Bài tập lớn cơ học môi trường liên tục (3)

Vật thể đàn hồi lý tưởng, thuần nhất và đẳng hướng - Đàn hồi lý tưởng: khôi phục hoàn toàn hình dáng và kích thước ban đầu khi bỏ lực tác dụng ⇒ σij=Φεij - Thuần nhất: tính chất cơ học n

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Văn Liên (2011), Cơ học môi

trường liên tục, NXB Xây dựng, Hà Nội

6 Mase G.E (1970), Theory and

problems of continuum mechanics,

McGraw – Hill.

CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.1 Định luật Hooke tổng quát

5.1.1 Vật thể đàn hồi lý tưởng, thuần nhất và đẳng hướng

- Đàn hồi lý tưởng: khôi phục hoàn toàn hình dáng và kích thước ban đầu khi bỏ lực tác dụng ⇒ σij=Φ(εij)

- Thuần nhất: tính chất cơ học như nhau tại mọi điểm

- Đẳng hướng: tính chất cơ học như nhau theo mọi phương trong không gian

5.1.2 Thế đàn hồi Công thức Green và Castigliano

U – thế đàn hồi toàn phần, u – tđh/ 1đv khối lượng; u* - công bù

∂

∂

=

ji ij

ij

u

u

ε ε

ρ

σ

21

∂

∂

=

ji ij

ij

W

W

σσ

21

CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

5.1.3 Định luật Hooke

66

56 55

44

34 33

24 23

22

14 13

12 11

31 23 12 33 22 11

0 0

0 0

0 0

0 0

ε ε ε ε ε ε

h

h h

h h

h

h h

h h

66

56 55

46 45

44

36 35

34 33

26 25

24 23

22

16 15

14 13

12 11

31 23 12 33 22 11

εεεεεε

h h

h

h h

h h

h h

h h

h

h h

h h

h h

CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

tấm bê tông cốt thép, tấm vật liệu lượng sóng, )

66 55

44 33

23 22

13 12

0 0

0

0 0

0

0 0

0

ε ε ε ε ε ε

h h

h h

h h

44 44

44 11

12 11

12 12

0 0

0

0 0

0

0 0

0

ε ε ε ε ε ε

h h

h h

h h

h

CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

5.2 Định luật Hooke cho vật thể đàn hồi tuyến tính, thuần nhất, đ.hướng

ij ij

+

=

− +

=

1 2

; 2 1 1

E E

µ λ

µ λ

+

= 2

010

001

33 32

31

23 22

21

13 12

11

33 32

31

23 22

21

13 12

11

εε

ε

λε

εε

εε

ε

εε

εµσ

σσ

σσ

σ

σσ

0 1 0

0 0

1 1

33 22

11 33

32 31

23 22

21

13 12

11

33 32

31

23 22

21

13 12

11

σσ

σ

νσ

σσ

σσ

σ

σσ

σνε

εε

εε

ε

εε

εε

E E

CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

Ví dụ 1: Cho ten xơ BD với E=2.10 4 kN/cm 2 , ν=0.25 Xác định ten xơ ứng suất

Giải:

hằng số đàn hồi

tiếp chính, ten xơ lệch ứng suất được tiến hành như ở Chương 3

4

4 2

4

4 2

CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

Ví dụ 2: Cho ten xơ ứng suất

Giải:

được tiến hành như ở Chương 2

CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

5.3 Cách đặt bài toán của LTDH tuyến tính, thuần nhất và đẳng hướng

5.3.1 Các phương trình cơ bản

a) 6 phương trình hình học Cauchy

6 pt tương thích biến dạng Saint Venant

b) 3 phương trình cân bằng (hay chuyển động) Navier – Cauchy

c) 6 phương trình định luật Hooke

x

u x

2 2

∂

∂

∂

k i

jl l

j

ik j

i

kl l

k

ij

x x x

x x

x x

x

ε ε

ε ε

x

i i

j

σ

ij ij

CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

5.3.2 Điều kiện biên

5.3.3 Điều kiện ban đầu

30 3

20 2

10 1

2 2

0

3 2 1 3

2 1

* 0

3 2

t

t x x x

u x

x x u t

x x x

t

i i

L

h z,uz

Điều kiện biên tĩnh:

