038 đề HSG toán 9 hồ chí minh 2017 2018

Điểm E nằm trên đoạn CD sao cho AE chia 9 hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau.. 2 Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại I.. Đường thẳng

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN TOÁN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NĂM HỌC 2017-2018

Câu 1: ( 3 điểm )

Cho hai số a , b thỏa điều kiện: a2b2 1,a4b4  12

Tính giá trị của biểu thức 2018 2018

Pa b

Câu 2: ( 3 điểm )

Giải phương trình: 5 x 2 3 x 6

Câu 3: ( 2 điểm )

Hình bên gồm 9 hình vuông giống hệt nhau, mỗi hình

vuông có diện tích 4 2

cm Các điểm A B C D, , , là đỉnh của các hình vuông Điểm E nằm trên đoạn CD sao

cho AE chia 9 hình vuông thành hai phần có diện tích

bằng nhau Tính độ dài đoạn CE

Câu 4: ( 4 điểm )

1) Cho hai số thực x , y Chứng minh rằng  2 2  2

1x 1y 2 1x y 2) Các số A B C D A C B C A; ; ; ;  ;  ; D B; D là tám số tự nhiên khác nhau từ 1 đến 8 Biết A là số lớn nhất trong các số

, , ,

A B C D Tìm A

Câu 5: ( 5 điểm )

1) Cho nửa đường tròn O  đường kính AB4cm Góc

30

DAB  và cung DB là một phần của đường tròn tâm

A Tính diện tích phần tô đậm

2) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại I Đường thẳng qua Ivuông góc AD cắt cạnh BC tại N Đường thẳng qua Ivuông góc BC cắt cạnh AD tại M Chứng minh rằng nếu

2

AB CD  MNthì ABCD là hình thang

Câu 6: ( 3 điểm )

Một ô tô dự định đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi là v km h/ nếu vận tốc ô tô đó tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm hơn dự định 1 giờ Tuy nhiên sau khi đi được 120 km với vận tốc v , ô

tô tăng thêm 25% và đến B sớm hơn dự định 48 phút Tính quãng đường giữa hai thành phố

LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN TOÁN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NĂM HỌC 2017-2018

Bài 1: ( 3 điểm )

Cho hai số a , b thỏa điều kiện: 2 2 1, 4 4 1

2

a b  a b 

Tính giá trị của biểu thức Pa2018b2018

a b   a b  a b  a b  a a 

4 4 1 0 2 1 0

Do đó  1009  1009 1009 1009

1008

P a  b     

Bài 2: ( 3 điểm )

Giải phương trình: 5 x 2 3 x 6

ĐKXĐ: 3  x 5 Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

Với ĐK: 3 19

3

x

2

x 1 25 x 121 0

1 25

x hay

   ( thỏa mãn điều kiện)

Vây phương trình có tập nghiệm 1;121

25

Bài 3: ( 2 điểm )

Hình bên gồm 9 hình vuông giống hệt nhau, mỗi hình vuông có

diện tích 4 cm2 Các điểm A B C D, , , là đỉnh của các hình

vuông Điểm E nằm trên đoạn CD sao cho AE chia 9 hình

vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau Tính độ dài đoạn

CE

Mỗi hình vuông có diện tích 4cm nên mỗi hình vuông nhỏ có cạnh là 2 cm 2

2 9

4 9.4

S S  S   cm

 

22

2OA OE OE 4 2 cm

     ( vì OA4.2 8 cm)

Vậy 11 7 

2

CEOE OC    cm )

Bài 4: ( 4 điểm )

1) Cho hai số thực x , y Chứng minh rằng  2 2  2

1x 1y 2 1x y

Ta cĩ  2 2  2

1x 1y 2 1x y

1 2 2

x y x y x xy

  2 2

     ( bất đẳng thức đúng)

Vậy  2 2  2

1x 1y 2 1x y

2) Các số A B C D A C B C A; ; ; ;  ;  ; D B; D là tám số tự nhiên khác nhau từ 1 đến

8 Biết A là số lớn nhất trong các số A B C D, , , Tìm A

Ta cĩ tổng của 8 số: 3A  B C D36   A B C D12 (1)

Mà B       C D 1 2 3 6 A 6

Hơn nữa 4A   A B C D12 A 3

Nếu A 4 B C D, , 1; 2;3  B C D6 Điều này mâu thuẫn (1)

Nếu A 5 B C D, , 1; 2;3; 4   1   B C D7 Do đĩ B C D, , 1; 2; 4 

Do ADvà A C bé hơn bằng 8 nên C D, 4  B 4 Nếu C1,D2 thì

6

A C  B D là vơ lý Nếu C2,D1 thì AD  B C 6là vơ lý

Do đĩ A chỉ cĩ thể là 6, suy ra B C D, , 1; 2;3; 4;5 Từ (1) ta cĩ B C D6

Do đĩ B C D, , 1; 2;3 Hơn nữa AD A C,  8 nên C D, 3 , suy ra B3

Với C1,D2 hay C2,D1 đều thỏa mãn yêu cầu đề bài Vậy A6

Bài 5: ( 5 điểm )

1) Cho nửa đường trịn   O đường kính AB4cm Gĩc DAB 30 và cung DB

là một phần của đường trịn tâm A Tính diện tích phần tơ đậm





3

OAE

2

phần tô đậm nửa hình tròn quạt ABD phần trắng





 

2) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại I Đường thẳng qua I vuông góc AD cắt cạnh BC tại N Đường thẳng qua I

vuông góc BC cắt cạnh AD tại M Chứng minh rằng nếu AB CD 2MNthì

ABCD là hình thang

Gọi K là giao điểm của MI và BC

Gọi F là trung điểm của BD

Ta có: BIK KIC (cùng phụ với IBK ) và MDI KIC ( 2 góc nội tiếp cùng chắn

ABcủa  O )

BIKMDI mà BIKMID (2 góc đối đỉnh) nên MDI MID MID cân tại

M MI MD

MAI MIA MAI cân tại M MI MA

mà MI MDMI MAM là trung điểm của AD

Ta có 1 1

;

MF AB NF DC

mà AB CD 2MNnên 2.MF2.NF 2MNMFNFMNM F N , , thẳng hàng

Từ đó suy ra AB CD// nên ABCD là hình thang

Bài 6: ( 3 điểm )

Một ô tô dự định đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi là v km h/ nếu vận tốc ô tô đó tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm hơn dự định 1 giờ Tuy nhiên sau khi đi được 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% và đến B sớm hơn dự định 48 phút Tính quãng đường giữa hai thành phố

Đổi đơn vị : 48 phút 48 4

  (giờ) Gọi s km là quãng đường giữa hai thành phố A và B s 0

Nếu vận tốc ô tô đó tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm hơn dự định 1 giờ nên ta

có phương trình: 1  1



v

v v

F

N

M

K

I

D

O

C A

B

Sau khi đi được 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% và đến B sớm hơn dự

định 48 phút nên ta có phương trình: 120 120 4





s v v v (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 6 60

120 120 4 360

25% 5

 





s v

v

Vậy quãng đường giữa hai thành phố A và B.là 360 km