ĐỀ THI LƯỢNG GIÁC tạp CHÍ THTT

Ch ng minh tam giác ABC u.. b Xét tam giác ABC.

Trang 1

TUY N T P THI “TOÁN H C TU I TR ”:

01: (THTT 2010) Gi i ph ng trình:

H ng d n:

1

x

3

π π

2

x

+

H ng d n:

Bi n i PT a v d ng:

(cos 2 sin 2 sin) 2 2 cos 2 sin cos 2 (sin 1) 0

k

π

sin 2

x

H ng d n:

i u ki n: sin 2x ≠0

Bi n i PT v d ng: ( )

2

sin 2x sin 2x

2cos cos 2 cos3x x x+5 7 cos 2= x

Trang 2

Chuyên L NG GIÁC Luy n thi i h c 2012

PT⇔(cos 2x−1) (2 2cos 2x+5)=0⇔cos 2x=1

áp s : x=kπ

cos x+cosx+sin x=0

H ng d n:

Bi n i PT v d ng

2

1 cos cos sin sin cos 0

4cos cos 2 cos 4 cos

x

H ng d n:

Bi n i PT v d ng

cos 2 1 3

4

x x

=

áp s : x=k8 π

07: (THTT 2010) Tìm giá tr nh nh t c a hàm s :

2

cos sin 2cos sin

x y

=

− , v i 0

3

x π

< ≤

H ng d n:

Vi t hàm s d i d ng

2 2

1 tan tan 2 tan

x y

+

=

t t =tan 0x ( < ≤t 3) Kh o sát hàm s 2 23 ( )

1

2

t

t t

+

−

Ta c k t qu : miny =2 khi t =1 hay

4

x π

= 08: (THTT 2010) Gi i ph ng trình:

H ng d n:

Trang 3

(1 cos )(1 cos 2 )(1 cos3 ) 1

2

H ng d n:

Bi n i PT v d ng:

2

cos cos cos

k

3sinx+ =1 sin x−cos x

H ng d n:

Bi n i PT v d ng

2

2sin x 3sinx 2 0

cos x+sin x=64 cos x+sin x

H ng d n:

Ph ng trình vô nghi m Áp d ng B T Cauchy

12: (THTT 2003) Tìm các nghi m c a ph ng trình:

2

10

x ≥

H ng d n:

3

x

t

x

+

x

+

− Lúc ó ph ng trình tr thành: 2

sin 3t+sint−2cos t =0

2

1 sin

t

=

V i sin2 1 cos 0

2

π

Trang 4

Do

2

4

k

k Z

π

< + ≤

−

∈

π

−

Ho c có th bi n i:

sin 3 sin 2cos 0 2sin 2 cos 2cos 0

13: (THTT 2004)

a) Ch ng minh r ng tam giác ABC có các góc th a mãn tính ch t sau thì tam giác ABC

là tam giác u:

3

b) Tìm i u ki n hai ph ng trình sau t ng ng:

sin sin 2

1 sin 3

x

+

= − và cosx+msin 2x=0

H ng d n:

a) V i m i tam giác ABC: sin sin cos cos

b) sin sin 2 1 cos 0

sin 3

x x

+

2

m ≤ 14: (THTT 2004)

a) Ch ng minh r ng tam giác ABC có các góc th a mãn tính ch t sau thì tam giác ABC

là tam giác u:

b) Gi i h ph ng trình:

( ) ( )

3tan 6sin 2sin 2

tan 2sin 6sin 2

y

H ng d n:

b) N u tan 0

2

y

= thì h có nghi m (lπ; 2k π)

Trang 5

N u tan 3

2

y

= thì h có nghi m 2 ;2 2

3

2

π

α∈ − và

cos , sin

α = α = −

2

y

= − thì h có nghi m 2 ; 2 2

3

2

π

α∈ − và

cos , sin

α = α = −

1 cos3 sin 2 cos 4 sin 2 sin 3 1 cos

2

H ng d n:

áp s : x=π +k2 π

16: (THTT 2004) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: Q=sin2 A+sin2B+2sin2C, trong

ó A, B, C là 3 góc c a tam giác ABC b t kì

H ng d n:

áp s : 25

8

17: (THTT 2010)

a) Gi i ph ng trình: 4cos cos 2 cos3x x x=cos 6x

b) Ch ng minh r ng tam giác ABC có các góc th a mãn tính ch t sau thì tam giác ABC

là tam giác u:

H ng d n:

a) Bi n i ph ng trình

2 2

2

2 2cos cos3 cos 2 cos 6 2 cos 2 cos 4 cos 2 cos 6

2 cos 2 cos 4 cos 2 cos6 2cos 2 2cos 2 cos 4 cos6 0

2cos 2 cos 2 cos 6 cos6 0

2cos 2 cos 2 0 cos 2 2cos 2 1 0

b) S d ng sin sin 2cos

2

C

A+ B≤ 18: (THTT 2005) Gi i ph ng trình:

Trang 6

sin sin 3 cos cos3 1

8

+

=

H ng d n:

X lý:

H ng 1:

H ng 2:

Cách 1: S d ng 4sin3x=3sinx−sin 3 ; 4cosx 3x=3cosx+cos3x

Cách 2:Bi n i:

3

1 sin sin 3 cos cos3

8

1 sin sin 3 sin cos cos3 cos

8

cos 2 cos 4 sin cos 2 cos 4 cos

cos 2 cos 4 cos sin

cos 2 cos 2 cos 4 cos 2 1 cos 4

i chi u i u ki n

6

π

= − +

1 cos cos 2 cos3 sin sin 2 sin 3

2

H ng d n:

Cách 1: S d ng 4sin3x=3sinx−sin 3 ; 4cosx 3x=3cosx+cos3x

Cách 2:Bi n i:

Trang 7

( ) ( )

2

1 cos cos 2 cos3 sin sin 2 sin 3

2

2 cos cos3 cos 2 2 sin sin 3 sin 2 1

cos 2 cos 4 cos 2 cos 2 cos 4 sin 2 1

cos 2 cos 2 cos 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 4 1 0

1 cos 2 cos 2 cos 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 4 0

⇔

2

sin 2 cos 2 cos 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 4 0

cos 4 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 0

cos 2 sin 2 cos 4 sin 2 0

π

20: (THTT 2005)

a) Cho tam giác ABC th a mãn:

2 3 tan tan

Ch ng minh tam giác ABC

u

b) Xét tam giác ABC Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

5cot 16cot 27cot

H ng d n:

a) t tan ; tan ( 0; 0)

x= y= x> y>

b)Ta có:

3 2 cot 12 4 cot 9 18 cot

áp s : min 12 khi cot 1, cot 1, cot 1

21: (THTT 2005) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: sin 1 6cos

H ng d n:

Kh o sát hàm s

áp án:

[ 0;4 ]

5 5 max

3

π = v i 2 0 4 0 0; ; sin 0 5

21: (THTT 2006)

a) Gi i ph ng trình: cot tan 2cos 4

sin 2

x

b) Tìm các góc A, B, C c a tam giác ABC sao cho bi u th c:

Trang 8

Q= A+ B− C t giá tr nh nh t

H ng d n:

b) A=B=30 , 0 C =120 0

H ng d n:

Bi n i ph ng trình ta c 1 cos2− x=sinx⇔2sin2x=sinx

23: (THTT 2006)

a) Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta luôn có:

b) Gi i ph ng trình:

sin sin 2

2 sin 2 sin

H ng d n:

b) Ta có:

ng th c xãy ra

2

cos

x

2

1

4cos

x

t = x≥

π

H ng d n:

Trang 9

( )

2

cos 2 3 sin 2 3sin

1

1 cos 2 3 1 sin sin 2 3

2

3 1 sin sin 2 3

1 sin

x

π

2

π

25: (THTT 2006) Tính các góc c a tam giác ABC bi t 2A=3 , B a = 2 b

H ng d n:

áp s : A=45 ; 0 B=30 ; 0 C =105 0

tan x−tan sinx x− 1 cos− x =0

H ng d n:

a v ph ng trình tích

25: (THTT 2007)

a) Ch ng minh r ng tam giác ABC u n u:

sin sin sin sin

2

4sin 1 4sin 2

2

4sin 1 4sin 2

A B B C

b) Gi i ph ng trình: 3 4sin 2− 2 x=2cos 2 1 2sinx( + x)

H ng d n:

a) Hàm s 2x 4

y= + x ng bi n trên R có ( ) 1y x = ⇔ x=0

Ta có: 2sinsin 4sin 1 4sin sin sin

2

A

b) Bi n i:

Trang 10

2

2 2

3 4sin 2 2cos 2 1 2sin

3 4 1 cos 2 2cos 2 1 2sin

4cos 2 1 2cos 2 1 2sin

2cos 2 1 2cos 2 1 2cos 2 1 2sin

2 1 2sin 1 2cos 2 1 2cos 2 1 2sin

1 4sin 2cos 2 1 2cos 2 1 2sin

1 2sin 1 2sin 2cos 2 1 2co

s 2 1 2sin

1 2sin 1 2sin 2cos 2 1 2cos 2 0

1 sin

4sin cos 2 2sin 1 0 (*)

x

+

=

i v i ph ng trình (*): −4sin cos 2x x−2sinx+ =1 0⇔ −4sin 1 2sinx( − 2x)−2sinx+ =1 0

