Luận án phó tiến sỹ Bài toán biến tự do trong cơ học môi trường liên tục

Luận án phó tiến sỹ Bài toán biến tự do trong cơ học môi trường liên tục Tài liệu tham khảo tóm tắt Luận án phó tiến sĩ toán " Bài toán biến tự do trong cơ học môi trường...

BO GIAODue v A oAo TAOTRUONG 8AT I-IQC TONG HOP THANH FHO HO CHI MINH

-.:

Thanh Ph6 If() Chi wUnh

1996

-Lu~n an duqe heaD thanh l~i Moa Toan - Tin hge

Tru'CJng.B~i H9C T6ng Hqp Thanh pho' H6 Cbi I\Hnh

Ngu'oi hu'dng din:

Giao suTie'n sl B4ng Blnh Ang

B~i Hqc T6ng Hqp Thanh pho' H6 Cbi Minh

Ngu'oi nh4n xet 1:

Ngu'Oinh4n xet 2:

.-Lu4n an nay se duqc bao v~ ~i HQi dong cham lu4n an NhB.nude

h9P ~i Tru'CJngB~i H9C T6ng Hqp Thanh pho' H6 Chi IvIinh

vao hie gi<1,Ngay thang niim1996

C6 th~ 11mhi~u lu4n an ~i cae tIlt]'vi~n Khoa hge:

- Tnthng B~i Hge T6ng Hqp Thanh pbo' Ho Chi Minh

- Thu vi~n Khoa b9C T6ng Hqp ThAnh ph[) H6 Cbi Minh

BAI TO~{N BrENn;' 00 TRONG co HQC MOl

TRUONG LIEN T1)C:'vIa DA U

Bat todn bien t,! do la bai toan bien, trong do bien hoac mot pilau bien cua mien khao sat khong dUCfCcho truck (goi la hien tt' do hay

bien di dong) Tuy tUng twang hqp cu th~, bien tl1 do co thJ lit m~tpilau cilia moi twCtng thana cac thana phan (pha.) co cae dac trungtr~ng thai va chuy~n dong khac nhau; aoae la mat gian dean cila caedac tnmg nay Mot dac di~rn cila loai bai toan nay la bien t1J do phaidu<;1cxac dinh trong qua trlnh gia.i bili teaR nhu mot thana phan cuanghi~m

Ba.i toan bien tl.1do xua:t hien trong nhieu lanh Vl,!Ckhoa hoc D~c

bi~t, trong ccJh9C mOl tru<mg lien t~c, biLitoan bien tl,! do co lien quan

d~n Ii thuy~t tuCfng tae giiia cac moitruang co CCftinh khae nhau,

Ii thuy~t va ch~m, pM, huy, xam nh~p cu.a doc va,t th~ co bi~n d~ngngoiLigiro h~n dan hOi, Do Mn chat d~c sac cua hiLitoan cling nhunhu ca.u cua cae nganh khoa h9C lien quan, ba.i loan bien tl,t do da tau

cia du~c d~t va gicii quy~t: hiLi toan Stefan trong Ii thuy~t truy~nnhi~t, biLitoan bien W do trong Ii thny~t va ch~, cac biLitoan ve

Sl,!phat tri~n v~t nUt trong cd h9C phi My, dOng dat, aVi~t Na.m,tit nhiing na.m 80 tra 1~ day, cac Gong trlnh ve hiLitoan bien t1,ldo

cM y~u xuat bien trong lanh V1,lCCCfh9C LUllth~, Ii thny~t trny~n

nhi~t; c~t~g h~n cac bili toan tham clia GMt long vito mOl tru<mg

rcLn,-qua trlnh khu~ch tan clia GMt khi d6i vdi GMt ran, rcLn,-qua trlnh truy~nnhi~t trong v~t li~u CaDphan tu Ga.n day, D.D Ang et aL (1991) da

nghien cUn bai toan bien tl,! do trong Cd h<;>cx3.m nha.p

Lu~n an nay nhcim nghien cUn mot s6 bai toan bien W do trong

CcJh9c mOl truang lien tuc co nhieu thtg d~ng quail trong trong kjthu~t:

1 Bai loan bien tu do trong cCfh<;>cxam nha,p,

2 Bai toan va ch~m cila thanh deo nhdt vao vat can dan hOi.Trong qua trlnh nghien cUn, chung t6i cia.giai quyet mQt s6 vand~ lien quail Mn:

- Xay dung mo hinh toan hoc,

- PhuCfng phap toan gicii q uyet bili loan toan hoc,

- Phucrng phap tinh gAll dung

cUe:bai toaD bien tl,r do

Mo hinh tO8.n hQc Chung toi dung mo hlnh Bingham hi~n ducre

coj Iii.mo hlnh mo ph6ng kha tot cae qua trinh va cham, xam nh~p

clla v~t r3-n bi~n d~g Di~u ki~n tren bien tv do duqc xay d\!IIg dt,latren tinh eMt v~t If eua hi~n tuqng Vi~e dua vao cae di~u kien naythuitng d~n d~n mqt 80 kh6 kh<ln ve mi,!-ttoan hge; e~ th~ Ia su hiendieD cna cae dai Iuqng chua duqe xae dinh moo tren bien tv do TrongtUng bili toan, chung toi vuqt qua khO khAn nay Mng each dua vaocae ~n ham thiGh hqp

Pbl1<1Dg phap tom b9C Cho Mn nay, cac GOngC1,1toaD h~)Cduqe

cae nha toan h9C Ung d1,1ngsu d1,lngkill kha.o cUn cae bili toan bien W

do ra':tda d~f; vaphong phu; chAng h~n phuong phap lap bien c1ia vonKarman va Pohlhausen, phl1ong phap bi~n phan (thich hqp tho vi~cgiai 86 bAng may tinh di~n tu nha cac phuong phap rCri.r~e hoa nhu:phuong phap sai bi~n phan, phuong phap phan tu hUn h~n, phuangphap phan tu bien) Trong Iu~ an, chUng toi sU d1,1ng-phu<1Dgphapham Green, nguyen If anh x~ co d~ gicb cac biLitoan toaD h9C nh~duqe Ly dochlnh bi~n minh tho vi~c ap d1).ngphuang phap nay litvi~c thi~t l~p cae ham Green d6i voo cac phuong trlnh d~ ham riengthu9C Io~ parabolic, xdt hi~n trong cae biLitoaD duqc xet, tuong d6idan gicin Han nua, phuang phap nay con tho p1ep um nghi~m khong

chi vi tri cua bien tt,l do theo thCri.gian ma cci truang v~ toe, trudng

Ung 8uAt phan b6 bell trong v~t tM BAng cach ap d1,1ngnguyen If'

et,lc d~ chUng toi chUng minh 8t,ltOn t~i nghi~m toan c~e eila cae biLi

toan duqe trlnh bay Cae k~t qua lien quaD d~n nghi~m toaD cue chophep ta dl,I bao ve qua trinh, dang di~u c1ia chung, thCri gian xci}' ra

va eha:m dill hi~n tuqng Day cling thuCtng IiLyell diu cila cae nganh

Phu<1Ilg phap tinh Ta:t ca cae thu~t toaD trong Iuan an ducre xaydvng dt,la tren nguyen If anh Xa co 5u hQi tu cila cae thu~t toaD nayBUYtrue tiep tu chUng minh su ton tai nghiem d!a phucrng cila biLitoaL tucrng l1ng Toe dQ h6i tu ciia chung, nhu each xay dung anh

xa co t uy thlloC viw khoang thOi glan trong do nghi~m eua bili toaD

eucre tinh xap xi

=_uan an gom 4 chuang va phan ket lu~n:

C'hlwng 0: M,j ddu Cic1i thieu bai toa.n bien tH do d6i tIWH'~cung nhu plnwng phiLp nghien uru cua luau a.n) va lbng quail tmhhlnh nghien clm trong va ngoai mrcie ve loill bai toan nay

Chuang 1: PhuO'ng trinh tn,mg thdl CO'hyco Gll1 leu each ngan gOft

d,c t{nh chat ((1 hoc cua vat th~ chiu bli:in dang Qua do gial rhieu

mot ma hlnh cct hoc (Bingham) eho phep dinh ltwng cae dae tnrng

ca hoc, cling nhu dinh t{nh nhiing hieu Lhtgca hoc quail trong duae

quail tam trong cae biLitoan se duac de cap (r chuang 2, 3 eua luan

an Noi dung cua chuang na.y se IiLcct sa phuang phap luau eno cae

bien giai ve sail

Chuang 2: Eai tocin bien tf! do trong CO'hQc xdm nhtip Trinh ba.y mQt so ki:it qua ve su t6n tai va cluy nMt nghi~m toa.n cue cua.

mot ba.i toan thuQc lanh vuc CC1hoc xam nMp Cac ki:itqua dltCfcde

c~p Mn d day co th~ xem nhu tii:ip n6i bai baa:

Penetration mechanics: Predicting the location of a viscoplastic ary and its effect on the stresses, J Solids and Structure 28115 (1991)

bound-cua D.D Ang et al Trong phb cu6i cu.a chuang, chUng toi trinh baythu~t toan tinh gb dung va xet mQt s6 vi d~ minD hQa dOng thaicling ca:p bue tranh v~t If cua hi~n tU<;1IlgUng duen cae tic d~ng cuanhiing h,re ngoai kh.ic nhau, K~t qua thu duQ'c da duQ'c cong bo trong(2, 3]

ChuC1ng 3: Va ch(Jm cua thanh dio nhcft ViIO v(it can dan hOi tuye'n tanh Nghien eUn mQt bai toan dali thuy~t va cham, ma rongbai toan do Barentbla.tt va Ishlinskii long b6 n::l.m1963:

On the impact of a viscopiastic bar on a rigid obstacle, P.M.M., Vol.

-ven gia thi~t v~t can la dan hoi tuy~n tinh thay VIcUng tuy~t doi Veneach ti~p e~n cua chUng toi (v~t can la dan h()i), bai teaR d~t ra t6ngquat han bai toan duQ'c xet trong bai bao cu.a Fasano va.Primicerio:

Viscopiastic impact of a rod on a wall, Bollettino U.M.I (4) 11, Suppl.

-Trong do cac tae gia da S11d1;lnggia thi~t v~t can bi nen khi va cham

va dich chuy~n cUa no co dang mQt ham da bi~t thee thai gian philthuQc mQt tham so rho trucic Su tOn t~ va cluy nhat nghiem diaphuang duQ'c chUng minh Them va.o do, mot danh gia:.loa.n cuc ':e

su tOn t~ va duJ nhat nghiem cling dual thi~t lap Cae kth qua du(1Ccong b6 trong [4, 5 6J Cuoi cling, dua tren cae he thuG bieu dien

'3

tich pha-n chung t6i dua, ra thuat toa.n giai gim dung bai toan toanhoc Mot VI du s6 duqc xet M kiem dinh me hinh toan hoc va danhgia thuat toan,

Pha-n Ktt lugntOng ket cac ket qua dat duqc trong iua-n an va I

de xuat m9t s6 nhan xet co tinh phucrngpilip iua-ntrong vi~c dii,tva !