Biên trên y=h/2: σyy =-q; σxy =0 Biên dưới y=-h/2: σyy =0; σxy =-t Biên phải x=L: σxx =0; σxy =-s

Điều kiện biên động:

∂

=

∂

CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

5.4 Cách giải theo chuyển vị Ba phương trình Lamé

Điều kiện biên theo ứng suất:

Các hệ quả: θ , S là hàm điều hoà,

u, σ , ε : song điều hòa

Bài toán lan truyền sóng động đất,

5.5 Cách giải theo ứng suất Sáu p.trình Bentrami- Michell

Maxwell và Morera đưa 6 thành phần ứng suất về 3 hàm ứng suất cho bài toán tĩnh, không có lực thể tích

SBVL, CHKC thường dùng cách giải theo ứng suất

+

t

u F

i

j j

i k

k j

x

u x

u x

u

ν

νµ

λν

∂

∂+

∂

∂

=

; 0

+

∆

i

j j

i ij

k

k j

i

ij

x

F x

F x

F x

x

ν

ν ν

σ

11

CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.6 Định lý Kirchhoff về sự duy nhất nghiệm của bài toán đàn hồi tĩnh

Bài toán đàn hồi tĩnh bao gồm các phương trình cân bằng Cauchy, phương trình hình học Cauchy, định luật Hooke cùng với các điều kiện biên theo ứng suất trên phần biên S1 và các điều

Navier-kiện biên theo chuyển vị trên phần biên S2 là có nghiệm duy nhất

5.7 Cách đặt bài toán thuận và ngược của LTĐH Nguyên lý cục bộ Saint Venant Nguyên lý cộng tác dụng lực

- Bài toán thuận: Cho Fi, Pν ⇒ tìm σij, εij, ui

- Bài toán ngược: Cho σij ( hay εij, ui) ⇒ tìm Fi, Pν

- Bài toán nửa ngược: Cho biết Fi, Pν và một phần σij ( hay εij, ui)

⇒ tìm phần còn lại bằng việc tích phân – là phương pháp được

sử dụng nhiều nhất ( LT đàn hồi, dẻo, SBVL, CHKC, )

Theo định lý Kirchhoff, ta không cần phân biệt cách giải

CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

Trạng thái US, BD tại các điểm xa nơi đạt lực

không thay đổi nếu ta thay hệ lực ban đầu bằng

một hệ lực khác tương đương (lực và mômen)

US, BD do nhiều nguyên nhân gây ra

= ∑ US, BD do từng nguyên nhân gây ra

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

6.1 Trạng thái biến dạng phẳng

Giả thiết trạng thái biến dạng của vật thể như thế nào đó để cho mọi điểm của

nó chuyển dịch song song với một mặt phẳng cố định, mọi điểm nằm trên cùng một đường thẳng bất kỳ trực giao với mặt phẳng cố định sẽ có chuyển vị như

nhau Khi đó ta có trạng thái biến dạng phẳng Nếu trọn trục z thẳng góc với

Định luật Hooke

x y

z

1

x y

0

0

0

yy yx

xy xx

ε

ε ε

xy xx

ij

σ

σσ

σ

σσ

0 0

0 0

( ) ( xx yy ) ( xx yy )

µλ

xx

E E

1 1

1 1

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

6.2 Trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái ứng suất phẳng suy rộng

Tại các mặt cắt song song với một mặt phẳng cố định ứng suất bằng không, còn tại các mặt cắt khác ứng suất không phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm

đang xét tới một mặt phẳng cố định, thì ta có trạng thái ứng suất phẳng Tuy

vậy trạng thái ứng suất phẳng khó thực hiện trong thực tế.

