CHƯƠNG IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.. Với các hệ thức dạng ab, ab gọi là bất đẳng thức.. BÀI 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.. I, TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH: + Tập hợp
Trang 1CHƯƠNG IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
BÀI 1: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VỚI PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN
I, BẤT ĐẲNG THỨC:
+ Trên tập hợp số thực, với hai số a và b khác nhau ta luôn có:
a b: số a bằng số b
a b: số a lớn hơn số b
ab: số a nhỏ hơn số b
+ Khi hai số a, b bất kì thì ta có thêm 2 TH nữa:
ab: a lớn hơn hoặc bằng b
ab: a nhỏ hơn hoặc bằng b
Với các hệ thức dạng ab, ab gọi là bất đẳng thức Khi đó a gọi là vế trái, b gọi là vế phải Còn ab, ab gọi là các BĐT suy rộng
II, LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG:
+ Khi cộng ( trừ) một số và cả hai vế của một BĐT thì ta được một BĐT mới cùng chiếu với BĐT
đã cho:
aba c bc
III, LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN:
+ Khi nhân cả hai vế của một BĐT với cùng một số dương thì ta được một BĐT mới cùng chiếu với BĐT đã cho:
aba.cb.c, c0 + Khi nhân cả hai vế của một BĐT với cùng một số âm thì ta được một BĐT mới ngược chiều với BĐT đã cho:
aba.cb.c, c0
IV, TÍNH CHẤT BẮC CẦU:
+ Với ba số a, b, c nếu: ab và bc thì ac
+ Các tính chất trên đều đúng cho các BĐT suy rộng: ab
V, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho ab, hãy so sánh:
a, a3 với b 3 b, 2a với 2b c, 2a 1 với 2b 1
a, a7 với b7 b, a.6 với b.6 c, 3a4 với 3b4
a, a 3 với b 3 b, 3a với 3b c, 43a với 4 3b
a, a 5 với b 5 b, 5 a với 5 b c, 5a3 với 5b 3
Trang 3Bài 2: Cho a b hãy so sánh:
a, 5a với 5 b b, a với b c, 3a4 với 3b4
a, a 4 với b 4 b, 3a với 3b c, 2a 1 với 2b 1
a, 11 a với 11 b b, 7a với 7b c, 5 6a với 5 6b
a, a 3 với b 3 b, 6.a với 6.b c, 6.a6 với 6.b6
Bài 3: So sánh a và b nếu:
a, 8 a 8 b b, 6a6b c, 3a 1 3b 1
a, a7b7 b, 3a 3b c, 5a 1 5b 1
a, a 1 b 1 b, 5.a5.b c, 2a 3 2b3
a, a 4b 4 b, 4.a 4.b c, 4a 5 4b 5
Bài 4: Cho ab Chứng minh rằng: a4b4
Bài 5: Cho a2b Chứng minh rằng: a62b6
Bài 6: Cho a b Chứng minh rằng: 9 a 6b
Bài 7: Cho a b Chứng minh rằng: 10 a 5 b
Bài 8: Cho 2a 3 2b4 Chứng minh rằng: 2a 1 2b
Bài 9: Cho 3 4a 3 4b Chứng minh rằng: 4a 3 4b3
Bài 10: Cho 2a 1 2b3 Chứng minh rằng: a2b
Trang 4BÀI 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I, TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
+ Tập hợp tất cả các nghiệm của một BPT gọi là tập nghiệm cảu BPT đó
+ Việc giải BPT là đi tìm tập nghiệm cảu BPT đó
+ Biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
