Các chuyên đề tựi chọn nâng cao môn toán 9

Trờng hợp phải chứng minh 5 điểm trở lên cùng nằm trên một đờng tròn, ta chọn 3 điểm nào đó cố định, chọn điểm thứ 4 rồi chứng minh cho 4 điểm này nằm trên một đờng tròn.Sau đó lại chứng

Chủ đề : chứng minh tứ giác nội tiếp

I/ MỤC TIấU CỦA CHỦ ĐỀ.

Qua chủ đề này giỳp học sinh:

- Biết được một số phương phỏp chứng minh tứ giỏc nội tiếp đường trũn

- Vận dụng linh hoạt cỏc phương phỏp để chứng minh được cỏc tứ giỏc nội tiếpđường trũn

- Vận dụng tớnh chất của tứ giỏc nội tiếp đường trũn để chứng minh cỏc bài toỏnhỡnh học cú liờn quan

- Rốn kỹ năng tỡm lời giải và trỡnh bày lời giải của một bài toỏn hỡnh học

- Biết cỏch khai thỏc cỏc bài toỏn hỡnh học, từ đú rốn luyện tư duy độc lập sỏngtạo trong học tập của học sinh

II/ Một số gợi ý để đi đến chứng minh tứ giác nội tiếp.

B A

D

C

1 Chứng minh cho 4 đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào

đó

2 Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180

3 Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dớihai góc bằng nhau

4 Chứng minh tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau

5 Sử dụng định lí đảo về hệ thức lợng trong đờng tròn

6 Trờng hợp phải chứng minh 5 điểm trở lên cùng nằm trên một

đờng tròn, ta chọn 3 điểm nào đó cố định, chọn điểm thứ

4 rồi chứng minh cho 4 điểm này nằm trên một đờng tròn.Sau đó lại chứng minh 3 điểm cố định trên cùng với điểmthứ năm nằm trên một đờng tròn và cứ tiếp tục nh thế cho

đến điểm cuối cùng Nh vậy tất cả các điểm đó, kể từ

điểm thứ 4 trở đi đều nằm trên đờng tròn đi qua 3 điểm

đã chọn làm cố định, từ đú suy ra cỏc điểm đú đều nằm trờn một đườngtrũn

II/ MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

1 Bài toỏn 1:

Cho tam giỏc ABC vuụng ở A Trờn AC lấy một điểm M và dựng đường trũnđường kớnh MC Nối BM và kộo dài gặp đường trũn tại D Đường thẳng DA gặpđường trũ tại S Chứng minh rằng

a ABCD là tứ giỏc nội tiếp

b CA là phõn giỏc của gúc SCB

2 1 2

M

Nhận xét:

a Vì A và D nằm cùng phía đối với đoạn thẳng BC mà theo GTnên để chứng minh được tứ giác ABCD nội tiếp ta phải chứng minh

Ta có MDC ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn),

từ đó suy ra điều phải chứng minh

b Để chứng minh cho CA là đường phân giác SCB, lợi dụng kết quả đãchứng minh ở câu a, ta có ACB = ADB ( cùng chắn cung AB )

Mặt khác SCA = ADB ( cùng chắn cung SM của đường tròn đườngkính MC) Từ đó suy ra ĐPCM

1.2 Lời giải ( tóm tắt )

a/ MDC ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC ) Mà BAC(GT) Từ A và D nằm cùng phía BC nhìn đoạn BC dưới góc nên A và D nằm trên đường tròn đường kính BC ABCD là tứ giác nội tiếp

b/ ADB = ACB ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

ADB = SCM ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

SCM = ACB CA là phân giác SCB

1.3 Khai thác bài toán:

 Nhận xét 1:

Gọi K là giao điểm của BA và CD kéo dài T là giao điểm của đường trònđường kính MC với cạnh BC Vì M là trực tâm tam giác KBC nên KM kéodài phải qua T Ta có câu hỏi tiếp theo cho bài toán 1

c/ Gọi T là giao điểm của đường tròn đường kính MC với BC và K là giao điểm của

AB và CD kéo dài Chứng minh rằng:

ta lại có 2 DCT = DO T DO T = tứ giác DATO nội tiếp

O là trung điểm đoạn thẳng MC nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giácADT