4

C IIl(O'Ug 1

Dl1c1i ide dl,lng cua J\!C ngoaj (hlC khc5i, Jut mat) '-"at ~n~

dang :.Jg\1Ctita pha.n biet d.c qua trinh bien cla.ng

lJien

h6i t.uy~n t{nh khao sat cae qua trinh dua tren gia ~hiet biendang 1,1,thuan nghich

.Qua trlnh bien d<?-ngla can biing (doc Lip vm thai glani ~immg kh()ng thut;in ngh~'ch Cac qua trlnh n,1,Yla d6i ':l!<;Ingnghien ~tru.

cila ly thuyet bien d~ng deo, ly thuyei chay cleo

.Ca.e qua trlnh bien dang (dan hoi, deo) kh6ng can oJ ng th~ hi~n (; t(nh nhdt eiia m6i tr11erng(do chuy~n d<)ng nhi~t ciia ca.e

nguyen tu trong v~t tM gay ra) Khi do ca.n phai pha n t{eh qua

trinh bi~n d~ng theo thili gian va dq,e bi~t Ia inh hu<mgc1ia v~

toe bien d~g

D6i vm cae bili toan trong do h,re ngoai tae d1,lngtrong khoang thaigian ng.in (chAng h~ dao de)ng, va eh~) thuerng phai tiAh den de)nhcrt Cae bai toan duqe xet den trong lu~n an nay, ho~c do -cantniev~t Ii eila v~t tM hoq.c do dien ki~n tudng tic (va eh~m, xam nM.p),chu yell lien quail d~n cae qua trinh bi~n d",ng khong can b~g cia.dec~p den (; teen

Trong-cO' h<;>emoi trnern-g lien tuc, d~ thi~t I~p roO-hlnh toan h9C

cho phep gia.i quy~t ca.e van de d~t fa, ngoai cae dinh Juat ea bin

nhu dinh Iu~t bao toan kMi Iuqng (phudng trlnh lien t1,tc), dinh Iybien thien de)ng Iuqng (phudng trlnh ehuy~n d9ng), dinh Ii bien thienmoment dQng luqng, din pha.i xay dt;mg phudng trinh trang thai me

ta quan h~ giua Ung suat va bien d<;tng Cae quan h~ nay duO'c dexua:t va ki~m chUng nha thue nghi~m Mo hlnh ducrc Slt dung trongcae bai toan trong luau an 1a.mo hlnh Bingham

Quy lu~t Ung sua:t - bien dang Bingham co d~ng

110 hlnh nay do Bingham de xu<1tna.m 1922 cho ta m6i quaIl hE;giuattng suat va biEindi;tngthich hqp de mo phong eae qua trlnh va ChID.Ga.n day, roOhlnh nay con duqc dung d~ tinh toan cae qua trlnh xamnha.p cna cae va.t tM bi~n dC;tllg.

(,

CIutl1ng 2

B;\1 TO/\N BI:E~ TT" DO TRaNG co HQC X \1\1 'iHAP

the khac dl1&i tac d1,lng cua 1\!c ngoai g(t) Gia ~n'!rang B la v~t the

nhci't deo Hong nen ducic, tuan thee quy Iu~t lIng 5uat - bien dang cua Bingham:

'111*

r'(x",t") - '0 =~-:-: (I".t"),

trong do r" Ia lIng snat '0 Ia l1ng snat gicri han, tJ 111.he 50 nhal va

(~AIa van toc thee huang y.

Khi Ung sucH ti~p vuat qua giro han da.n hoi, vat th~ B duqc

chiao thiLnh hai phan (mien chay deo va mien cUng) ng3.n each bCti

:r" = 8"'(t )(bien tt,l do).

Dieu ki~n lIen bien t1,l do c1ia biLi toan duqc thi~t l~p dl,la tIeR cac

gia thi~t san:

(HI) TIen di~m phan each mien Cling va.mien cleo nhc1t Ung sU.1tti~p d~t gia tri giai h~

(H2) Truang van toc va.truang ting su.1t lien t~c khi qua bien tt,ldo

Bai tom tom hQC BiLitoan bien bOn hqp cna biLitoin cet h<,>c (d~ng khong thu nguyen): Cho truc1cTm= > 0, tim u(x, i), s(t) saocho

.~(t) lien t~c Lipschitz tIen (0, Tm=]j

u va.::lien tl,1Cvai 0~ x ~ 8(t), 0~ t ~ Tm=;

