vận dụng cách giải các dạng cơ bản

Bước 4: Giao nghiệm được nghiệm của bài toán

Phương pháp 2: LẤY LOGARIT HAI VẾ

1 Nhận dạng

+ Khi biến đổi phương trình về dạng: af ( x) bg( x) Lấy logart cơ số a

hoặc b hai vế

+ Khi hai vế của phương trình chứa tích hay thương các hàm mũ

Phương pháp 3: ĐẶT THỪA SỐ CHUNG ĐƯA VỀ TÍCH

1 Nhận dạng

+ Khi phương trình có cùng số mũ nhưng không thể biến đổi về

phương trình cùng cơ số

+ Khi phương trình chứa nhiều loại hàm khác nhau

+ Khi phương trình có dạng: ah( x) mag( x) h(x) m

Trong đó: g(x) f (x) h(x) 

Phương pháp 4: ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC

HAI, BẬC BA; BẬC BỐN

Trang 18

CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Phương trình chỉ chứa hàm af (x): Đặt t a f (x)

Dạng 2: Phương trình có dạng: .af (x)  bf (x)  .cf (x)

Cách giải:

+ Chia hai vế của phương trình cho hàm mũ có cơ số lớn nhất

hoặc bé nhất ; + Đưa về phương trình bậc hai; bậc ba

Dạng 3: Phương trình có dạng:  f (x)  f (x)

+ Đưa về phương trình bậc hai; bậc ba

Dạng 4: Phương trình có dạng:  f (x)  f (x) f (x)

      

Cách giải: + Chia hai vế của phương trình cho f(x)

+ Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai, bậc ba Dạng 5: Chia hai vế của phương trình và đưa về dạng 1

Phương pháp 5: CHỨNG MINH NGHIỆM DUY NHẤT

a Phương trình chứa hai hay nhiều loại hàm khác nhau

b Phương trình đưa về hai hàm f(x) và g(x) đối nghịch nhau

Phương pháp 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG f(x) = f(y)

1 Định lý

Với mọi x; y; t  D; hàm f(t) luôn tăng hoặc luôn giảm trên D

Khi đó: f(x) = f(y)  x = y

2 Dạng phương trình thường gặp

Trang 19

PHẦN III. Giải phương trình lượng giác (1 điểm)

A Các công thức biến đổi lượng giác:

I Cung liên kết:

II Hệ thức cơ bản:

1) sin2a + cos2a = 1; 2) tana = sin a

cos a ; 3) cota = cos asin a; 4) tanacota = 1; 5) 1 + tan2a = 12

cos a; 6) 1 + cot

2a = 12sin a

III Công thức cộng:

1) cos(a ± b) = cosacosb sinasinb,

2) sin(a ± b) = sinacosb ± sinbcosa, 3) tan(a ± b) = tan a tan b

1 tan a tan b



IV Công thức nhân đôi

1) sin2a = 2sinacosa = 2 tan a2

1 tan a 3) tan2a = 2 tan a2

Trang 20

V Công thức nhân ba

1) cos3a = 4cos3a – 3cosa; 2) sin3a = 3sina – 4sin3a

VI Công thức hạ bậc

VIII Công thức biến đổi tổng thành tích:

1) cosa + cosb = 2cos a b

Trang 21

1) sina + cosa = 2 sin(a +

5) cota + tana = 2

sin 2a ; 6) cota – tana = 2cot2a

B Các dạng toán:

Dạng 1: Biến đổi và rút gọn, đưa về phương trình bậc nhất

chứa 1 hàm lượng giác

* Công thức nghiệm cơ bản:

Dạng 2: Biến đổi về phương trình bậc nhất chứa hai hàm

sin và cos: asinx + bcosx = c (1)

 Cách giải: + Chia hai vế của (1) cho a2b2

a b (hay ngược lại)

Ta được: cosxcos + sinxsin =

Khi vế trái của một phương trình có dạng asinx + bcosx thì chỉ

chia cho a2b nếu vế phải có một trong b dạng sau: 2

Trang 22

1) Vế phải là một hằng số c

2) Vế phải đối xứng với vế trái (nghĩa là vế hai vế có chứa hệ

số giống nhau)