Ta có câu hỏi tiếp theo cho bài toán trên

f/ Gọi O , O lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MC, MB, và MK.Chứng minh rằng O , O nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác DAT

2 Bài toán 2.

Cho tam giác ABC có đường phân giác BN Từ A kẻ một tia vuông góc với tia

BN, cắt BC tại H Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Chứng minh rằng bốn điểm A, O, H, C nằm trên một đường tròn

Hướng dẫn

H2a H2b

H '

H '

K M

I

O

K I O

N

H

Ta phân biệt hai trường hợp

- H và O nằm cùng phía với AC ( H2a )

3 Bài toán 3:

Cho hình vẽ

a/ CMR: Tứ giác EMFC nội tiếp

b/ Từ hình vẽ đó hãy đặt ra một đề toán có áp dụng kết quả ở câu a

M

F B

4 Bài toán 4:

Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo và I là giao điểm hai cạnh

bên AD và BC Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD

b) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA ID = IB IC

Gợi ý:

Việc chứng minh bài toán này không có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc chứng minh

các tam đồng dạng và suy ra kết quả Nhưng qua bài toán trên cho ta một ý tưởng

chứng minh tứ giác nội tiếp : đó là chứng minh một đẳng thức về cạnh.

Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài toán sau:

Gợi ý:

Tam giác OCA vuông tại C, CH là đường cao nên ta có:

Dây cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nên ta có

Từ đó ta có , chứng minh tương tự bài 4 ta có tứ giác ADOE nộitiếp

III/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài tập 1:

Cho tứ giác ABCD nội tiế đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC và

BD cắt nhau tại E Vẽ EF vuông góc với AD Chứng minh:

a/ Tứ giác EBEF, tứ giác DCEF nội tiếp

b/ CA là phân giác của

c/ Gọi M là trung điểm của DE Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp

Bài tập 2:

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC, BD cắtnhau tại E Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F Đường thẳng CF cắt đườngtròn tại điểm thứ hai là M Giao điểm của BD và CF là N Chứng minh:

a/ CEFD là tứ giác nội tiếp

b/ Tia FA là phân giác của góc BFM

c/ BE.DN = EN.BD

Bài tập 3:

Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B Đường trònđường kính BD cắt BC tại E Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tạicác điểm thứ hai F, G Chứng minh:

a/ Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD

b/ Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được một đường tròn

c/ AC song song với FG

d/ Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy

Bài tập 4:

Cho tam giác ABC có ; AB > AC, và một điểm M nằm trên đoạn AC ( Mkhông trùng với A và C ) Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MBvới đường tròn đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường trònđường kính MC; T là giao điểm của MN và AB Chứng minh:

a/ Bốn điểm A, M, N, B cùng thuộc một đường tròn b/ CM là phân giác của góc BCS

c/

Bài tập 5:

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Qua A dựng hai tiếp tuyến

AM và AN với đường tròn ( M, N là các tiếp điểm ) và một cact tuyến bất kỳ cắtđường tròn tại P, Q Gọi L là trung điểm của PQ

a/ Chứng minh 5 điểm: O, L, M, A, N cùng thuộc một đường tròn b/ Chứng minh LA là phân giác của góc MLN

c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA Chứng minh: MA = AI AL d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O) Chứng minh rằng: KN // AQ e/ Chứng minh tam giác KLN cân

Bài tập 6:

Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A Trên d lấy điểm H khôngtrùng với điểm A và AH < R Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳngnày cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H )

a/ Chứng minh: góc ABE bằng góc EAH và tam giác AHB đồng dạngvới tam giác EAH

b/ Lấy điểm C trên d sao cho H lá trung điểm của đoạn AC, đườngthẳng CE cắt AB tại K Chứng minh: AHEK là tứ giác nội tiếp

c/ Xác định vị trí của điểm H để AB = R

Bài tập 7:

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn(O) ( M, N là tiếp điểm ) Đường thẳng đi qua điểm P cắt đường tròn (O) tại hai