,J211 au

-&;2va.at lien t~c trong 0 ~ x ~ 8(t) khi 0 < t < Tm=,

u thoa phuang trlnh dao ha.mrieng

au - 1 fpuf . 5

trong 0 < x < 5(t), 0 < t ~ Tmax;

.Tren bien tV do set), u thoa cae dieu kierl

Dua vao:in ham mm u(x,t) = :(x,t), u(x,t) thoa

1/,(b) = -g(O) '-

~-R - R(1 - b)

(6)(7)(8)(9)(10)

(11 j

( 12)

8

Ph11crng trinh tich phAn Ky hieu k =R12 uung cae ham Green.

.V(x,t;f;,r) := K(x,t;E;,1')+I((x,t:-f;,i), (13)vcii

0 < x < set), 0 < f; < s(t), 0 < T < t. (14)

Sa.n mot so bi~n d6i xuat phat tu dong nhat thuc Green eila he

(6)-(12), ta thu dw;rc phucrng trinh ti'ch pha.n sail:

Giai (15) - (17) ta thn duc;rcset); tit do ta.co th~ unh toan gia.tri

cua trnetng v~ t6c va.trtldng Ung snat

511 tOn t~ va duy nhat nghi~m tOM Cl,le-TiI cae bi~u di~n tichpha.n.eua nghi~m chung-tOi rut fa ill<)ts6 kllAngdiu v~ ti'nh chinhqui c1ianghi~m va.cae d~ ham c1ia.no:

Dinh 1:' 2.2 Dttdi cae dieu ki~n cua Dinh (y 2.1 110cae dieu k~n

trctn: f(t) thuqc (tip C3, get) thutje ldp L-tren (0, +CO), \I'(x) thuijc

Tmax = sup{T> 0: (2.17) - (2.20) co nghi~m tIeD [0, T]

va.0 < s(t) < 1 vm m<;>i t E [0,T]}. (18)

Tir Dinh Ii 2.1 va.D~n~Iy 2.2 ta co ngay

Bo & 2.1 Dttlii cae dieu ki~n cuo Dinh ly 2.1 (ho~e Dinh ly 2.£),

~t trong cae kef lu~n sou dung

_-(i.e Jim sup t-+T",ox. lit& {5(t},t} 'r =+00)

Th,ta tIeD 811tOn t~ va duyuhat nghi~m dia phu<1Ilg (duqc chi ratrongbai Mo cua D.D Ang et al.), ba.ng ca.ch ap d~ng nguyen If C\,IC

d~ cho phu<1Ilgtrinh parabolic chUng toi chUng minh duqc ca.c k~tqua sau:

Dinh If 2.3 Dttlii cae dieu ki~n cua Dinh ly £.2 va cae dieu ki~n sou:

1 i'(t)-Jdl(t) ~0 v~i mQit? 0 va M =RsUPt~O Il(t)-ftg(t)1 <+oc-

Hem nila lim s(t) =1- Rs ,

-oJ

.Btfdc l<)p thrJ n+l. Gia su biet cae giiitri cuo: r(t,),~(t,) ven

I = 0.1.2, n, (n > 2) Them va.o diem t",< vm gia tri lap

ban dkll duae di<;ln Ia.

Dungphepco X.1£dinh Mi (15)-(16), trongd6 a 7e pha.ir(t), s(t)

lay gia.t.r:ixap xi eRa bu6c l~p trucrc (hod.cgia :q l~p ban clan),

xac dinh r(t"'+1),roi s (tn+1) (nher(17))

Sf! hi?i tt,l, sat s6 Nh.Ungk~t qua v?!s11Mi tll cua tJ,lli,LttoaD va sai

s6 thll~t toem pAn thu9c cae aanh gia trong chUng :ninh s1,tton tainghi~m dia phudng cua phuong trlnh tich pha.n Mi:Ltkhae, trong tinh

toan chUng toi da sir dT,Ulgn9i BUYLagrange d~ tinh gkn dung r(t) va.