VD:
Với tập nghiệm: x 2:
Với tập nghiệm: x 1 :
II, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG:
+ Hai BPT có cùng tập nghiệm gọi là hai BPT tương đương và dùng kí hiệu: ""
VD:
x33x9
III, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN:
+ Bất phương trình dạng: axb0, ax b0 hoặc axb0, ax b0 trong đó a, b là các số
đã cho với a0 gọi là BPT bậc nhất một ẩn
VD: Các BPT bậc nhất một ẩn:
a, 2x 3 0 a, 42x0 c, 4x0 d, x0
+ Quy tắc chuyển vế:
Khi chuyển một hạng tử của BPT từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó:
abca c b
+ Quy tắc nhân ( Chia) với một số:
Khi nhân hai vế của một BPT với cùng một số khác 0 thì:
Giữ nguyên chiều BĐT nếu số đó dương
Đổi chiều BĐT nếu số đó âm
IV, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG axb0 hoặc axb0
+ Bằng các phép tính và sử dụng các quy tắc, ta có thể biến đổi các BPT về dạng BPT cơ bản để giải BPT đó:
VD: Giải bất phương trình sau: 2x4x5
(
]
1
0
Trang 5Ta có: 2x4x 5 2xx 5 4x9
Vậy nghiệm của BPT là: x 9
V, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a, x 3 5 b, x23x4 c, x 6 2x 1
a, 3x 1 0 b, 2x7 8 x c, 4x 5 7 x
a, 3x28 b, 3x 5 2x 1 c, 2x 3 1 3x
a, 3 2x 4 b, 5x 3 3x4 c, 3x 1 4 2x
a, 2x70 b, 7x45x8 c, 5 2x 5x 2
a, 3x 5 14 b, 5x22x8 c, 2x 3 8x 11
Bài 2: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a, 3 2 xx 8 b, x 2 x 1 x 2
a, 4x 3 3 x 2 b, x 1 2 x 3x 3
a, 10x 1 3 5x 2 b, x 5 x 3 2x 1
a, 2 x 312x2 b, x 1 4x 3 1 5x
a, 3 2 x 1 3 x 1 5 b, x 2 2x 3 x 12
a, 4x 8 3 3x 2 4 2x b, 3x 5 x 4 3x 7
a, 3 x 27x4 x 1 14 b, 12x 1 9x 3 8x 1
Bài 3: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a, x 1 2 x x 3 b, 2x 1 x 7
a, 2x 3 2x 4x 3 b, x 2 2x 1
1
a, 2x 1 2 7 x 4x 3 b, 1 2x 1 5x
2
Trang 6a, 2
x 1 x 3 x 90 b, x 2 3x 1
2
a, x3x3x x 20 b, x 1 x 1
Bài 4: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a, x 1
1
x 3
1 2x
a, 2x 1
1
x 1
a, 2x 3
1
x 2
3 x
a, 3x 1
2
x 2
x 3 1 2x
a, 4x 3
5
x 2
1 2x 1 5x
a, 4x 3
2 2x 1
x 3 x 12 x 1
x
Bài 5: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a, 4 x 1
0
x 9 x 1
22x 3 5x 2 2x 1
a, x 3 x 5
2
x 5 x 3
x 4 2x 9 15x 17
a, 5x 1 3x 2
2
x 3 x 2
2 x 3 x 5 12x 4
Bài 6: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a, x 1 x 1
3 2 3
a, 2x 5 3 x
1
1
a, 2 1 2x 3 2 x
2
Bài 7: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a, x 15 x 13 x 11 x 9
a, 3 2x 1 5x 3 x 1 7
x
Bài 8: Kiểm tra xem x 2 có là nghiệm của BPT sau hay không?
a, 4x 3 x210
Trang 7b, 2 2
x 2x 4 x
Trang 8Bài 9: Xét xem x 6 có là nghiệm của BPT sau hay không?
a, 1 5x x24
b, 2 1 2
7x 4 14 x
Bài 10: Xét xem x 3 có là nghiệm của BPT sau hay không?
