Chuong III 4 Cap so nhan

Bµi 4: CÊp sè nh©n III- TÝnh chÊt c¸c sè h¹ng cña cÊp sè nh©n ĐÞnh lý 2: Nếu un là 1 cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng trừ số hạng cuối đối với cấp số n[r]

Gi¸o viªn : LTHN

KiÓm tra bµi cò

C©u 1: Cho cÊp sè céng (un) cã sè h¹ng ®Çu u1 = -5

vµ c«ng sai d = 2 thì sè h¹ng thø 21 lµ

C©u 2: Cho cÊp sè céng (un) cã sè h¹ng ®Çu u1 = 7 vµ c«ng sai d = -3 thì tæng 8 sè h¹ng ®Çu lµ

A

B

Bài 4: Cấp số nhân

I- Định nghĩa

Hoạt động 1

+) Số hạt thóc trên các ô từ 1 đến 6 của bàn cờ là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

+) Nếu coi số hạt thóc trên các ô từ 1 đến 6 của bàn cờ là một dãy số

Nhận xét: Từ số hạng thứ 2 trở đi thì mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay tr ớc nhân với 2

Cụ thể:

2 1

u  u 2

: ) (u n 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Bài 4: Cấp số nhân

I- Định nghĩa

Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số hữu hạn (hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay tr ớc nó với một số không đổi q

(un) là cấp số nhõn  với n ≥ 2, u n =u n-1 q

Số q đ ợc gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (un) là cấp số nhân có công bội q, ta có công thức truy hồi

u n+1 =u n q với n≥2

Đặc biệt:

+) Khi q=0 thì cấp số nhân có dạng: u1, 0, 0, …, 0, …

+) Khi q=1 thì cấp số nhân có dạng: u1, u1, u1, …, u1, …

+) Khi u1 =0 thì với mọi q cấp số nhân có dạng: 0, 0, 0, …, 0, …

Bài 4: Cấp số nhân

, , , , 1.

81 27 9 3

1 1

.( 3);

9 27

  

I- Định nghĩa

un+1= xn.qvới n ≥2

Chứng minh:

Vậy, dãy số đã cho là cấp số nhân có công bội q = -3

Ví dụ 1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số nhân

vì ( ).( 3);

27   81  1 ( 1 ).( 3)

3   9 

1

3

Bài 4: Cấp số nhân

I- Định nghĩa

II- Số hạng tổng quát

Hoạt động 2:

Đọc hoạt động 1 và cho biết ở ô thứ 11 có bao nhiêu hạt thóc?

Nhận xét:

u u 2 ; u u 2 ; u u 2

u u 2 ; u u 2 ;

Đáp án:

2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n 1

Dự đoán: u  u 2  , (2   n 64).

Bài 4: Cấp số nhân

I- Định nghĩa

II - Số hạng tổng quát

Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thỡ số hạng tổng quát un đ ợc xác định bởi công thức

n 1

u  u q  , n  2 (2)

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) có u1 = 5 và q= -2

a) Tính u6

b) Hỏi 1280 là số hạng thứ mấy?

Đáp số:

a) u6 = -160

b) 1280 là số hạng thứ 9

Củng cố

Câu 1: Cho cấp số nhân (un) có u5 = -17 và u6 = 34 Số hạng

đầu và công bội của cấp số đó là

A u1 = -17/16, q=-2 B u1 = -17/16, q= 2

C u1 = 17/16, q= -2 D u1 = 17/16, q=2

Câu 2: Cho cấp số nhân (un) có u3 = 3 và q = -2 Số hạng đầu của

cấp số đó là

A u1= -3/4 B u1 = 4/3

C u1 = -4/3 D u1 = 3/4 A

D

Bµi 4: CÊp sè nh©n

III- TÝnh chÊt c¸c sè h¹ng cña cÊp sè nh©n

Ho¹t đéng 3:

Cho cÊp sè nh©n (un) cã u1 =-2 vµ q= -1/ 2.

a) ViÕt năm sè h¹ng ®Çu cña nã.

b) So s¸nh u víi tÝch u u vµ u víi tÝch u u

§¸p ¸n:

1 1 1 a) N¨m sè h¹ng ®Çu: -2, 1, - , ,

2 4  8

2 1 3 3 2 4

b) u  u u ; u  u u

2

k k 1 k 1

Dù ®o¸n: u u  u  , k 2 (trõ sè h¹ng ®Çu vµ sè h¹ng cuèi)

Bµi 4: CÊp sè nh©n

III- TÝnh chÊt c¸c sè h¹ng cña cÊp sè nh©n

ĐÞnh lý 2:

Nếu (un) là 1 cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi

số hạng ( trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số đứng kề nó trong dãy.

2

Chøng minh:

Sö dông c«ng thøc (2) víi k >1, ta cã

k 1 2 1

(u q )





Bài 4: Cấp số nhân

IV – Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Hoạt động 4:

Gọi tổng số hạt thóc trên 11 ô đầu của bàn cờ là S11 Khi đó

11

S   1 2  2  2   2

Và S11 là tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân có u1= 1, q=2

11

11

11 11

1 2

1 2





11 1

11







Bµi 4: CÊp sè nh©n

IV – Tæng n sè h¹ng ®Çu cña cÊp sè nh©n

ĐÞnh lý 3:

n

n 1

n

Cho cÊp sè nh©n (u ) víi c«ng béi q 1.

§Æt: S =u +u +u + +u

u (1 q )









Chó ý: NÕu q=1 th× cÊp sè nh©n lµ u1, u1, u1 , … vµ Sn = n.u1.

VÝ dô 3: Cho cÊp sè nh©n (un ) cã u1 = 4 vµ q= 3 TÝnh tæng cña 9 sè h¹ng ®Çu

Lêi gi¶i: ¸p dông c«ng thøc (*) ta cã:

9 9

S







Bài 4: Cấp số nhân

IV – Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Hoạt động 5:

?1 Vế phải của (1) là tổng của bao nhiêu số hạng?

?2 Nếu ta coi các số hạng đó theo thứ tự là một dãy số thì dãy

số trên có đặc điểm gì?

Bài 4: Cấp số nhân

n 1

n 1

1

1 1 ( )

3

1 3









IV – Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Hoạt Động 5:

Lời giải:

Nhận xét: Tổng trên là tổng của n+1 số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu là 1 và công bội 1/3 Khi đó:

Cñng cè

C©u 1: Cho cÊp sè nh©n (un) cã u1 = -2 vµ q = 3 Tæng 7 sè h¹ng ®Çu

C©u 2: Cho cÊp sè nh©n (un) cã u1 = 4 vµ S5 = 242 Tìm c«ng béi q

C

D

Câu 3: Cho cấp số nhân (un) có u5 = 7 và u6 = -28 Công bội của

cấp số đó là

A

Bài tập

1/ tìm công bội và số hạng đầu của cấp số nhân thỏa:

u3=15 và x5= 135; x6>0

2/ Cho tứ giác ABCD có (A, B, C, D) tạo thành 1csn và thỏa D=9B

-tính các góc của tứ giác

3/ Cho (a,b,c) là csn.

Chứng minh:

a2+b2+c2=(a+b+c)(a-b+c)