s (t) Cae tich pha.n xdt hi~n trong (16), (17), baa gom cae tieh phan

co kY di (thu~ l~ (t- 1')-1/'l), d~n ton t~ TIl1i roe tieD phan s6

vdi sai s6tin.h t.oa.ntut1ng Ung:

-Ky hi~u T Ia ci.uh~ co tic B".(O,M) vao chinn no xac dinh

bdi-v~ phai deL (16) viii Ms6 co a (0 < a < 1); IIqU",9: sup q(t),

°99"

(q E C[O,in]); T Ia.taU tit dp xi da T Tit co dinh If san:

Dinh Iy 2.6 Dtrtii aie dieu ki~n cua D;nh Iy 2.1, J.~ttde l~p thti

n ta eo cae daM gid lien quan de'n sa; si{ thfj~t loan va sa; sit t{nh toan sau:

(i) IIF- rlln~ tr'!vf Do do thuq.t toan fa hql t~ Hun niia, ta co

111- sUn~anMu,

,

"., ' ""-' !

irony dor la nghi~m cMnh xcic; f(= Tr'ro) IiI nghi~m gan dung d

bttdc I(lp thtf n; ro la gici try igp ban dati; s(t), s(t) dttqc :uic dinh

tti(17)vdiFl.,t), r(t) tttetngting;C1,CzlG ccichdngst{cMphtj thuQc vao dil "i~n cho trtJdc cua bai loan va gici tri I(lp ban dttu; m Ia s6' diem nut !.hong gian ph4n ho(,lch [0,bJ.

B~ qua' Co\d;nh tn, dieu kil]n oond,nh cua set do tinh xiip xi:

J C

a"(x",t")+ao=J1.ax (x"t"), neula"l>ao, (23)

trong do a* la Ung suat phap, <70lit Ung su<1t tdi hi;tn, J1.la.M so nMt

~-

_.~-u(x,O) = ~(x), 0 < x < b, s(0) = b, 0 < b < 1.

(28)(29)

trong do u la van tOe, s (t) la di~m phan ~a.eh giiIa mi~n cleo Rhett va mi~n CUng, R va 5 nhu chu<1ng2.

Dih ki~ntu<1ngthich: ham<p(x)pha.ithuQelcfpC2 tIeR(O,b)va thoa

(34) (35) (36) (37)

-k v'< Jo -r; I vd1')lf=Tdr

s t (' 1 aN

-Rio Jo l=-s(1') 19f.(O,tl;S'(T),T)dTdtl+'P(OJ] (40)trong do ta da d.lt

vaset) duqc xa.c dinh b6i

set) =b+ It r(r)dr.

V~y, nghi~m c1ia.bai toan co tM tlm duqc bAng each giai MphuC1ng

trlnh tich pha.n (36)-(37), trong d6 set) duqe xae dinh b6i (41) Troung v~n tOe va l1ng snat pha.n bo trong tha.nh du<;1cxac dinh khi aa bi~t set).

511 tOn t~ va duy nhat nghi~m Wi each d~t biLitoan nhu V9.YchUng toi chUng minhdl1c;tc hi k~t qua sa.u:

tt/dng thach Thi tlin t~i mqt va chi mqt nghi~m (v(x,t), set)) ctla h~ (28)-(34) vtfi ° $ t < 6, 6 au be .

DiM Iy3.JJ)ttlii cae dieukj~n cua D~'nhly-3.L va cac-dieuuki~nu-

thi ton tq.i T*, E, C > 0 sao cho ne'u -E < <p(0)< 0, 0 < -a < E va

snPO<x<b 1tj;I(x)l < CTO-1 min{b/2, (1- b)/2} thi htf (28)-(34) CDmQt nyhj~m- duy nh(ft (v(x,t), set») irony mien 0 < x < set), 0~t ~ T+

thoa

0 < T* ~ To,

16