3) Vế phải là: k.cosx hay k.sinx

Dạng 3: Biến đổi về phương trình bậc 2, 3, 4 đối với một hàm

Dạng 4: Biến đổi về phương trình đẳng cấp

 Nhận dạng: Phương trình đẳng cấp là phương trình

+ Chỉ chứa sin và cos

+ Tổng số bậc của sin và cos ở dạng tích bằng tổng bậc của sin và cos ở dạng tổng, hiệu

+ Cùng cung

 Cách giải:

+ Xét cosx = 0  sinx = ±1, thế vào phương trình và kiểm tra

+ Khi cosx  0: chia hai vế của phương trình cho cosnx (n là cấp của phương trình) và đưa về phương trình theo tanx

Dạng 5: Biến đổi về phương trình đối xứng sin, cos

 Có dạng: a(sinx ± cosx)m + b(sinxcisx)n + c = 0

+ Đặt t = sinx ± cosx; điều kiện – 2 ≤ t ≤ 2

+ Bình phương t  tích sinx.cosx theo t

+ Đưa về phương trình đa thức theo t

Trang 23

Dạng 6: Biến đổi về phương trình đối xứng (tan và cot)

 Nhận dạng: Phương trình đối xứng tan, cot có đặc điểm:

+ Đưa về phương trình đa thức theo t

Dạng 7: Biến đổi về phương trình tích

Các kỹ thuật biến đổi về tích:

(a) Một vế đã có tích sẵn thì ta biến đổi vế còn lại về tích

(b) Chọn một hàm tối giản làm hàm mục tiêu và biến đổi các hàm còn lại về hàm mục tiêu đó

(c) Chọn hàm tối giản ghép với một hàm nào đó để biến đổi Kết quả của phép biến đổi sinh ra tích; sinh ra các hàm rút gọn được với các hàm còn lại

(d) Ghép cặp hàm thích hợp và biến đổi để tạo ra thừa số chung

(e) Tách hệ số để tạo hàm và biến đổi về tích

(f) Tách bậc để tạo hàm và biến đổi về tích

Dạng 8: Đặt ẩn phụ cung

Khi phương trình chứa cung phức tạp và không đồng nhất thì ta có thể xử lí theo các cách sau:

Cách 1: Nếu cung có dạng x + k; x + k

2

 thì ta dùng chu kỳ và cung liên kết để rút gọn

Cách 2: Hạ bậc chẵn để nâng cung

Cách 3: Biến đổi tích thành tổng và ngược lại

Cách 4: Ghép hàm thích hợp và biến đổi thành tích

Cách 5: Đặt ẩn phụ cung phức tạp và có hệ số của x bé nhất Sau đó biến đổi

đưa về cung liên kết

Dạng 9: Đại số hóa trong phương trình lượng giác

Trang 24

Nhận dạng và cách giải:

1) Khi phương trình có dạng đối xứng sin và cos

2) Khi phương trình có dạng đối xứng tan, cot

3) Khi phương trình chứa 1 biểu thức giống nhau

4) Khi phương trình có cung của hàm sin, cos, tan gấp đôi cung của hàm tan và cot thì ta đặt t = tan x

2 với x là cung chứa trong các hàm sin, cos

Dạng 10: Nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện

+ Giải tìm nghiệm tổng quát theo k  Z của phương trình ban đầu

+ Cho x  (a; b) và giải tìm k  Z  các nghiệm x

a) Cách đặt điều kiện:

+ Đặt điều kiện để các biểu thức xác định

+ Rút gọn tối đa điều kiện để số lượng hàm trong điều kiện ít nhất

+ Để điều kiện ởù dạng hàm

b) Cách kiểm tra điều kiện của nghiệm:

Cách 1: Dùng đường tròn lượng giác:

+ Họ nghiệm x =  + k2

n

 biểu diễn n điểm lên đường tròn lượng giác – Ta biểu diễn họ nghiệm trong điều kiện và họ nghiệm của phương trình lên cùng một đường tròn lượng giác Những điểm nào trùng nhau thì ta loại; còn những điểm không trùng nhau thì ta nhận làm nghiệm của phương trình ban đầu

Cách 2: Tìm nghiệm và thế vào điều kiện để tính toán và kiểm tra

Cách 3: Biến đổi hàm của phương trình và hàm trong điều kiện giống

nhau để so sánh

PHẦN IV GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (1 ĐIỂM)