điểm E và F Đường thẳng qua O song song với MP cắt PN tại Q Gọi H là trungđiểm của đoạn EF Chứng minh:

a/ Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn

b/ Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đường tròn

c/ Tam giác PQO cân

d/ MP = PE PF

e/

Bài tập 8:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD,

BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P

Chứng minh rằng:

a/ Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp

b/ Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn

c/ AE AC = AH AD và AD BC = BE AC

d/ H và M đối xứng nhau qua BC

e/ Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Bài tập 9:

Cho tam giác ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M,

N thứ tự là trung điểm của BC, AB Chứng minh:

a/ Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn tâm N và

HE // CD

b/ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF

Bài tập 10:

Cho đường tròn (O) và điểm A ở bên ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB,

AC và cát tuyến ADE với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm ) Gọi H là trungđiểm của DE

a/ CMR: A, B,糈 H, O, C cùng thuộc một đường tròn Xác định tâmcủa đường tròn này

b/ Chứng minh: HA là tia phân giác BHC c/ Gọi I là giao điểm của BC và DE Chứng minh: AB2= AI.AHd/ BH cắt (O) tại K Chứng minh: AE // CK

Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự đó Trên nửa mặt phẳng bờ d

kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với d Trên tia Ax lấy I Tia vuông góc với CI tại

C cắt By tại K Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P

a/ Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn

b/ Chứng minh: AI BK = AC CB

c/ Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hìnhthang vuông ABKI lớn nhất

Bài tập 13:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) M là điểm di động trên cung nhỏ

BC Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC

b/ Chứng minh: MB + MC = MA

c/ Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp được

d/ Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường cố định nào?

Bài tập 14:

Cho đường tròn (O;R), từ một điểm A trên O kẻ tiếp tuyến d với O Trên đườngthẳng d lấy điểm M bất kỳ ( M khác A ) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểmcủa NP, kẻ tiếp tuyến MB ( B là tiếp điểm ) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H làgiao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB

a/ Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp

b/ Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn

c/ Chứng minh OI OM = R ; OI IM = IA

d/ Chứng minh OAHB là hình thoi

e/ chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng

f/ Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d.

Bài tập 15:

Cho hình thang cân ABCD ( AB > CD; AB // CD ) nội tiếp trong đường tròn(O) Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E Gọi I là giao điểm củahai đường chéo AC và BD

a/ Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp

b/ Chứng minh AB // EI

c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và

S Chứng minh: * I là trung điểm của RS

a/ Tứ giác ABTM nội tiếp

b/ Khi M chuyển động trên AC thì có số đo không đổi

c/ AB // ST

Bài tập 18:

Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho

AI = 2/3AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn

MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E

a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp

b/ Chứng minh:

c/ Chứng minh AM = AE AC

d/ chứng minh AE AC – AI IB = AI

e/ Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường trònngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất

Bài tập 19:

Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cáttuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H là trung điểm của DE

a/ Chứng minh năm điểm: A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn

b/ Chứng minh AH là tia phân giác của

c/ DE cắt BC tại I Chứng minh: AB = AI AH

d/ Cho AB = R và OH = Tính HI theo R

Bài tập 20:

Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Đường thẳng (d) tiếp xúc với đườngtròn (O) tại A M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M A, M Q, Q A Các đườngthẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P Chứngminh:

I/ MỤC TIÊU CỦA CHỦ ĐỀ

Qua chủ đề này giúp học sinh:

- HS nắm vững hệ thức Vi- ét

- HS vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-ét

- Lập phương trình biết hai nghiện của nó

Tìm tổng và tích các nghiệm

- Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm

- Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng

- Rèn luyện kĩ năng giải tốn và suy luận tốn học cho học sinh

II/ CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ1.Định lí Vi-ét:

Cho phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) Nếu phương trình cĩ hai nghiệm

x ; x thì:

2.Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình cĩ nghiệm:

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình cĩ nghiệm:

3 Tìm hai số khi biết tổng và tích:

Hai số x; y cĩ x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là hai nghiệm của phương trình:

Điều kiện: S 4P

BỔ SUNG

a/ Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm thì tam thức

phân tích được thành nhân tử:

= a(x – x1)(x – x2)

b/ Xét dầu các nghiệm của phương trình:

ax + bx + c = 0 (a 0) (1)Điều kiện để phương trình (1)

- Có hai nghiệm trái dấu P < 0

- Có hai nghiệm cùng dấu là và P > 0

- Có hai nghiệm cùng dương là , P > 0, S > 0

- Có hai nghiệm cùng âm là , P > 0, S < 0

Bài 2: Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x2 – 7x – 3 = 0 Không giải

phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:

d/

Bài 3: Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 + px – 5 = 0 Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:

Bài 4: Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình 3x2 + 7x + 4 = 0 Không giảiphương trình, hãy lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:

Bài 5:

a/ Chứng minh rằng nếu a1; a2 là hai nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0;

b1; b2 là hai nghiệm của phương trình: x2 + qx + 1 = 0 thì:

(a1 – b1)(a2 – b2)(a1 + b1)(a2 + b2) = q2 – p2

b/ Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của phương trình: x2 + ax + 1 = 0 với một nghiệm nào đó của phương trình x2 + bx + 1 = 0 là nghiệm pt thì:

c/ Cho phương trình: x2 + px + q = 0

Chứng minh rằng nếu 2p2 – 9q = 0 thì phương trình có hai nghiệm và nghiệm này

gấp đôi nghiệm kia

Bài 2:

Cho phương trình –x2 – 4x + 1 = 0 Không giải phương trình hãy tính:

a/ Tổng bình phương các nghiệm b/ Tổng nghịch đảo các nghiệm

c/ Tổng lập phương các nghiệm d/ Bình phương tổng các nghiệm

e/ Hiệu các nghiệm f/ Hiệu bình phương các nghiệm

a/ Định m để phương trình có một nghiệm là 2 Khi đó phương trình còn mộtnghiệm nữa, tìm nghiệm đó?

b/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x + x = 1

d/ Định m để phương trình có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?

Bài 2:

Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – m = 0

a/ CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m

b/ Với m 0 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm là:

c/ Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 = 3

Bài 3:

Cho phương trình: x2 – 2(k + 3)x + 2k – 1 = 0

a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k

b/ CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?

d/ Định k để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn:

e/ Tìm k để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ nhất?

Bài 4: Cho phương trình:

a/ Giải phương trình trên khi m = 2/3

b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 = 16

Bài 5:

Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0

a/ Giải và biện luận pt trên

b/ Tìm giá trị của m để pt có một nghiệm bằng m Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại?

c/ Tìm m sao cho hai nghiệm x1; x2 của pt thỏa mãn: 10x1x2 + đạt giá trị nhỏnhất Tìm giá trị đó?

Bài 6:

a/ CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m

b/ Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu

c/ Tìm m để pt có hai nghiệm dương

d/ CMR biểu thức không phụ thuộc m

e/ Tính giá trị của biểu thức x1 – x2

Bài 8:

a/ Phương trình: x2 – 2px + 5 = 0 có nghiệm x1 = 2 Tìm p và tính nghiệm kia?b/ Phương trình: x2 + 5x + p = 0 có một nghiệm bằng 5 Tìm p và tính nghiệm kia?

c/ Biết hiệu hai nghiệm của pt: x2 – 7 + q = 0 bằng 11 Tìm q và hai nghiệm

của phương trình

d/ Tìm giá trị của m để pt: x2 + 2(m + 2)x + 2m2 + 7 = 0 có nghiệm x1 = 5 khi

đó hãy tìm nghiệm còn lại?

b/ Từ (*) ta thấy tồn tại hai giỏ trị của x khi và chỉ khi y < - 4 hoặc y > 0

Do đú pt (1) cú 4 nghiệm phõn biệt pt (2) cú 2 nghiệm p/b thỏa món: y

Theo định lý Vi-ột: y1 + y2 = -2 nờn (2) chỉ thỏa món khi y1 < -4 < 0 < y2

i - Mục tiêu CỦA CHỦ ĐỀ:

- Học sinh có kĩ năng giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩnbằng các phơng pháp: thế, cộng đại số

- Giải các hệ phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặcgiải và biện luận hệ phơng trình

- áp dụng giải hệ phơng trình để giải phơng trình hoặctìm điều kiện của tham số thỏa món yờu cầu cho trước

- Học sinh biết một vài kĩ năng để giải một số loại hệ phương trỡnh bậc cao hai

ẩn, giải hệ phương trỡnh cú chứa dấu giỏ trị tuyệt đối, cú chứa căn thức

II/ CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn:

- Định nghĩa: Cho hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn: ax + by = c và a’x + b’y = c’.Khi đú ta cú hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn:

- Nếu hai phương trỡnh ấy cú nghiệm chung (x0;y0) thỡ được gọi là nghiệm của hệ (I)

- Nếu hai phương trỡnh ấy khụng cú nghiệm chung thỡ ta núi hệ vụ nghiệm

2 Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm:

- Phương trỡnh (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d)

- Phương trỡnh (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d’)

* Nếu (d) cắt (d) hệ cú nghiệm duy nhất

* Nếu (d) // (d’) hệ vụ nghiệm

* Nếu (d) trựng (d’) hệ cú vụ số nghiệm

3 Hệ phương trỡnh tương đương:

Hai hệ phương trỡnh được gọi là tương đương với nhau nếu chỳng cú cựng tậpnghiệm

4 Giải hệ phương trỡnh bằng phương phỏp cộng, phương phỏp thế, phương phỏp dựng định thức:

a/ Quy tắc thế ( Sgk Toán 9-T2-Tr 13)

b/ Quy tắc công đại số ( Sgk Toán 9-T2-Tr 16)

c/ Phương pháp dùng định thức:

Từ hệ phương trình (I) ta có:

- Nếu D , thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:

- Nếu D = 0 và Dx hoặc Dy , thì hệ phương trình vô nghiệm

- Nếu D = Dx = Dy = 0, thì hệ phương trình có vô số nghiệm

III/ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1 Giải và biện luận

Bài toán 1 : Giải và biện luận hệ :

Giải

Các bạn có thể chọn một trong ba phương pháp:

* Cách 1: Phương pháp thế

Ta có: Từ (2) y = 3 - x Thế vào (1) ta được:

hệ phương trình vô nghiệm - LK:….

2 Nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.

Những yêu cầu về nghiệm thường gặp :

- Nghiệm của hệ thỏa mãn những bất đẳng thức

- Nghiệm của hệ thỏa mãn một hệ thức

- Nghiệm của hệ là những số nguyên

Bài toán 2 : Tìm m để hệ :

có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0

+ Nếu 2 + 3m 0 ; m  thì : (4) y =

Thế vào (1) ta có : 3x – 2 = m x =

Khi đó x > 0 và y > 0

Kết hợp với điều kiện có nghiệm là m 

Tóm lại : Hệ có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0 khi và chỉ khi -2/3 < m < 9

Bài toán 3 : Cho hệ :

a) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm x, y nguyên

b) Tìm m sao cho nghiệm của hệ thỏa mãn x2 + y2 = 0,25

Trước hết ta thấy : Vì m nguyên nên 4m + 5 là số nguyên lẻ

Do đó : y nguyên 4m + 5 là ước số lẻ của 6

4m + 5 { -1;1;-3;3} m {-3/2;-1;-2;-1/2}

3.Giải các hệ đưa về hệ bậc nhất hai ẩn (thông qua các ẩn phụ)

Bài toán 4 : Giải hệ :

Giải

Đặt thì u = 1/(2x - y); v = 1/(2x + y) hệ trở thành :

Giải hệ này ta có u = 1/3 ; v = 1/5 Từ đó ta có :

4 Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất

Có khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức lại xuất hiện loại hệ này

Ta xét bài toán sau :

Bài toán 5 :

Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

F = (mx + 2y - 2m)2 + (x + y - 3)2

Giải

Ta thấy F ≥ 0 với mọi x, y, m và F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0

khi hệ sau có nghiệm :