ly thuyet luong giac 11 va cac dang toan

PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1.. Kiểm tra điều kiện :..[r]

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN

Phương pháp giải các phương trình lượng giác

A LÝ THUYẾT

B BÀI TẬP

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Bài 1 Giải các phương trình sau :





261

22

6sinx 1

22

Phương trình vô nghiệm

c cos 2x 3 sin 2x 2 s inx+cosx  cos2x- 3 sin 2x 2sin x 4

b 2sin 4x16sin osx 3cos 23x c  x5

Ta có : 16sin3xcosx 4 cos x3sinx sin 3x 6sin 2x 2.2sin 3 osxx c

Cho nên (1) : 2sin 4x4sin 2x 2sin 4 +3cos2x=5x  4sin2x.+3cos2x=5

k x

Bài 4 Giải các phương trình sau :

a sin 8x c os6x= 3 sin 6 x c os8x b cos7x-sin5x= 3 os5x-sin7xc 

c 3sin 3x 3 os9x=1+4sin 3c 3 x d 3 os5x+sin5x-2cos2x=0c

Giải

a sin 8x c os6x= 3 sin 6 x c os8x sin 8x 3 os8x= 3 sin 6c x c os6x

Chia hai vế ơhw[ng trình cho 2 ta có :

Chia hai vế phương trình cho 2 ta có kết quả :

2

x 

(*)Phương trình (a) trở thành :

s inx+sin3x osx osx 1+2sin2x 

s inx+cosx+sin3x 2sin 2 osx+cosx

    Vi phạm điều kiện , cho nên loại

Tóm lại phương trình có một họ nghiệm : x 3 k2

- Do : 4232 25 6 2 36 Cho nên phương trình 4 osx+3sinx=6c vô nghiệm

Bài 2 Giải các phương trình sau

   

2 2

osx-sinx

1 osx

0sinx+cosx= t anx 1

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện

26

Bài 3 Giải các phương trình sau :

1 1 2sin 3 sinx-1 2cos3 osx 1

os2x-cos4x-1 os4x+cos2x 1 os2x-2cos 2 os2x+2cos 2

osx 2sinx+3 2 2 cos 1

1 sin 2 +3 2 osx 2cos 1 1 sin 2

x c

Bài 4 Giải các phương trình sau :

a cos 2x 4 cos 2x-4 4sinx 2 2 1 sinx 

c



b 3cot2 x2 2 sin2x2 3 2 osx c

Điều kiện : sinx 0 x kChia hai vế phương trình cho : sin2x 0 Khi đó phương trình có dạng :

2osx

sin

3

t c

22

osx=

32

c

 Điều kiện : cosx 0 x 2 k k Z

0 4 1 os 2 3 1 os2x 9 3cos 2 0osx

21





Hãy giải phương trình : f'(x)=0.

Ta có : f x'  cosx+cos3x+2cos5x=0cos5x+cosx  coss5x+cos3x0

osx; t 12cos3 os2x 2cos 4 cos 0

k c

sin 5cos sin

sin 5cos sin

t c

2cos 6 1 3cost t 2 cos12t=3cost 3cost-cos12t=2

osx 0

c c

 Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*)

Bài 6 Giải các phương trình sau :

a

4sin 2 os 2

osx cosx-sinx 0

c x

 

t anx=1

4tanx=0

d sin 4x t anx Điều kiện : cosx 0 (*)

Có 2 phương pháp giải :

Cách 1

sinxsin 4 t anx sin 4 2sin 4 osx=2sinx sin5x+sin3x=2sinx

3 1os2x=

3 12cos 2x+2cos2x-1=0 cos2x=

 ( Như kết quả trên )

Bài 8 Giải các phương trình sau :

2sinx= 2 1

2

u

c u

2 4 cos 3cos osx=0

Vậy phương trình còn có nghiệm là :

