Bài tập lớn Cơ học môi trường liên tục
Trang 1Chia tấm thành 4 phần tử và đánh số I, II, III, IV nh hình vẽ :
I
II
Có 6 nút đánh số từ 1 đến 6, mỗi nút có 2 chuyển vị Kí hiệu X là vecto ẩn số gồm các thành phần tơng ứng với các chuyển vị theo thứ tự từ nút 1 đến nút 6 u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4,
u5, v5, u6, v6
Sơ đồ liên kết :
III I
II
IV
1 Phần tử 1
- Điểm nút và tên gọi (1, 5, 6)
- Toạ độ 1 (0, a 2 ); 5 (0, 0); 6 (
2
2
a
,
2
2
a
)
- Vectơ ẩn số nút :
T = [X1 X2 X9 X10 X11 X12 ]
Trang 2- Diện tích phần tử : =
2
2
a
- Ma trận hình học B1 =
b1 = 0 -
2
2
a = -
2
2
2
2
a
b5 = -
2
2
2
2
a
Vậy B1 =
2 0 1 1 1 1
0 0 1 0 1 0
0 2 0 1 0 1 2
2 2
0 1 1 1 1
0 0 1 0 1 0
0 2 0 1 0 1 2
2
a
a
- Ma trận vật lý khi = 0,25 D =
3 0 0
0 8 2
0 2 8 15
2 375 , 0 0 0
0 1
25 , 0
0 25 , 0 1 25 , 0
E E
6 0 3 3 3 3
0 4 8 2 8 2
3 16 2 8 2 8 15
2
1
a
E DB
- Ma trận độ cứng của phần tử k1 = t BTDB1
6 0 3 3 3 3
0 4 8 2 8 2
3 16 2 8 2 8
2 0 0
0 0 2
1 1 0
1 0 1
1 1 0
1 0 1
30
1
Et
k
Vậy suy ra:
12 0 6 6 6 6
0 32 4 16 4
16
6 4 11 5 5 1
6 16 5
11 1 5
6 4
5 1
11 5
6 16 1 5
5 11
30 1
Et k
2 Phần tử 2
- Điểm nút và tên gọi (6, 5, 4)
- Toạ độ 6 (
2
2
a
,
2
2
a
); 5 (0, 0); 4 (a 2 , 0)
- Vectơ ẩn số nút :
T = [X11 X12 X9 X10 X7 X8 ]
- Ma trận hình học B2 =
b5 = -
2
2
a
c5 = 0
Trang 3b4 =
2
2
2
2
a
Vậy
1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0 2
2
B
- Ma trận vật lý khi = 0,25 D =
3 0 0
0 8 2
0 2 8 15
2 375 , 0 0 0
0 1
25 , 0
0 25 , 0 1 25 , 0
E E
3 3 3 0 0 3
8 2 0 2 8 0
2 8 0 8 2 0 15
2
2
E DB
- Ma trận độ cứng của phần tử
k2 = t BTDB2
Vậy suy ra
11 5 3 2 8 3
5 11 3 8 2 3
3 3 3 0 0 3
2 8 0 8 2 0
8 2 0 2 8 0
3 3 3 0 0 3
30 2
Et k
3 Phần tử 3
- Điểm nút và tên gọi (4, 2, 6)
- Toạ độ 4 (a 2 , 0); 2 (a 2 , a 2 ), 6 (
2
2
a
,
2
2
a
)
- Vectơ ẩn số nút :
T = [X7 X8 X3 X4 X11 X12 ]
- Ma trận hình học B3 có :
b4 =
2
2
-2
2
a
b2 =
2
2
2
2
a
Vậy
0 2 1 1 1 1
0 0 1 0 1 0
0 2 0 1 0 1 2
2
B
- Ma trận vật lý khi = 0,25 D =
3 0 0
0 8 2
0 2 8 15
2 375 , 0 0 0
0 1
25 , 0
0 25 , 0 1 25 , 0
E E
0 6 3 3 3 3
0 4 8 2 8 2
0 16 2 8 2 8 15
2
3
a E DB
Trang 4- Ma trận độ cứng của phần tử k3 = t BTDB3
0 6 3 3 3 3
0 4 8 2 8 2
0 15 2 8 2 8
0 0 0
2 0 2
1 1 0
1 0 1
1 1 0
1 0 1
30 3
Et k
Vậy suy ra
0 0 0 0 0 0
0 44 10 22 10
22
0 10 11
5 11 5
0 22 5
11 5 11
0 10 11 5
11 5
0 22 5
11 5 11
30 3
Et k
4 Phần tử 4
- Điểm nút và tên gọi (2, 4, 3)
- Toạ độ 2 ( a 2 , a 2), 4 (a 2, 0), 3 (
2
2
3a
,
2
2
a
)
- Vectơ ẩn số nút :
T = [X3 X4 X7 X8 X5 X6]
- Ma trận hình học B4 có :
b2 = -
2
2
2
2
a
b4 = -
2
2
2
2
a
Vậy
0 2 1 1 1 1
0 0 1 0 1 0
0 2 0 1 0 1 2
2
B
- Ma trận vật lý khi = 0,25 D =