A Các công thức cơ bản

I Phép lũy thừa, khai căn và tách căn và phép nghịch đảo:

Trang 25

B Các dạng toán và phương pháp giải:

Dạng 1: Phương pháp lũy thừa, làm mất căn và đưa về

các phương trình, bất phương trình quen thuộc

* Nhận dạng đặc điểm của bài toán để dùng phương pháp lũy thừa:

1) Có một trong năm phương trình và bất phương trình cơ bản trên

2) Khi lũy thừa thì bậc cao triệt tiêu hay số lượng căn giảm dần

3) Có dạng: A axn b ± B cxn d  c exn f

4) Các biểu thức trong và ngoài căn có chung một nghiệm

5) Khi lũy thừa đưa được về dạng đặc biệt như: a2 + b2  0 (a ± b)2

Trang 26

6) Khi lũy thừa được đưa về dạng cơ bản có cách giải đã biết

Dạng 2: Dùng hằng đẳng thức đưa về các dạng đặc biệt

Dạng 3: Phương pháp dùng lượng liên hiệp:

 Các cách giải:

Cách 1: Khi phương trình; bất phương trình chửa

Cách 3: Thêm bớt một biểu thức và dùng lượng liên hiệp để tạo ra thừa số chung

Dạng 4: Phương pháp biến đổi đưa về dạng tích – thương

 Các cách biến đổi đưa về tích thương:

Cách 1: Đặt thừa số chung ở một vế khi một vế đã có tích

Cách 2: Nhóm số hạng và đặt thừa số chung

Cách 3: Dùng lượng liên hiệp

+ B1: Tìm miền xác định và đưa về tích hay thương

+ B2: Dùng cách xét dấu hay chia trường hợp

Dạng 5: Phương pháp đặt 1 ẩn đưa về phương trình, bất

phương trình bậc 2, 3, 4

 Các loại phương trình, bất phương trình đặt ẩn phụ:

Cách giải: + Đặt t = căn

+ Bình phương t và đưa về phương trình, bất phương trình đa thức

Trang 27

Cách giải: + Đặt t = tổng

+ Bình phương t, suy ra tích theo t + Thế vào và đưa về dạng đa thức

Cách giải: + Nếu biểu thức có sẵn thì đặt t = biểu thức đó

+ Nếu biểu thức chưa có sẵn thì ta chia hai vế cho một biểu thức

Cách giải: + Nếu có dạng: f(x) và a

f (x) thì đặt t = f(x) + Nếu có dạng: x +

+ Là phép đặt ẩn phụ theo t mà phương trình mới vẫn còn chứa x

– Chọn một biểu thức để đặt t

– Đưa phương trình đã cho về phương trình theo t mà còn chứa x Đến đây ta có thể chọn một trong các cách giải sau:

Cách 1: Đưa về tích, đẳng cấp

Cách 2: + Đưa về phương trình bậc hai và tính 

+ Đưa  về dạng A2 hay –A2

+ Tìm nghiệm t theo x  x

Dạng 7: Phương pháp đặt một ẩn đưa về hệ phương trình đối xứng:

* Các phương trình áp dụng phương pháp trên:

(Đây là hệ đối xứng loại 2)

+ Lấy hai phương trình trừ đi và đưa về tích

Dạng 2: ax b = 1

ax

2 + cx + d (a  0)

Trang 28

Dạng 8: Phương pháp đặt hai ẩn đưa về một phương trình có các dạng đặc biệt

Cách giải: + Lựa chọn hai biểu thức f(x) và g(x) trong phương trình và đặt a =

f(x); b = g(x)

+ Tính các đại lượng còn lại theo a và b

+ Biến đổi phương trình về các dạng quen thuộc sau:

a) Phương trình tích

b) a2 + b2 = 0

c) an = ± bn

d) (a ± b)n = 0 e) Phương trình đẳng cấp f) f(a; b) = 0, trong đó ta chứng minh vế trái luôn không âm hay luôn không dương và xét dấu “=” xảy ra

Dạng 9: Phương pháp đặt hai ẩn đưa về hệ phương trình

 Cách giải:

+ Chọn hai biểu thức f(x), g(x) và đặt hai ẩn a; b

+ Khử mất x để tìm hệ thức liên hệ giữa a, b

+ Đưa phương trình đã cho về hệ theo a, b

Dạng 10: Phương pháp đối lập

 Cách giải:

Để giải phương trình f(x) = g(x) thì ta không giải trực tiếp mà đi chứng minh

Trang 29

theo một trong các hướng sau:

a) Chứng minh: f(x)  g(x) hay f(x) ≤ g(x) với mọi x  D

+ Chứng minh: f(x) ≤ A ≤ g(x) hay f(x)  A  g(x)

Sau đó xét dấu “=” xảy ra

Dạng 11: Phương pháp lượng giác hóa

+ Đưa phương trình về phương trình lượng giác

+ Giải chọn nghiệm t thỏa mãn điều kiện  x

Dạng 12: Dùng đạo hàm trong phương trình và bất

phương trình chứa tham số

 Các loại toán:

a) Định lý: Phương trình f(x) = g(m) có nghiệm x  D

 g(m) nằm trong miền giá trị của f(x)

b) Bài toán: Cho phương trình f(x, m) = 0 (1) Tìm m để phương trình có

nghiệm x  D; hay có n nghiệm x  D

c) Cách giải:

+ B1: Tìm miền nghiệm D

+ B2: Đưa phương trình (1) về dạng: f(x) = g(m)

+ B3: Khảo sát hàm f(x) và lập bảng biến thiên của f(x)

– Dựa vào bảng biến thiên và định lý trên  m

d) Chú ý:

+ Nếu phương trình (1) phức tạp thì ta tìm cách đặt ẩn phụ t để đưa về phương trình đơn giản hơn

+ Khi đặt ẩn phụ t phải tìm miền giá trị chặt nhất của t

a) Các định lý min–max:

Trang 30

Định lý 1: Bất phương trình f(x)  g(m) nghiệm đúng x  D

 minf(x)  g(m) Định lý 2: Bất phương trình f(x) ≤ g(m) nghiệm đúng x  D

 maxf(x) ≤ g(m) Định lý 3: Bất phương trình f(x)  g(m) có nghiệm x  D

 maxf(x)  g(m) Định lý 4: Bất phương trình f(x) ≤ g(m) có nghiệm x  D

 minf(x) ≤ g(m)

b) Cách giải: Các bước giải giống như loại 1

PHẦN IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH (1 ĐIỂM)

A Các dạng HỆ phương trình đại số cơ bản

Dạng 1: Hệ bậc nhất hai ẩn:

a) Dạng tổng quát 1 1 1

 trong đó X = f(x, y); Y = g(x, y)

b) Cách giải: Cách 1: Dùng phương pháp cộng đại số

Cách 2: Dùng phép thế Cách 3: Dùng định thức

Dạng 2: Hệ gồm hai phương trình bậc hai 2 ẩn x, y

 Các cách giải:

Cách 1: Nhóm và đặt ẩn phụ

Cách 2: Đưa một phương trình về tích và dùng phép thế

Cách 3: Dùng phương pháp đối lập

Dạng 3: Hệ đối xứng loại 1:

 Nhận dạng:

Khi tat hay x bởi y và y bởi x mà mỗi phương trình trong hệ không đổi thì đó là hệ đối xứng loại 1

 Các cách giải:

Cách 1: Đặt theo tổng và tích S x y

Trang 31

+ Đưa hệ đã cho về (S, P) và giải tìm (S, P) thỏa (*)

+ Sau đó giải tìm x, y

Cách 2: Đặt ẩn phụ theo kiểu khác với tổng và tích

– Nếu thấy cách đặt theo tổng và tích được một hệ mới phức tạp thì ta đổi sang cách đặt khác để hệ sau khi đặt đơn giản hơn

Cách 3: Dùng phương pháp thế

Dạng 4: Hệ đối xứng loại 2

Cách 2: Nếu hệ thức căn thức thì: ta có thể dùng một trong ba hướng xử lí sau:

a) Đặt ẩn phụ và đưa về hệ đa thức

b) Dùng lượng liên hiệp để đưa về tích dạng: (x ± y)f(x, y) = 0

c) Đưa hệ về dạng f(x) = f(y) và chứng minh x = y

Dạng 5: Hệ đẳng cấp

 Nhận dạng:

Một hệ có: Số bậc của x, y ở dạng tổng, hiệu bằng tổng số bậc của x, y ở dạng tích thì đó là hệ đẳng cấp