a, 2x 5 1
3
b, 2 x 6 2
Bài 11: Tìm m để x 2 là nghiệm của BPT sau:
m 2x
b, 2
4x m 1 x 2 m0
Bài 12: Tìm m để x7 là nghiệm của BPT: m 1 x
3 2x 24
x 2
Bài 13: Tìm giá trị nguyên của x để x là nghiệm đúng của cả hai BPT sau:
x 24 x x 2
x
và 7x 3 x 3
3
Bài 14: Tìm m để hai BPT sau có cùng tập nghiệm: 2
x x5 4 5x và mx 5 x2m
Bài 15: Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: xy2 Chứng minh 2 x 1 2y 8
1 x 1 2y 7
Trang 9BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I, NHẮC LẠI VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
+ Giá trị tuyệt đối của một số a là khoảng cách từ số a đến số 0 trên trục số Kí hiệu: a
Ta có:
a, a 0 a
a, a 0
VD: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:
a, A 2x5 2x3 b, B x 5 5 2x
II, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
+ Sừ dụng định nghĩa chia các TH để giải PT chứa dấu giá trị tuyệt đối
+ Sử dụng tính chất về GTTĐ để giải quyết các PT
a a
a b ab Dấu " " xảy ra khi: a.b0 ( a và b cùng dấu)
a b ab Dấu " " xảy ra khi: a.b0 ( a và b trái dấu)
a b ab Dấu " " xảy ra khi: a.b0 ( a và b cùng dấu)
III, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:
a, A 1 x 2x 1 b, A2x 4 x3 với x5
a, A x3 2x3 b, A 4x x4 với x4
a, A x5 4 5x b, A x 1 2x3 với x 1
a, A 6 3x 2x 1 b, A2x 4 3x6 với x6
a, A 62x 3x4 b, A 4 3x 4 5x với x0
a, A 3 3x 4x3 b, A3x 4 2x5 với 5
x 2
a, A4 3x 3x4 b, A 2x3 4 5x với 3
x 2
a, A 4 2x 4x2 b, A 2x 1 2x3 với 1
x 2
a, A 2x5 2x 16 b, A 2x5 x5 với 5
x 2
a, A 3x 2 2x 1 b, A 2x 3 2x3 với 3
x 2
Trang 11DẠNG 1: Phương trình dạng f x g x
Phương pháp:
Cách 1:
g x 0
f x g x
f x g x
Cách 2: Sử dụng pp chia khoảng:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a, x 3 x b, x 3 4
3
24 2 c,
2
x 3x 5x
c, x25x 6x
a, x 1 73x b, 1 5
c, x22x x
a, x5 3x 1 b, 5 x
2
x x x 1
a, x 1 2x5 b, 3 3
2 2
c, x28x 5x
a, x3 5x2 b, 3 x
x 2 3
2
x 3x 12x
a, x9 2x3 b, x 4 2x
2
33 3 c,
2 5x 12x 3x
a, 5 x 2x5 b, 1 3
2x 2x
2 4 c,
2
x 2x x 2
a, 7x 2x3 b, 2x 1 4x
1
3 4 3 c,
2 2x x 4x 2
a, x6 6 x b, 1 5
x 5 x 2
4 4 c,
2
x 5x 3x 15
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a, 2x 2x3 b, x 1 x25 c, 1 x 2x 1
a, 5c 3 4 3x b, 2
x 12 x 6x c, x 1 73x
a, 2x 1 3x4 b, 2
3x6 x 2x c, x 1 3 2x
a, 3x2 2x3 b, 6x 12 x2x c, x3 2x 1
a, 19x 2x 1 b, 2x8 x24x c, x 1 2x9
a, 3x2x 1 70 b, 2
2x4 x 3x2 c, x3 2x 1
Trang 12Bài 3: Giải các phương trình sau:
a, 2
x 4x 6x24 b, 3x4 1 x
a, x22x 4x8 b, 5x 1 2x6
a, x2 7 5x x 1 b, 5x2 7x3
a, 2
x 4x 3x 12 b, 3x6 20x
a, 2
a, x26x 8 4x 16 b, 2x43x2
a, 2
a, 2x23x 1 2x 1 b, 3x 2x5 10
a, 2
x 3x20 9x 12 b, 3x5 7x 3
a, 2
x 4x 8 2x 16 b, 2x3 x 21
DẠNG 2: Phương trình dạng f x g x Phương pháp:
Cách 1:
f x g x
f x g x
f x g x
Cách 2: Sử dụng pp chia khoảng:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a, x3 3x 1 b, 1 x x 4
32 43 c,
2
x 6x
a, 2x 1 3x b, 3 3
2 2
c, 3x2 4x
a, 1 x 4 3x b, x 4 4
1 x
33 3 c,
2 5x 7x
a, 5x 2x5 b, 3 1
2 2 c,
2 6x 2x
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a, 72x x9 b, x2 1 2x c, 2 7
a, 2x 1 2x 1 b, x25 6x c, 7 5 1
8 6 2
a, 5x 1 2x6 b, x29 6x c, 5 7 5 3
4 2 8 5
a, 3x2 2x3 b, 9x2 1 6x c, 2 1 1 5
3 4 3 6
Trang 13a, 2x3 3x4 b, x26 5x c, 1 5 3 4
4 4 4 5
a, 4 3x 2x 10 b, x24 4x c, 1 3 4 2
4 4 5 5
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a, x 1 2x3 0 b, x2 5x 0 c, x216 8x
a, x6 2x3 0 b, x2 3x 0 c, x212 8x
a, 7x 1 5x6 0 b, 4x2 6x 0 c, x230 11x
a, 2x3 3x2 0 b, 3x 4x2 0 c, x221 10x