Đề Toán Không Chuyên Tuyển Sinh Trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2011-2012

Bán kính đườ ng tròn ngoai ti ếp tam giác HIO là bán kính đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác AOC là EO.[r]

Võ Tiến Trình 1

Đề Toán không chuyên tuyển sinh trường Phổ Thông Năng

khiếu – Đại Học Quốc Gia TP.HCM

Năm 2011 – 2012

Bài 1 (2,5 điểm) Cho phương trình  2 2  

a) Giải phương trình (1) khi m 2

b) Tìm m để phương trình x2 mx2m2  có hai nghiệm phân biệt 0 x x1, 2 thỏa x12 2x227m22

c) Chứng minh phương trình (1) luôn có không quá hai nghiệm phân biệt

Bài 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình x2 5 2 x  1 6x

b) Giải hệ phương trình

1



 



Bài 3 (1,5 điểm)

: 1

R

x

với x 0 và

1

b) Chứng minh R 1

Bài 4 (1 điểm)

Một tổ mua nguyên vật liệu để tổ chức thuyết trình tại lớp hết 72.000 đồng, chi phí được chia đều cho mỗi thành viên của tổ Nếu tổ giảm bớt 2 người thì mỗi người phải đóng thêm 3.000 đồng Hỏi số người của tổ ?

Bài 5 (3 điểm)

BAC BCA ACa AK vuông góc với BC (K thuộc BC)

Võ Tiến Trình 2

a) Tính độ dài các đoạn KC và AB theo a

b) Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính



c) Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HIO theo a

Hướng dẫn giải

Bài 1

a) Khi m 2, phương trình trở thành  2 

điều kiện x 3

Phương trình đã cho tương đương với 2

3 3

2

4

x x

x

x







So với điều kiện, ta có phương trình có nghiệm là x3,x4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x3,x 4

b) Phương trình x2 mx2m2  0 x2 2mxmx2m2  0

x 2mx m 0 x 2m







Phương trình có hai nghiệm phân biệt m0

+ trường hợp 1 x1 2 ,m x2  m, ta có phương trình2m2 2m2 7m2 2 2

2 0

m

   (vô nghiệm m)

+ trường hợp 2 x1  m x, 2  2m , ta có phương trình  2  2 2

1

1

m m

m







(thỏa mãn điều kiện)

Võ Tiến Trình 3

Vậy giá trị m cần tìm là m 1;m 1

3

x x

 





2m m  2m  nên hai số 0 2m và m chỉ có một số không âm

Do đó phương trình x2 mx2m2  có tối đa một nghiệm không nhỏ hơn 3 Do 0

đó phương trình (1) có không quá hai nghiệm phân biệt

Bài 2

a) Phương trình x2 5 2 x  1 6x

Điều kiện 2 5

2

x

Bình phương hai vế ta có phương trình tương đương

7 x 2 x2 52x 7 x 2 6 x

x 2 5 2x 6 x

2

x

x

 





(thỏa điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1;x 2

b) Giải hệ phương trình

1



 



Từ xy  x 1 2xy2x1 thay vào phương trình x2 y2 2y1 ta có

x  y  xy y  x  x y  x y  

Võ Tiến Trình 4





Với x y  1 0 x   ta có: 1 y x x 1  x1 0 x  1 y 0

Với xy  3 0 x   ta có 3 y

Vậy hệ phương trình có nghiệm x y;  là 1;2 , 1;0

Bài 3

a)

1

x R



b) Chú ý:

2

x x   x      x x

x R

Bài 4 Gọi số người của tổ là x (người) (điều kiện : x,x2)

Số tiền dự định mỗi người sẽ đóng: 72000

x (đồng)

Sô tiền mỗi người phải đóng khi tổ giảm đi hai người : 72000

2

x 

Ta có phương trình 72000 72000 3000

2

6

x

x







Võ Tiến Trình 5

Theo điều kiện ta nhận x 8 Vậy tổ có 8 người

Bài 5

3

a

120

AHC AOC  tứ giác AHOC nội tiếp

30 2

AOC

c) Gọi E là điểm chính giữa cung AC suy ra E là tâm đườg tròn ngoại tiếp tam giác AOC

120

AIC  AOCI thuộc đường tròn ngoai tiếp tam giác AOC

Bán kính đường tròn ngoai tiếp tam giác HIO là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AOC là EO

3

a