3 0 0
0 8 2
0 2 8 15
2 375 , 0 0 0
0 1
25 , 0
0 25 , 0 1 25 , 0
E E
0 6 3 3 3 3
0 4 8 2 8 2
0 16 2 8 2 8 15
2
4
a
E DB
- Ma trận độ cứng của phần tử k3 = t BTDB3
Trang 5
0 6 3 3 3 3
0 4 8 2 8 2
0 16 2 8 2 8
0 0 0
2 0 2
1 1 0
1 0 1
1 1 0
1 0 1
30 4
Et k
Vậy suy ra
0 0 0 0 0 0
0 44 10 22 10
22
0 10 11
5 11 5
0 22 5
11 5 11
0 10 11 5
11 5
0 22 5
11 5 11
30 4
Et k
Ma trận độ cứng của toàn hệ :
20 0
6 8
8 2
0 0 0
0 6 6
0 79 7
16 13
25 0
0 10 22
4 16
6 7
14 5
3 3
0 0 0
0 5 1
8 16 5
19 2
8 0
0 0
0 1
5
8 13
3 2
33 5
0 10 22
0 0
0
2 25 3
8 5
33 0 22 0
22 0
0
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0
0
0 0
0 0
10 22
0 44 10
22 0
0
0 10 0
0 22 0
0 10 22
0 0
0
0 22 0
0 0
22 0 22 0
22 0
0
6 4
5 1
0 0
0 0 0
0 11 5
6 16 1
5 0
0 0 0 0
0 5 11
II.Vectơ tải trọng
1 Tải trọng
Theo tính toán ta quy đổi tải trọng trên các cạnh về tải trọng tập trung tơng đơng đặt tại nút nhanạ đợc sơ đồ tải trọng của tấm nh hình vẽ :
Trang 62
; 0
; 8
2 7
0
; 8
2 5
; 24
2 5
0
; 4
2
; 4 2
24
2
; 4
2
; 0
12 11
10
9 8
7
6 5
4
3 2
1
qa P
P
qa P
P
qa P
qa P
P
qa P
qa P
qa P
qa P
P
PT = [P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12]
= 0 6 1 6 6 0 5 15 0 21 0 12
24
2
qa
Theo điều kiện giả thiết về liên kết ta có
X2 = X4 = X5 = X6 = X7 = X10 = 0 nên :
- Loại bỏ X2 , X4 , X5 , X6 , X7 , X10 trong vectơ các ẩn số
- Loại bỏ P2 , P4 , P5 , P6 , P7 , P10 trong các vecto tải trọng
- Loại bỏ các dòng và cột 2, 4, 5, 6, 7, 10 trong ma tận độ cứng K
Phơng trình thu gọn lại :
Trang 7PT = 0 1 15 0 0 12
24
2
qa
Ta cã ph¬ng tr×nh :
12 11 9 8 3 1
20 0 8 8 0 6
0 79 16 13 22 16
8 16 19 2 0 5
8 13 2 33 0 0
0 22 0
0 22 0
6 16 5
0 0 11
15 2
12 0 0 15 1 0
24
2
X X X X X X Et
qa
3 øng suÊt t¹i c¸c phÇn tö
a §èi víi phÇn tö 1 :
4433 , 7
0542 , 2
2168 , 8 6 9730 , 0
5865 , 0 0
3405 , 0 0
1946 , 0
6 0 3 3 3 3
0 4 8 2 8 2
0 16 2 8 2 8
q t
q
I
b §èi víi phÇn tö 2 :
5514 , 6
2434 , 21
8646 , 7 6 5973
, 1 0 0
3405 , 0
9730 , 0
5865 , 0
3 3 3 0 0 3
8 2 0 2 8 0
2 8 0 8 2 0
q t
q
II
c §èi víi phÇn tö 3 :
4894 , 8
2434 , 15
0546 , 13 6 9730
, 0
5865 , 0 0
0595 , 0
5973 , 1 0
0 6 3 3 3 3
0 4 0 2 8 2
0 16 2
8 2 8
q t
q
III
d §èi víi phÇn tö 4 :
Trang 8
6134 , 4
6594 , 12
7186 , 2 6 0
0
5973 , 1 0 0
0595 , 0
0 6 3 3 3 3
0 4 8 2 8 2
0 16 2 8 2 8
q t
q
III
4 ứng suất tại các nút :
ứng suất tại nút đợc tính theo công thức : n r
2405 , 1
3423 , 0
0271 , 1 6
1
t
q
I
1838 , 2
6505 , 4
6289 , 2 )
( 2
1
2
t
q
IV
7689 , 0
1099 , 2
4531 , 0
3
t
q
IV
0919 , 1
1917 , 8
9397 , 3 )
( 3
1
4
t
q
IV II
1487 , 0
1982 , 3
0587 , 0 )
( 2
1
5
t
q
I
5636 , 1
7388 , 5
1171 , 2 )
( 3
1
6
t
q
I II