Trong thực tế, có nhiều trường hợp trạng thái ứng suất trong vật thể gần với trạng thái ứng suất phẳng Ví dụ, pa nen tường nhà chịu tải trọng do các tầng

đè xuống hay tấm mỏng chịu tải theo chu tuyến với các lực mặt nằm trong mặt

trạng thái ứng suất phẳng suy rộng

y h

− +

− +

− +

1 ,

, ,

1 ,

, ,

1 ,

, ,

1 ,

h

h

x x

h

h

x x

h

h

xx xx

h

h

x x

dz z y x

F h

y x F

dz z y x

P h

y x P

dz z y

x h

y x

dz z y x

u h

y x u

ν ν

σ σ

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Trạng thái ứng suất phẳng suy rộng

Điều kiện biên

Nhận xét: Cách đặt bài toán ứng suất phẳng suy rộng tương tự cách đặt bài toán biến dạng phẳng Bài toán biến dạng phẳng và bài toán ứng suất phẳng hay ứng suất phẳng suy rộng đều có chung các phương trình cơ bản, các ẩn

số chính Những ứng suất và biến dạng còn lại đều có thể biểu diễn qua các ẩn

số chính Sự khác nhau chỉ là trong bài toán ứng suất phẳng, ta sử dụng các

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

+

0 0

0

0

0

yy yx

xy xx

+ +

+

zz

yy yx

xy xx

ij

ε

ε ε

ε

ε ε

0 0

0 0

( ) + = ( xx( ) + − ( )yy+ ) xy( ) + = + xy( ) + yy( ) + = ( ( )yy+ − xx( ) + ) zz( ) + = − ( xx( ) + + ( )yy+ )

xx

E E

E

( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) +

+ +

+

= +

= +

y y

yy x

xy

x y

xy x

σ

νσν

σ

ν

νν

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

6.3 Các phương trình cơ bản của bài toán phẳng của LTĐH

∂

∂

y

yy xy

x

xy

y x

F y

x

σ σ

σ σ

u y

u x

xy

y yy

x xx

ν

σ

εν

σνε

εν

−

=+

;1

( xx yy ) xy xy yy ( yy xx )

xx

E E

y y

yy x

xy

x y

xy x

σ

νσν

σ

=+

=

+

0 0

2 2

S y x

v t

t y x u y

x

v t

t y x u

y x u t

y x u y x u t

y x u

y t

y x

t x

y t

y x

t x

, ,

,

; , ,

,

, ,

,

; , ,

,

* 0

* 0

* 0

* 0

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

6.4 Hàm ứng suất Airy

6.4.1 Hàm ứng suất Airy: Khi không có lực thể tích

mặt cho trước trên biên

ở trên biên của tiết diện (bài toán biên thứ nhất) thì sự phân bố ứng suất trong bài toán đàn hồi phẳng không phụ thuộc vào các tính chất của vật liệu” –> cơ

sở của phương pháp quang đàn hồi

- Bài toán cơ bản thứ hai: Xác định chuyển vị ở bên trong vật thể theo giá trị

chuyển vị cho trước trên biên

- Bài toán hỗn hợp: Xác định ứng suất và chuyển vị ở bên trong vật thể theo giá

∂

∂

y x

y x

yy xy

2

4 4

4 1

∂

∂+

∂

∂

∂+

x x

ϕ ϕ

ϕ ϕ

y y

x x

y

x y

x

P y

x

∂

∂+

2 2

2

;

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

6.4.2 Giá trị hàm ứng suất Airy trên biên

Nếu đi theo biên từ A đến B ngược chiều kim đồng hồ, quy ước dấu của lực

ngược chiều kim đồng hồ

Đi theo biên từ A đến B thuận chiều kim đồng hồ

Việc tính hàm ứng suất và đạo hàm của nó theo phương pháp tuyến tại các điểm trên biên tương tự việc tính mômen uốn và lực dọc trong thanh chịu tải trọng cho trước trên biên ⇒ phương pháp tương tự khung

A B

B A y B

B A x B

M B

P x

B A y B

B A x B

M B

P x

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

6.5 Hàm ứng suất có dạng đa thức đại số

6.5.1 Đa thức bậc 2

Hình chữ nhật:

Tam giác vuông cân:

Thực hiện

tơ pháp tuyến, từ đó vẽ được biểu đồ tải

trường hợp đơn giản có thể vẽ trên 1 hình

2

2 2

2 2

ν ν

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Tam giác vuông

2 6

b y

x

y d x

c

2 3

3

2 3

3 2

x y

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Tam giác vuông cân:

ν ν

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Tam giác vuông cân

2 6

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

6.5.4 Dầm công xôn chịu tải trọng tập trung

tại x=0, dùng nguyên lý cục bộ Saint – Venant:

suy ra

với

xy b xy

d

2

3 4

2 2

2 4 2

4 2

d y

ϕ σ

ϕ σ

H

y = ±

P dy

6

; 12

2 2

I

M y

H

σ

12

1

;I H3Px

M z = z =

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Từ định luật Hooke

Với điều kiện biên:

Với điều kiện biên:

1 2

u y

u EI

Pxy y

u EI

Pxy x

u

z

y x

xy z

y yy

z

x xx

νε

νε

x L EI

P u

y y

H y

L

x EI

P u

z y

z x

2 2

3 3

3 2

2 2

2

3 2

3 2 3

3

2 2

1 2

ν

ν ν

z y

y

2

3 3

32

3

0

; 0

y L

x y L

x x

x

u u

u

0

;0

x L

x y L

x x

y

u u

− +

L xy

x L EI

P u

y y

L x

EI

P u

z y

z x

2 2

2

3 3

3 2

2

4

1 3 2

3 2

3 2 3

3

2 2

ν ν

−+

z y

y

2 2

3 3

132

32

3

ν

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

6.6 Phương pháp sai phân hữu hạn

6.6.1 Hàm một biến

6.6.2 Hàm hai biến

x

f x

f dx

f f

f

( i)

n i

1 1

2 1 1

2

2

2 2

4

2

x

f x

f f f

x

f f f

4 6

4 2 0

3 1 0

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

y x x

y y

x y

y x

− +

4 0 2

0 2

2 2

3 0 1

0 2

2 2

8 7

6 5

4 3

2 1

0 2

3 0

1 2 2

0

2 2

4

4

12 4

0 2

10

0 4

4 4

11 3

0 1

9

0 4 4

2 4

2

4 6

4

; 4

6 4

y x x

y y

x

y y

x x

∆

∆

+ +

+ +

+ +

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

6.6.3.Giá trị ngoài biên

6.6.4 Phương trình song điều hòa dưới dạng sai phân

B x x T

B

x x T

N

∂

∂

∆ +

B

y y T

B y y T

N

∂

∂

∆ +

ϕ

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

B A x B

2 2

2 2

2 2

2

5 4

2

5 4

qa qa

a x

a

qa qa

a x

a

K K

t K

t

K K

p K

=

ϕ ϕ

φ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Ứng suất tại K

K K

K K

y

a qa

y a

qa qa

a

qa y

a

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

=

∂

∂ +

−

=

∂

∂ +

=

1 9

2 7

8

2 2

5

2 6

2

2

; 2

2

8

3 2

8 2

2 2 2

2 2 6 6 2

2 5 5

2 2

2 1 7

2 2

x

q a

x

q a

y

K xy

K K

yy

K K

xx

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

σ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

σ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

σ

CHƯƠNG 7: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LTĐH TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

u dr r u

=

ε

θ θ

θ

θ θ

θ θ

∂ +

=

−

∂

∂ + +

− +

r r

u rd

u d

u u

rd

rd d

u u

r dr

dr dr r u dr r u u

rd

u d u

r

θ θ θ

θ θ

θ θ β

α

2

1 2

1 2

CHƯƠNG 7: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LTĐH TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

+

∂

∂+

−+

∂

∂+

∂

∂

2 2

2 2

02

1

01

t

u F

r r

r

t

u F

r r

r

r r

r r

rr r

rr

θ θ

θ θθ

θ

θθ θ

ρ

σθ

σσ

ρσ

σθ

σσ

rr

E E

ν

σ

ε ν

σ νε

ε ν

−

=+

;1

θ

ϕθ

ϕσ

ϕσ

θ

ϕϕ

∂

∂

=

r r r

r r

r

rr

2 2

2

2 2

2 2

1 1

;

