Chuyên Đề - Khai thác phát triển một bài toán thành nhiều dạng toán Bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử :... Ngoài cách giải bằng cách xét rồi phân tích..[r]
Trang 13 3 3
3
Chuyên Đề
- Khai thác phát triển một bài toán thành nhiều dạng toán
Bài toán phân tích đa thức
sau thành nhân tử :
3 3 3 3
Ta có
Trang 23 3 3 3
2
Bài toán 1 Phân tích thành nhân tử
3 3
Trang 33 3 3
3
a b c a b c ac bc ab
3
Bài toán 2
Ta có thể thay thế b = - b
khai thác bài toán
Từ kết quả việc phân tích đa thức thành nhân tử ở bài toán cơ bản ta có bài toán
Trang 43 3 3 3
a b c abc
a b c abc a b c a b c ab ac bc
Bài toán 3 Cho a + b + c = 0 CMR :
Ngoài cách giải bằng cách xét rồi phân tích
Do a +b +c = 0
Ta còn cách giải khác cho bài toán này
Từ a + b + c = 0
a + b = - c
Thay giả thiết bằng kết luận của bài toán 3 ta được
bài toán 4
Trang 53 3 3 3
a b c abc
a3 b3 c3 3 abc 0
Bài toán 4 Cho
CMR : a + b+ c = 0 hoặc a = b = c
Rõ ràng từ
Phân tích vế trái thành nhân tử ta được kết quả sau
a b c abc a b c a b c ab ac bc
a b c ab ac bc
{
a + b + c = 0
a b c ab ac bc
( a b ) ( b c ) ( a c ) 0
Xét :
a = b = c
Trang 6Bài toán 5 : a3 b3 c3 3 abc
a b c abc a3 b3 c3 3 abc 0
( a b c ) ( a b ) ( b c ) ( a c ) 0
( a b ) ( b c ) ( a c ) 0
CMR : a + b + c > 0
a + b +c > 0 vì
- Tiếp tục khai thác bài toán cơ bản ta có hàng loạt các bài toán khác mà cách giải có thể tìm thấy dễ dàng
3
a b c abc
a b c ac ab bc
a b c
3
a b c
Bài toán 6 rút gọn :
Bài toán 7 rút gọn :
Trang 73 3 3
3 )
a b c abc a b c a
a b b c a c
3 )
a b c abc a b c b
a b b c a c
3
A
2 2 2
2 2 2
2011 1
A
a b c
Bài toán 8 rút gọn :
Bài toán 9 cho a + b + c = 2011 tính :
dễ dàng tính được
Trang 8Mở rộng bài toán
- Từ bài toán cơ bản kết hợp với bài toán 3 để ý rằng nếu thay
a = x - y ; b = y - z ; c = z – x Chúng ta sẽ chứng minh được a + b + c = 0 nên chúng ta sẽ có dạng toán khác rộng hơn , sâu hơn
Bài toán 10 phân tích đa thức sau thành nhân tử
( x - y)3 + ( y - z)3 + ( z - x )3
đặt a = x - y ; b = y – z ; c = z – x ta có
Ta có a + b + c = 0 thì
hay ( x - y)3 + ( y - z)3 + ( z - x )3 = 3 (x - y)( y - z)( z - x)
A
x y y z z x
x y y z z x ; ;
Bài toán 11 cho
với
Trang 9CMR : A không phụ thuộc vào x ; y ; z
3
x y y z z x x y y z z x A
x y y z z x x y y z z x
Vậy A không phụ thuộc vào x ; y ; z
Theo bài toán 10 ta có
B
x y y z z x
3( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) 3( ) ( )( )
x y y z z x
x y y z z x
Bài toán 12 Rút gọn
Từ kết quả của bài 10 ta có
Theo bài toán 4 ta có thể mở rộng thành bài toán sau
Trang 10 a3 b3 c3 3 abc
(1 a )(1 b )(1 c )
P
P
Bài toán 13 cho a.b.c
tính giá trị biểu thức
Theo bài toán 4
a) Nếu a + b + c = 0 thì a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b
b) Nếu a = b = c thì P = 2 2 2 = 8
Nếu xét a ,b , c dưới dạng nghịch đảo ta có bài toán
và
ta có a + b + c = 0
a = b = c
Trang 111 1 1
0
a b c 0
bc ac ab M
1 1 1
0
a b c 3 3 3
a b c abc
3 3 3
tính số trị của biểu thức
Theo bài toán 3 ta có từ
vậy M =
Ta còn có thể mở rộng bài toán ở dạng bài tập khác
Trang 123 3 2 3( 2 ) 3 3 3 3 0 (1)
x ax a bc x a b c abc
( x a ) 3 ( bc x a ) b c 0
2 2 2
Bài toán 15 Giải phương trình
(1 )
đặt x + a = y bài toán trở thành
y3 - 3bcy + b3 + c3 = 0
y + b + c = 0
y = b = c
y = - b = - c
y = b = c + nếu y = -b = - c x = - (a + b + c )
+ nếu y = b = c x = b - a = c - a