1

sin 3

2

x

2cos cos 2 cos3x x x+5 7 cos 2= x

H ng d n:

Bi n i ph ng trình:⇔2cos cos 2 cos3x x x−2cos 2x+5 1 cos 2( − x)=0

2

cos 2 2cos cos3 2 5 1 cos 2 0

cos 2 cos 2 cos 4 2 5 1 cos 2 0

cos 2 2cos 2 cos 2 3 5 1 cos 2 0

cos 2 2cos 2 3 cos 2 1 5 1 cos 2 0

cos 2 1 2cos 2 5 0 cos 2 1

áp s : x=kπ

sin cos cos 2 tan tan

H ng d n:

Trang 11

Nh n xét:

2

x

π

+

Lúc ó ph ng trình

sin cos cos 2

sin cos

=

⇔

Ta c k t qu :

2

sin 3 sin 2 sin

H ng d n:

Bi n i PT v d ng:

2 sin 3 2 sin 2 sin

sin 3 cos3 sin 2 sin cos

3 sin cos 4 sin cos sin 2 sin cos

3 sin cos 4 sin cos 1 sin cos sin 2 sin cos

sin cos

x

3 4 1 sin cos sin 2 0 sin cos 1 4sin cos sin 2 0

1 4sin cos sin 2 0 sin 2 1

⇔

Ta c k t qu :

x π kπ

(1 cos )(1 cos 2 )(1 cos3 ) 1

2

H ng d n:

Trang 12

Bi n i PT v d ng:

cos cos cos (2)

cos cos cos

cos cos cos (3)

x

=

= −

Gi i (2):

Hoàn toàn t ng t cho ph ng trình (3), ta c k t qu :

k

2sin x+2sin cosx x+cos 2x−sinx=0

H ng d n:

Bi n i PT v d ng:

2

sin 1

sin

2

x

=

Ta c k t qu :

31: (THTT 2008)

a) Gi i ph ng trình: 1 tan tan 2− x x=cos3x

b) Cho tam giác ABC th a mãn: cos2 3 cos2( cos2 ) 5 0

2

A+ B+ C + = Tính l n ba góc c a tam giác ó

H ng d n:

a) Bi n i PT v d ng:

sin sin 2

cos cos 2

cos3 0 cos3 1 cos cos 2 0

cos cos 2 1

x

−

=

= b) áp s :A=30 , 0 B=C =75 0

Trang 13

tan tan sin 3 sin sin 2

H ng d n:

H ng 1:

H ng 2:

Lúc ó ph ng trình tr thành:

sin 3x sinx sin 2x sinx sin 2x sin 3x 0 sinx sin 3x sin 2x 0

i chi u i u ki n ta có k t qu :

x

H ng d n:

Bi n i PT v d ng

4

2 2

1 cos 2 cos 2 cos 4 cos

1 2cos 2 cos 2 cos 2 cos 4 cos

c 3

4

x

x x

+

os 2 1

x

π π

3

m

π = ⇔ = Do 3 là s nguyên t nên k 8 k =8 t t( ∈Z)

V y nghi m c a ph ng trình ã cho là: x=t8 π (t∈Z)

áp s : x=t8 π (t∈Z)

Trang 14

5 cos 2

2cos

3 2 tan

x

x x

+

= +

H ng d n:

Bi n i ph ng trình

5 cos sin 2 3cos 2sin

áp s :

35: (THTT 2010)

a) Gi i ph ng trình: 2cos 22 x+cos 2 sin 3x x+3sin 22 x=3

b) Tìm GTLN- GTNN c a hàm s : ( ) sin 2cos2

cos 2sin

2

x x

f x

x x

+

=

+

trên 0;

2 π

H ng d n:

a) Bi n i PT v d ng:

2cos 2 cos 2 sin 3 3 1 sin 2 0

2cos 2 cos 2 sin 3 3cos 2 0 cos 2 sin 3 cos 2 0

cos 2 0

sin 3 cos 2 sin 3 sin 2

2

x

=

⇔

2 4

2

1 tan

x

+

H ng d n:

Bi n i ph ng trình 16cos4 4cos 2 2sin 4

4

2

4

4 1 cos 2 4cos 2 1 sin 2

2

4 1 sin 2 4cos 2 1 sin 2 4 1 sin 2 1 cos 2 0

sin 2 1

x

π

=

Trang 15

áp s : ,

4

H ng d n:

Bi n i PT v d ng:

5 cos sin 1 4 cos sin 1 sin cos 0

ây là ph ng trình ph n x ng sin x và cos x

( ) ( 2 ) sin 1

2 1 cos cot 1

cos sin

x

−

+

H ng d n:

Bi n i PT v d ng:

2

2 2

sin 1

2 1 cos cot 1

cos sin

2 1 cos

2 cos sin sin 1 1 cos

x

x x

x

−

+

−

+

ây là ph ng trình i x ng sin x và cos x

1 2011tan cot 2 1005 3

sin 2

x

H ng d n:

(1) 2010 tan tan cot 2 1005 3

sin 2

3

x

π

40: (THTT 2011) Tìm x ∈[2;+∞)th a mãn ph ng trình :

Trang 16

π

H ng d n:

i u ki n: x ≠1

t

( )

/

2

0

x

L p b ng bi n thiên ta có: ∀ ∈x [2;+∞) t∈(2;5]

Lúc ó, ph ng trình tr thành: sin 2 2 sin 1 (sin cos ) 2sin cos 1 (1)

4

2

1 2sin cos sin cos

2

u

1

u

=

π π

π − < ≤π −

< + ≤

π

+

−

T ng t : V i u =1: Ta c các nghi m là 1

2

x π π

+

=

−

áp s : 4 5 ; 1

( 4 4 )

2

1 cot 2 cot

1 6 sin cos cos

x

+

H ng d n:

2

sin sin 2 cos cos 2

sin sin 2 cos

cos

1 6 sin cos sin sin 2 cos

x

+

Trang 17

H ng d n:

2

(1)

cos 1 sin 1 8 sin 2

8 sin 2

8

x

+

2

2 2

sin 2 1

2

8 2sin 2 15 1 2sin 2

x x x

+

− + −

cos sin 2

1 0 cos3

x

+

+ =

H ng d n:

3

2 3 cos

2

x

≠

≠ −

Bi n i ph ng trình⇔cosx+sin 2x+cos3x=0⇔(cosx+cos3x)+sin 2x=0

2

2cos 2 cos 2sin cos 0 2cos cos 2 sin 0

x

=

Ph ng trình (*)

( ) ( )

sin 1

1 sin

2

x x

=

⇔

K t lu n: Ph ng trình ã cho vô nghi m

2

2cos 3

tan cot sin 2

x

H ng d n:

Trang 18

Bi n i ph ng trình

2

2 3

1 4cos 3cos 2 cos 2

−

+

a) tanx 2012cos 4 x

π

x =

H ng d n:

i u ki n: cosx ≠0

D ng ý là r t rõ ràng: a v logarith và s d ng tính n i u

a) tanx 2012cos 4 x tanx 0

π

x x

x

>

> ⇔

> ho c sin 0

x x

<

2012

2

x

π

+

t ( ) log2012 2 ( )

2

f t = t + t f t ng bi n trên D

Ph ng trình (*) có d ng: (sin ) (cos ) sin cos tan 1

4

π

b) Hoàn toàn t ng t :

cos 4

tanx 2012 x tanx 0

π

x x

x

>

> ⇔

> ho c sin 0

cos 0

x x

<

2012

tan 2012 x log tan cos 2 cos sin

log sinx log cosx cos x sin x

log sin 2sin log cos 2cos (*)

Trang 19

(sin2 ) (cos2 ) sin2 cos2 tan2 1 4

4

π π π π

= − +

2

2sin 3 2 sin sin 2 1

1 sin cos

= − +

H ng d n:

i u ki n: tanx ≠0

Bi n i ph ng trình 2sin2 3 2 sin sin 2 1 1

1 sin 2

x

+

( )

2

2sin 3 2 sin sin 2 1 1 sin 2

2 sin

x

= −

Ta có:

2

sin

5 2

2 4

! "

#$ %

x

π

π π

π

= − +

sin

3

x

π π

−

H ng d n:

i u ki n: sin 0

3

x π

Bi n i ph ng trình 2( 3 2sin 2 2 3 cos 2 2sin 4 )

1 2cos 2 sin 3 cos

x

= −

−

3 2sin 2 1 2cos 2

1 2cos 2 sin 3 cos

x

−

Trang 20

2

x

+

H ng d n:

i u ki n: sinx ≠0

Bi n i ph ng trình v d ng (sin 2 cos 2 sin) 2 2 cos 2 sin

4

sin 2 cos 2 sin sin 2 cos 2

sin 2 cos 2 sin 1 0

π

2

8cos8 cos 2x x+ 1 cos3− x+ =1 0

H ng d n:

i u ki n: sinx ≠0

Tiêu đề	Đề Thi Lượng Giác Tạp Chí THTT
Người hướng dẫn	Lê Bá B O, Giáo viên Toán THPT Phong Điền
Trường học	Chuyên Lý Tự Trọng
Chuyên ngành	Lượng Giác
Thể loại	Đề thi
Năm xuất bản	2010
Thành phố	Phong Điền

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	241,82 KB