Cách 1: Cân bằng bậc bằng cách nhân hai vế của hai phương trình để được

một phương trình đẳng cấp hai ẩn x, y

Khi đó: + Xét y = 0, kiểm tra x

+ Xét y  0: Chia hai vế của phương trình cho yn (n là cấp của phương trình) rồi đưa về phương trình đa thức theo ẩn là x

y

Trang 32

Cách 2: Đặt ẩn phụ: + Xét y = 0, kiểm tra x

+ Xét y  0: đặt y = tx (t  R) + Thế vào hệ và lấy hai phương trình chia cho nhau vế theo vế để làm mất x Giải tìm t  x  y

B CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT

SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ TƯƠNG ĐƯƠNG

1 Các phép biến đổi gồm:

a) Cộng, trừ hai phương trình

b) Nhân thêm hệ số ở một hoặc hai phương trình rồi lấy 2 phương trình cộng hay trừ đi

c) Nhân, chia hai phương trình

d) Đưa về dạng bậc nhất hai ẩn đối với một vế rồi khử

e) Đưa một phương trình về hằng thức dạng:

d) Phương trình bậc hai đối với ẩn x (hay y) có  đặt biệt:

 = (x  y)2  = –(x + y)2  0

XỬ LÍ MỘT PHƯƠNG TRÌNH KHI PHƯƠNG KIA QUÁ

PHỨC TẠP HOẶC QUÁ TỐI GIẢN

Các hướng xử lí

a) Đưa về phương trình tích

b) Đưa về phương trình bậc 2 có  = A2 hay  = –A2

Trang 33

c) Dùng lượng liên hiệp để tạo ra thừa số chung

d) Đưa về tổng bình phương hay AK = BK

DÙNG CÁC PHÉP THẾ

Các phép thế thường dùng:

a) Thứ nhất: + Rút gọn 1 phương trình

+ Tính y theo x (hay x theo y) + Thế vào phương trình còn lại

b) Thứ hai: Kết hợp cả hai phương trình

+ Phối hợp hai phương trình bằng các phép biến đổi đại số + Đưa về phương trình đơn giản

+ Sau đó thế vào phương trình còn lại

c) Thứ ba: Từ một phương trình: tính f(x, y) rồi thế vào phương trình còn lại

 kết quả của phép thế được phương trình 1 ẩn hay 2 ẩn

d) Thứ tư: Thế và đưa về phương trình đẳng cấp hai ẩn

e) Thứ năm: Biến đổi và đưa một phương trình về tích

f) Thứ sáu: Một phương trình có dạng bậc hai tính  và đưa  về dạng A2

hay – A2 + Tìm nghiệm và thế vào phương trình còn lại

KỸ THUẬT 4 ĐẶT ẨN PHỤ

1 Các cách đặt ẩn phụ:

Cách 1: Đặt một ẩn ở một phương trình và đưa về phương trình đa thức bậc 2, 3, 4

Cách 2: Đặt 2 ẩn ở một phương trình:

Áp dụng khi: có một phương trình trong hệ quá phức tạo hay qua tối giản mà chúng ta không thể biến đổi được hay dùng phép thế

+ Chọn hai biểu thức thích hợp và đặt 2 ẩn

+ Đưa phương trình 2 ẩn này về các dạng đặc biệt như:

– Dạng tích ; – Phương trình bậc hai ; ak = bk;

Cách 3: Đặt hai ẩn ở hai phương trình và đưa về các hệ đơn giản

* Các cách tạo ra hai biểu thức để đặt ẩn phụ:

a) Nhóm hạng tử ; b) Đặt thừa số chung ; c) Dùng hằng đẳng thức ; d) Chia hai về cho một biểu thức

Trang 34

e) Lũy thừa hai vế ; f) Phối hợp các cách trên

ĐƯA HỆ VỀ DẠNG f(u) = f(v)

1 Các cách biến đổi đưa về dạng f(u) = f(v)

Cách 1: Biến đổi một phương trình

Cách 2: Phối hợp cả hai phương trình

Cách 3: Đặt ẩn phụ trước rồi đưa về f(u) = f(v)

2 Các bước giải:

+ Bước 1: Biến đổi đưa về dạng f(u) = f(v)

+ Bước 2: Xét hàm đại diện f(t)