5x= arccos 2

8

x k

k Z k

sin 0

2 1 os2y 1 0 cos 24sin 1 0

2

y y

os2x=01

3

c t

 

10 5os5x=0

2cos5 os3x+cosx 0

cos3x=-cosx=cos -x 4 2

2

k x

24

cosx sinx sinx.cosx

Thỏa mãn điều kiện

sinx 0

*cosx 0 x k 2

b 2sin3x sinx=2cos3x c osx+cos2x

c sinxsin2 xsin3 xsin4x c osx+cos2x c os3x c os4x

3 1+sinxsin

24

b 2sin3x sinx=2cos3x c osx+cos2x 2 sin 3x c os3x sinx-cosx cos2x sin2 x 0

sinx-cosx 1 sinxcosx  os sin  0 sinx=cosx

sinx+cosx+sinxcosx+1=0

Trường hợp : sinx cosx tanx=1 x= 4 k k Z





Trường hợp : sinx+cosx+sinxcosx+1=0  

2

2

2 2

t 1sinx+cosx; t 2 sinxcosx=

21

2

t t

c sinxsin2xsin3xsin4 x c osx+cos2x c os3x c os4x

cosx-sinx cos2x sin2x cos3x sin3x cos4x sin4x 0

b 2sinxcotx2sin 2x1

c Cho phương trình : msinx+cosx+1  1 sin 2x

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;2

t 1t=sinx+cosx; t 2,s inxcosx=

2sin osx-sinxcosx=0

Do đó :

21

26

Bài 4 Cho phương trình : cos3xsin3x m sin cosx x

a Giải phương trình khi m= 2

a Giải phương trình với m=1/2

b Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng 0;2

a Giải phương trình với m=1/2 Khi đó phương trình trở thành :

sinx+cosx 1 1 sinx cosx+ + 1 1 0

2 cosx sinx sinx osx

- Với t=0 và t=-1 ta đã có nghiệm như câu a

- Còn phương trình : m(t-1)=-1 , t=1 không là nghiệm ( vì : 0=-1 vô lý ) Cho nên ta xét

22

2

0sinx+cosx; t 2,sin 2 1

Bài 7 Giải các phương trình :

c 3tan2x4 tanx4 cotx3cot2x 2 0

d tanxcotxtan2 xcot2xtan3xcot3x6

Giải

a cos 2x 5 2 2  cosx sinx-cosx    2 2  cosx sinx-cosx  sin2 x c os2x 5 0

s inx-cosx 4 2cos x sinx c xos  5 0 sinx-cosx 4 sinx c xos  5 0

41-t

2 2 sin 2 3 1( )3

sin 2 3

t

x x

Bài 8 Cho phương trình : cos3x sin3x m

a Giải phương trình với m=1

b Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 4 4;

2

t t

f t  

tạihai điểm với t thuộc  2;0

f'(t) - 0 + 0

1Qua bảng ta thấy : với - 2<m<1 thì d cắt f(t) tại 2 điểm , và phương trình có 2 nghiệm thuộc 4 4;

a Giải phương trình với m=2

b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;2

t anx=-1osx+sinx=0

44

1-tcosx-sinx+sinxcosx-2=0 t+ 2 0

2 m có ít nhất 1 nghiệm

t thuộc 1; 2 Hay đường thẳng d : y=m cắt f(t)= 1-t2 1 2 

2 2 t  t tại ít nhất 2 điểm

1cot t anx+cotx 2 0

a Giải phương trình với m=

52

b Tìm m để phương trình có nghiệm

Giải

Phương trình :  tan2cot2x m t anx+cotx 3 0.