; 1

1

01

11

1

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 1

∂

∂+

∂

∂+

ϕθ

ϕ

r r r r

r r r r

CHƯƠNG 7: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LTĐH TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

7.2 Trường hợp ứng suất không phụ thuộc vào góc cực

7.2.1 Hàm ứng suất Airy ϕ= ϕ(r) Biểu thức của chuyển vị

7.2.2 Bài toán Lamé

0 1

1 2

3 2

2 2 3

3 4

4

= +

−

+

dr

d r dr

d r dr

d r dr

0

2 3

2 2

r

C r

C

r C C

C E

r C u

C C

r C r

C r

r

C r

C E

u r

6 4

5 2

4 5

3 2

2 1

sincos

4

cossin

121

ln1

2

11

+

−+

=

++

θ

θθ

νν

νν

r

rr

a a

CHƯƠNG 7: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LTĐH TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

Điều kiện bền:

KL: Không nên tăng chiều dày ống, nên ghép ống nhiều lớp

Mở rộng bài toán Lamé: ống ghép nhiều lớp, xác định ứng suất ban đầu ống ghép nhiều lớp, ống có điều kiện biên khác,

0

;

2 2 2 2

2 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2 2

=

−

−+

p p

a b

b p a

p r

b a a b

p p

a b

b p a

p

const a

b

b p a

b p a

p a b σ

0

;1

2 2

2 2

2 2

=

−

−+

b a a b

p p

E

r a

b

b p a

p E

;0

;

;

2 2

2 2

p u

p

p r

a p

r

r a

r a

a rr

CHƯƠNG 7: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LTĐH TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

7.3 Bài toán nêm chịu lực tập trung ở đỉnh

4

= +

d

f d d

f

d

θ θ

sin 2

sin 2

cos cos

2 sin 2

sin 2

α

β θ

α α

β σ

r

rr

r P

( ) ( )

θ θ

α α

θ θ

θ σ

σ σ

σ

σ

2 sin 2

sin cos

2

2 sin 2

cos 2

2 sin

2 cos

2 0

0 2

0

2

3 4

H P

H P

rr

rr rr

xy xx

αα

θ

θα

α

θα

α

θσ

σσ

2 sin 2

sin cos

2 2

sin 2

cos 2

2 sin 2

−

− +

−

=

− +

=

H

P H

P H

P

xx rr

yy

CHƯƠNG 7: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LTĐH TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

θ

α α

θ θ

θ

θ σ

σ σ

σ σ

2 sin 2

2 sin 2

2 sin 2

cos 2 sin

2 sin

2 cos

2 0

0 2

0

2

2 2

H P

H P

rr

rr rr

xy xx

αα

θ

θα

α

θ

θα

α

θθ

σσ

σ

2 sin 2

sin 2

sin 2

sin 2

cos 2

sin 2

sin 2

cos sin

=

H

P H

P H

P

xx rr

yy

CHƯƠNG 7: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LTĐH TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

7.4 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên

7.4.1 Ứng suất tại các điểm trong bán phẳng

Đường đồng ứng suất Boussinesq

0

; 0

; 2 cos

d

P r

P

2 2

2 2

2 2

2 2

xy P

y x

y x P

y x

x P

yy xy

xx

+

−

= +

−

= +

−

=

π

σ π

σ π

σ

CHƯƠNG 7: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LTĐH TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

7.4.2 Chuyển vị tại các điểm trong bán phẳng

tại x=H: nền tuyệt đối cứng

Điểm trên biên (độ lún)