– Chứng minh f(t) luôn tăng (hay luôn giảm) trên D – Khi đó f(u) = f(v)  u = v

+ Bước 3: Dùng phép thế

DÙNG ĐẠO HÀM TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1 Các định hướng dùng đạo hàm để giải hệ phương trình

Định hướng 1: Khảo sát hàm đại diện

Định hướng 2: Đưa về hệ hoán vị vòng quanh

Sau đó dùng đạo hàm để chứng minh x = y = z

Định hướng 3: Dùng các phép thế, sau đó dùng đạo hàm

Định hướng 4: Đặt ẩn phụ rồi dùng đạo hàm

2 Cách dùng đạo hàm trong hệ phương trình có tham số

Cách 1: Dùng phép thế và đưa về phương trình một ẩn

+ Bước 1: Tìm cách thế thích hợp và đưa về phương trình một ẩn dạng f(x) = g(m)

+ Bước 2: Chặn ẩn giữ lại bằng cách dựa vào miền nghiệm và ràng buộc giữa x và y

+ Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm f(x)

Từ đó suy ra các giá trị của m cần tìm

Cách 2: Đặt ẩn phụ đưa về hệ đơn giản hơn

Cách 3: Đưa hệ về dạng f(x) = f(y)

Trang 35

§1 ĐƯỜNG THẲNG

A KIẾN THỨC THIẾT YẾU

1 Phương trình tổng quát của đường thẳng:

Đường thẳng d có pháp vectơ n= (A; B) với A2 + B2  0 có phương trình là:

2 Phương trình tham số:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương a = (a1; a2) và qua M(x0; y0) có phương trình là: 0 1

 (t  R) t là tham số

3 Phương trình chính tắc: Đường thẳng d có vectơ chỉ phương a = (a1; a2) và qua M(x0; y0) có phương trình là: 0 0

 Quy ước: Nếu mẫu số bằng 0 thì tử số bằng 0

 Phương trình đường thẳng qua A(xA; yA); B(xB; yB) có phương trình là:

4 Phương trình đoạn chắn:

Đường thẳng d cắt trục Ox tại A(a; 0) và cắt Oy tại B(0; b) có phương trình là: x y 1

a  b  ,với ab ≠ 0

5 Phương trình theo hệ số góc:

* Định nghĩa hệ số góc:

Đường thẳng d tạo với trục Ox góc 

thì hệ số của d là: k tan 

* Phương trình đường thẳng d:

Trang 36

a b

    (0   900)

Chú ý: Ta có thể tính góc tạo bởi hai đường thẳng dựa vào hai vectơ pháp tuyến

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN TÌM TOẠ ĐỘ CỦA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC

Bài toán 1: Toạ độ trọng tâm ABC

+ Gọi G(xG; yG) là trọng tâm ABC thì: G A B C

G A B C

1

31

Bài toán 2: Toạ độ trọng tâm ABC

+ Gọi H(xH; yH) là trực tâm ABC thì

Trang 37

+ Giải hệ trên ta tìm được H

Bài toán 3: Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC thì

+ Giải hệ trên ta tìm I

Bài toán 4: Toạ độ chân đường phân

giác trong góc A

+ Gọi D(xD; yD) là chân đường phân

Bài toán 5: Toạ độ chân đường phân giác ngoài A

+ Gọi E(xE; yE) là chân đường phân giác ngoài kẻ từ A thì

Bài toán 6: Tìm toạ độ tâm đường tròn nội

tiếp ABC

+ Trong ABC, tìm D là chân đường phân

giác trong kẻ từ A

+ Trong ABD, tìm J là chân đường phân

giác trong B thì J là tâm đường tròn nội

tiếp ABC

Bài toán 7: Tìm Toạ độ tâm đường tròn bàng tiếp góc A

+ Tìm D là chân đường phân giác trong A

+ Tìm K là chân đường phân giác ngoài B trong ABD thì K là điểm cần tìm

 Dạng 2: 1) BÀI TOÁN TÌM HÌNH CHIẾU VÀ ĐIỂM ĐỐI XỨNG

2) ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG

1 Các bài toán

Bài toán 1: Cho điểm A và đường thẳng d Tìm điểm H là hình chiếu của A lên

Định dạng
Số trang	75
Dung lượng	3,57 MB