Đặt : t=

2

sin2x  t   x x t  Cho nên phương trình trở thành

2

-

Qua bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi

3232

m m

Bài 11 Giải các phương trình sau :

a sin3x c os3xsinx-cosx b sin 2x 2 sin x 4 1

k Z k

   2

4

t anx=1sinx-cosx=0

Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

Bài 12 Giải các phương trình sau :

a

3 3

  b 5 sinx+cosx sin 3x c os3x=2 2 2 sin 2  x

c sin2xcosx c os2x+sinx=cos sin2x x c osx

d 4sin3x1 3sin x 3 os3xc

Giải

a

3 3

b 5 sinx+cosx sin 3x c os3x=2 2 2 sin 2  x

sin2x=-2<-1(l) 4sin 2 1 0

33tan t anx+cotx 1

2 10

23

m m

b sin2xt anx+13sinx c osx-sinx3

b sinx c osx-4sin3x0 Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác 0

Chia 2 vế phương trình cho cos3x 0, ta có phương trinh :

3

-4 0 t anx 1+tan 1 tan -4tan 0

d cos3x 4sin3 x 3cos sinx 2 xsinx=0

Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác 0 Chia 2 vế phương trình cho3

cos x 0, ta có phương trinh :

Bài 3 Giải các phương trình sau :

a 3cos4x 4sin2xcos2xsin4 x0 b sin sin 2x xsin 3x6cos3x

sin sin osxsinx+cosx

Thỏa mãn điều kiện

d sin3x +cos3x +2cosx=0  3sinx 4sin3x4cos3x 3cosx2cosx0

3sinx 4sin x 4cos x cosx 0

     Chia hai vế phương trình cho cos3x 0 Ta được :

3

sinx sin osx

1 t anx 3tan  2 2 tan 1 0 t anx=1 x=  

Bài 5 Cho phương trình :

4 6 msin3x3 2 m1 sinx+2 m-2 sin   2xcosx 4m 3 osx=0c

a Giải phương trình với m=2

b Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 0;4

Phương trình : 4 6 msin3x3 2 m1 sinx+2 m-2 sin   2xcosx 4m 3 osx=0c

Nhận xét : Nếu cosx=0 thì sinx=1, phương trình có dạng :

Bài 6 Giải các phương trình sau :

a cos3xsinx-3sin cos2x x0 b 1 t anx=2 2 s inx

1+t 1+t 3 0

t x

Bài 7 Giải các phương trình sau :

a sin3x c os3xsinx-cosx b sin2x1 t anx  3sinx c osx-sinx3

c sin3x sin2xcosx 3sin cosx 2 x3cos3x0

d 3tan2x4 tanx4 cotx3cot2x 2 0

Phương trình vô nghiệm

b sin2x1 t anx  3sinx c osx-sinx 3 3 sinxcosx-sin 2x1 3 s inxcosx+cos 2x

Bài 1 Giải các phương trình sau :

a 4sin2x 2 3 t anx+3tan2x 4sinx 2 0 b.tan2 xtan 22 xcot 32 x1

c.4cos2 x3tan2x 4 3 osx+2 3 t anx+4=0c d  

c.4cos2 x3tan2 x 4 3 osx+2 3 t anx+4=0c 2cosx- 3 2 3 t anx+12 0

sin sin sin

33

Cho nên phương trình d chính là phương trình a mà ta đã giải

B PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ

1 Dạng 1.

Bài 1 Giải các phương trình sau :

a cos3x+ 2-cos 32 x 2 1 sin 2  2 x

2

os6x=1

os 3 1os3x= 2 os 3

os3x 2 os 3

sin2x=0sin 2 0

sin 2 0sin 2 0

Bài 2 Giải các phương trình sau :

a.cos13xsin14 x1 b cos2x 4cosx 2 sinx x x 2 3 0

x=k2sinx=0

x=k

k c

Bài 3 Giải các phương trình sau :

a 4cosx 2cos 2x c os4x=1 b

Giải

a 4cosx 2cos 2x c os4x=1 4cosx=1+cos4x+2cos2x 4cosx=2cos 22 x2cos 2x

2 2

12 6

l c

l x

l

x l Z

2os4x-cos2x 5 sin 3

2

k x

Bài 4 Giải các phương trình sau "

a sinx c osx= 2 2 sin 3  x b tanx+tan2x=-sin3xcos2x

sinx sin 2

sin 3 os2xcosx os2x

x

x c c

cosxcos2x 1+cosx.cos 2 0

x x

osx=-1

4 2 osx+cos5x+cos3x 0 cos5x=-1 os5x=-1 2

cos5x=-1cosx=-1 cosx=-1 3

k x

2 4

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Bài 1 Giải các phương trình lượng giác sau:

Giải

a)

x=kos2x=1

34

Bài 2 Giải các phương trình sau

a) sin x cos 4 x − sin22 x=4 sin2(π4−

26

c) (4 −6 m)sin3x+3(2 m−1)sin x +2(m−2)sin2x cos x −(4 m− 3)cos x=0

Chia 2 vế phương trình cho cos3x 0, ta có :

Như vậy ta có biện luận sau :

- Nếu : 1<m<3 Phương trình có 1 nghiệm : tanx=1 x 4 k

t anx=1tanx=m- m 4 3

t anx=m+ m 4 3

m m

Bài 3 Giải các phương trình sau

c) 8 cos4x −cos 4 x=1 d) 1+cos2 x+sin x=2cos2x

126

k k

2 b) tan x +tan 2 x=sin 3 x cos x

c) tan x − 3 cot x=4 (sin x+√3 cos x ) d) sin3x+cos3x=cos 2 x

k x

2sin x- =sin

Bài 5 Giải các phương trình sau

c) 3(cot x −cos x )−5 (tan x − sin x)=2 d) cos 7 x −√3sin 7 x=−√2

2s inx 2cos 3 os os2x =0

cos4x+2cos2x=0 2cos 2 2cos 2 1 0

b) sin 4x 4sinx (cos 4x 4cos ) 1x  sin 4x c os4x-14 osx-sinxc 0

2sin 2 cos 2x x 2cos 22 x 4 osx-sinxc  0 cos2x sin2x-cos2x  2 osx-sinxc  0

osx=sinxosx-sinx osx+sinx sin 2 os2x 2 0

  osx+sinx osx+ sinx-sinxcosx

Bài 6 Giải các phương trình sau

a) tan x − 2√2 sin x=1 b) 2 cos3x=sin 3 x

Kiểm tra điều kiện (*)

không xác định cho nên với k lẻ thì loại

Tóm lại phương trình có nghiệm là : 4 2  

Bài 8 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 1 − tan x 1+tan x=1+sin 2 x b) 2√2 sin(π4+x)= 1

2

k x

c x

Bài 9 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 5 x 5 sin x=1 c) Cho phương trình:

sin24 x −cos26 x=sin (10 ,5 π +10 x)

Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0 ; π

2)

Giải

a) sin 5 x 5 sin x=1 Điều kiện : s inx 0 *   Khi đó phương trình trở thành :

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

k x

Bài 10 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin8x+cos8x=2(sin10x+cos10x )+5

4cos 2 x b) √3 sin2 x − 2cos2x =2√2+2 cos 2 x

c) sin2x+sin22 x+sin23 x=3

Nhưng : f(-1)=-9, và f(1)=-1 do đó f(t) luôn âm với mọi x thuộc [-1;1] Phương trình vô nghiệm Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là : 4 2  

k

x   k Z

Vì : 2 2cos 2 x 2 1 cos2x  2.2cos2x2 osxc Cho nên phương trình trở thành :+/ Nếu cosx>0 :

x  k  k Z

Loại +/ Nếu cosx<0 :

Bài 11 Giải các phương trình lượng giác sau:

2 cos x+√2 sin 10 x=3√2+2 cos 28 x sin x

c) sin 2 x +2 cos 2 x=1+sin x − 4 cos x d) sin 2 x +2 tan x=3

Giải

a) cot 2x=tan 2x+2 tan 2x+1

Đặt y2x 0 xlog2 y *

Phương trình trở thành :

log arctan -1+ 2arctan -1+ 2

arctan 1- 2 log arctan 1- 2arctan 1+ 2 log arctan 1+ 2

x c

- Trường hợp giải theo cách 1 :

Ta có nghiệm phương trình là : tanx 1 x 4 k k Z

Vì : cos2x-sin2x=-5 vô nghiệm

* Chú ý : Ngoài 2 cách trên , ta còn quan niệm đây là phương trình đẳng cấp bậc cao đối

với sinx và cosx , cho nên ta chia 2 vế của phương trình cho cos3x 0

2 2

Bài 12 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) (√1− cos x+√cos x)cos 2 x =1

tan x +cot 2 x=

√2(cos x −sin x ) cot x −1

2

os2x=0os2x ( 1 cos cos ) sin 2 0

1 cos cos sin 2

Là một nghiệm của phương trình

- Trường hợp : 1 cos x cosxsin 2x

Ta có : VT2  1 cos x cosx2  1 1 1   cosx+cosx   2 2VT  2

sinx cos 2 cos sinxsin2x+cosxcos2x cos sinx

1cosx sin 2 sinx

osx.sin2x 2(cos sin )sinx

chia 2 vế phương trình cho sinx :

Bài 13 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos3x +sin3x=sin 2 x +sin x +cos x b) 3 −4 cos2x=sin x (2 sin x +1)

c) 4√3 sin x cos x cos 2 x=sin 8 x d) tan2x cot22 x cot 3 x=tan2x −cot22 x +cot 3 x

* Chú ý :

Đây là phw[ng trình đối xứng đối với sinx,cosx

Ta có thể đặt : tsinx+cosx; t  2;sin 2x t 2 1 Biến đổi phương trình theo t

b) 3 4cos 2xsin (2sinx x1) 3 4 1 sin   2x s inx 2sinx+1 

2

tan cot 2 1 tanx 1 t anx+tan2x tan 3

tan cot 2 1 tanx 1 t anx-tan2x tan

 

osy=0osy=0

3

32

Bài 15 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 9cot x+3cot x −2=0 b) cos2x+sin x+1=0

Bài 16 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos 2 x+3 cos x+2=0 b) 3 cos 4 x −2 cos23 x=1

2cosx=-

32

1 214

c c

x c

l c

2√2(sin x +cos x )cos x =3+cos 2 x

   2 

2

1

11

2

2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 ) 1 sin 2 sin 2 os2x

d) 2 2(sinxcos ) cosx x 3 cos 2x 2 2 sinxcosx+2 2 osc 2x 3 cos 2x

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 18 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin4x +sin4(x − π

4)+sin

4(x + π

4)=

9

8 b) sin 2 x 1+sin x+2cos x =0

Giải

a) sin4x +sin4(x − π

4)+sin

4(x + π

sin 2 sin

22

sin sin cos

Bài 19 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) √3− cos x −√1+cos x=2 b) sin x cos x +2 sin x+2 cos x=2

c) cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x= 1

Giải

a) 3 cos x 1 cos x  2 2 2 3   cosx 1  cosx  4 3 cosx 1  cosx 1

Vậy :  cosx=1- 3c os  x=+k2 k Z;cos =1- 3  

b) sin cosx x2sinx2cosx 2 sin cosx x2 sin xcosx2

Đặt :

2

t 1sinx+cosx; t 2;sinxcosx=

16

8sin 2 cos2xcos4xcos8x=sinxx 4sin 4 cos4xcos8x=sinxx

 

k2x=

sin sin 3 cos 2 cos 4

Bài 20 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 3 x(cos x − 2sin 3 x)+cos 3 x (1+sin x − 2 cos 3 x )=0

b) 3 tan3x − tan x+ 3(1+sin x )

a) sin 3 x(cos x − 2sin 3 x)+cos 3 x (1+sin x − 2 cos 3 x )=0

sin 3 osx cos 3 s inx -2 sin 3x+cos 3 +cos3x 0xc x   2 2 x

Phương trình vô nghiệm ví : Vế trái là một số chẵn , còn vế phải là một số lẻ

b) 3 tan3x − tan x+ 3(1+sin x )

cos2x −8 cos

2(π4 −

Bài 21 Giải các phương trình lượng giác sau:

2 3 2 8 2.3 3 2 2

2 3 2 2 3 2

22

u u

Bài 22 Giải các phương trình sau:

a) tan x − sin 2 x −cos 2 x +2(2 cos x − 1

cos x)=0 b) 4 (sin 3 x − cos 2 x )=5(sin x −1)

c) 2 cos 2 x +sin2x cos x +sin x cos2x=2(sin x+cos x)

Giải

a) tan x − sin 2 x −cos 2 x +2(2 cos x − 1

cos x)=0 Điều kiện : cosx 0 Phương trình :

sinx=-24

Bài 23 Giải các phương trình sau:

a) tan x sin2x −2 sin2x=3(cos 2 x+sin x cos x ) b) sin 2 x (cot x +tan2 x)=4 cos2x

c) 48 − 1

cos4x −

2sin2x (1+cot 2 x cot x)=0 d) sin6x+cos6x=cos 4 x

e) cos3x +cos2x+2sin x − 2=0 f) 2+cos x=2 tan x

sin

os

c c

sinx 0

*cosx 0

e) cos3xcos2x2sinx 2 0  cos2x c osx-12 sinx-1  0

1 sin2 x c  osx-1 2 sinx-1  0 1 sinx 1 sinx cosx-1 2 0

{ Vì : Phương trình : sinx+cosx+5=0 vô nghiệm )

Bài 24 Giải các phương trình sau:

a) cos 3 x+√2 − cos23 x=2(1+sin22 x) b) sin x+sin2 x +sin 3 x=0

sin 3 x+cos 2 x=1+2 sin x cos 2 x

2

1os6x=-1

os 3 1

sin2x=0sin 2 0

2

k x

c

l x

Thay vào (2) nghiêm :

osx-1 4cos 4cos 1 0

1

2cosx=

32

x k c

2 1+cos8x 3 cos8x=

2

c c

k Z k

Bài 26 Giải các phương trình sau:

a) sin x+sin2x +sin3x+sin4x=cos x +cos2x +cos3x +cos4x

Bài 27 Giải các phương trình sau:

1 osx 2 1 osx sinx-1 1 =0

b) 1 cos 3 x sin3xsin 2x1 sin 2 x  cosx-sinx 1 sinxcosx    0

 

22

sinx+cosx-sinxcosx=0 t- =0

2

c c

t t

là nghiệm của phương trình

Bài 28 Giải các phương trình sau:

a) 2+cos 2 x=−5 sin x b) sin3x+cos3x=2(sin5x+ cos5x)

c) sin2x=cos22 x +cos23 x d) 8 cos3(x+ π

3)=cos 3 x

Bài 29 Giải các phương trình sau:

a) ¿sin x − cos x∨+¿sin x+cos x∨¿2 b) 2 sin x +cot x=2 sin 2 x +1 c) cos6x − sin6x=13

sinx

c

1 3 4sin osx cosx+3sinx=4sinxcos

Bài 30 Giải các phương trình sau:

a) sin 3 x=cos x cos2 x (tan2x + tan2 x) b) 9sin 2

4)=√2 sin x f ) sin 3 x3 =sin 5 x

2 2 2

9c x 1 9 *

t   t

Khi đó phương trình trở thành :2

2

2

2 os

Nhận xét : cosx=0 là nghiệm của phương trình do đó pt có nghiệm :x 2 k





 

.Khi cosx0 Ta chia 2 vé phương trình cho cos3x 0, ta được phương trình :