7.4.3 Bán phẳng chịu nhiều lực tập trung và phân bố

0 1

1

; cos 2

1

; cos

∂

∂ +

θπ

νσ

νθ

ε

θπ

σ

r rr

r rr

r

rr

E r

u r

u u

r r

E

P E

r

u u r r

E

P E

π

ν θ

π

θ

θ π

ν θ

π

sin

1 cos

ln 2

−

− + +

P r

H E

P u

E

P r

H E

H E

P u

u

π

ν π

π θ θ θ

CHƯƠNG 8: TẤM MỎNG ĐÀN HỒI

8.1 Định nghĩa và giả thiết

Tấm là vật thể hình lăng trụ có chiều cao rất bé so với kích thước đáy

Mặt trung bình của tấm là mặt phẳng cách đều hai đáy (mặt phẳng toạ độ xy)

Bề dầy của tấm h là đoạn thẳng vuông góc mặt trung bình nằm trong giới hạn

giữa hai đáy h <<a,b Phân loại tấm:

- Tấm dầy:

- Tấm mỏng: , bỏ qua ứng suất zz , zx , zy ,

chỉ giữ lại các ứng suất trong bài toán phẳng là xx , yy , xy

Các giả thiết:

- Chuyển vị theo phương vuông góc mặt phẳng trung bình, gọi là độ võng w, có

trị số bé và là hằng số trên bề dầy của tấm Chuyển vị u, v trong mặt trung bình

là bé so với độ võng w

- Pháp tuyến với mặt giữa trước khi biến dạng vẫn trở thành pháp tuyến của mặt giữa trong khi biến dạng (giả thuyết pháp tuyến thẳng Kirchoff), nghĩa là, các thành phần biến dạng trượt xz , yz và zz là rất bé, có thể bỏ qua được

- Ứng suất zz theo phương vuông góc mặt trung bình là rất bé so với các ứng suất khác nên có thể bỏ qua trong tính toán

5 1



a h

5 1



a h

CHƯƠNG 8: TẤM MỎNG ĐÀN HỒI

8.2 Quan hệ chuyển vị và biến dạng

Biến dạng trên mặt trung bình

Biến dạng tại một điểm bất kỳ

trong đó

là các độ cong và độ xoắn của đường theo phương trục x, y

y

w x

w x

v y

u y

w y

v

x

w x

u

xy xy

2 2

y

w x

w x

v y

u y

w y

v

x

w x

u

xy xy

, 0 ,

0

2 0

,

0

2 0

,

0

2

2 1 2 1

xy xy

xy

y yy

yy yy

x xx

xx xx

z y

x

w z

z y

w z

z x

w z

2

2 ,

0

, 0 2

2 ,

0

, 0 2

2 ,

w x

phẳng trung bình của tấm được gọi là các ứng lực màng

Q x , Q y là lực cắt; M x , M y là mômen uốn; H là mômen xoắn Các thành phần M x

, M y , Q x , Q y , H được gọi là các ứng lực uốn – xoắn

Việc thay thế các ứng suất bằng các ứng lực cũng tương tự như việc xét các ứng lực mômen uốn, lực dọc, lực cắt, mômen xoắn tác động trên tiết diện của

bài toán thanh Các ứng lực N x , N y , S, Q x , Q y có thứ nguyên là [lực]/[độ dài],

ví dụ kN/m, ; M x , M y , H có thứ nguyên là [mômen]/[độ dài], ví dụ kNm/m, Các ứng lực đều là các hàm số của các biến x, y

h

xx x

h

xz x

h

xy x

h

xx x

dz z

M dz z

M

dz Q

dz S

dz N

h

yy y

h

yz y

h

yx y

h

yy y

dz z

M dz z

M

dz Q

dz S

dz N

M S

S

S x  y  ; xy  yx 

w z

E

x

w y

w z

E

y

w x

w z

E

xy xy

xx yy

yy

yy xx

xx

2 ,

0

2

2 2

2 ,

0 ,

0 2

2

2 2

2 ,

0 ,

0 2

y

y x

x

D y

x

w D

H

D x

w y

w D

M

D y

w x

w D

2

2

2 2

2

2

2 2

2

) 1

2 cos

2 sin 2

cos 2

2

y x

u

y x

y x

u

M M

H H

H

M M

M

M M

H tg



2

min max

