Bài tập điện học

1 6 điện tích bằng nhau và cùng dấu2 3 điện tích âm và 3 điện tích dương về trị số đều bằng nhau Bài giải: Áp dụng nguyên lý chồng chất điện trường đối với hệ điện tích phân bố gián đoạn

CHƯƠNG 1 TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN

4 Nguyên lý chồng chất điện trường

Hệ điện tích điểm (phân bố rời rạc): 0

FEq

1 dl rE

1 dS rE

4 r r  

02

Vật mang điện có dạng hình khối:

2 0 toànbôvât

1 dV rE

i 1 (S)

D dS� � q



  �  �

6 Công của lực tĩnh điện

Điện trường của 1 điện tích điểm:

0 M

W

V E dsq

ds

 

E=U/d, d là khoản cách và U là hiêu điện thế giữa hai mặt đẳng thế tương ứng

II Bài tập mẫu.

Bài 1

Hai quả cầu giống nhau được treo vào hai sợi dây có chiều dài l=10cm đặt trongchân không Hai sợi dây được buộc vào điểm O Mỗi quả cầu mang điện tích q bằngnhau và có khối lượng m=0,1g Do lực đẩy giữa hai quả cầu, hai sợi dây treo tạonên góc 2α=10014’ Hãy tính trị số của điện tích q, cho g=10m/s2

Bài giải:

1) 6 điện tích bằng nhau và cùng dấu

2) 3 điện tích âm và 3 điện tích dương về trị số đều bằng nhau

Bài giải:

Áp dụng nguyên lý chồng chất điện trường đối với hệ điện tích phân bố gián đoạn,véc tơ cường độ điện trường tại tâm của lục giác bằng tổng các véc tơ cường độđiện trường do 6 điện tích đặt tại 6 đỉnh của lục giác gây ra:

4 r





1 Nếu 6 điện tích cùng dấu và bằng nhau

thì 6 véc tơ cường độ điện trường có

a) 3 điện tích âm và 3 điện tích dương đặt xen kẽ thì hệ cũng có tính đốixứng và tổng véc tơ cường độ điện trường cũng bằng 0.

b) 3 điện tích âm rồi đến 3 điện tích dương đặt liên tiếp, tạo ra 3 cặp điện tíchtrái dấu đối xứng Mỗi cặp điện tích trái dấu đối xứng gây ra 2 véc tơ gây

ra điện trường cùng phương chiều và độ lớn, tổng

là E�12 , E�34 và E�56 Ba véc tơ trên có cùng độ lớn

và hướng vào điện tích âm như hình vẽ, do đó

véc tơ cường độ điện trường tổng hợp tại O là

1 qE

a





c) 2 điện tích âm rồi đến 2 điện tích dương, tiếp đến

là 1 điện tích âm và 1 điện tích dương còn lại, tạo ra 2 cặp điện tích đốixứng cùng dấu và 1 cặp trái dấu, hai cặp cùng dấu gây ra điện trường triệttiêu nhau nên điện trường tổng hợp tại O chỉ còn do cặp trái dấu gây ra

trường, ta chia vòng dây thành những

đoạn nhỏ có độ dài dl mang điện tích dq

và gây ra cường độ điện trường dE

�

tại

M, cường độ điện trường toàn phần E�

do cả vòng dây gây ra tại điểm đó bằng

tổng các thành phần dE

�

:vòngdây

E� �dE�

Hình 1.3Hình 1.1 c)

- Tại tâm của vòng dây: M≡O, do tính đối xứng của vòng dây nên các cặpvéctơ cường độ điện trường do cặp phần tử dl nằm đối xứng nhau qua O gây

ra cùng phương ngược chiều nên tổng của chúng bằng 0

- Tại M, ta phân tích dE

�

thành 2 thành phần dE�1 và dE�2dọc theo 2 phươngvuông góc và song song với mặt phẳng vòng dây Các thành phần song song2

dE� có tổng bằng 0 do tính đối xứng của vòng dây Vậy:

- Công của lực tĩnh điện là dịch chuyển q từ C đến D trong điện trường gây rabởi Q1 và Q2:

Đáp số:

1 1 1

Đáp số: v=1,59.106m/s

Bài 5.

Tại 3 đỉnh A, B, C của một hình tam giác người ta đặt các điện tích q1=3.10-8C,

q2=5.10-8C, q3=-10.10-8C Cho biết AB=4cm, AC=3cm, BC=5cm Tìm lực tổng hợptác dụng lên điện tích đặt tại A, cho rằng các điện tích này dặt trong không khí

E 3.10 (V / m)

sin 0,178

5 C

F  5,75.10 (N)Bài 8

Trên hình (1.8’) AA’ là một mặt phẳng vô hạn mang điện đều

với mật độ điện tích mặt là σ=4.10-9C/m2, B là quả cầu mang

điện q=10-9C khối lượng là m=1g Hỏi sợi dây treo quả cầu

lệch một góc bao nhiêu so với mặt phẳng?

Bài 9

Một thanh kim loại mảnh mang điện tích q=2.10-7C Xác định

cường độ điện trường tại một điểm nằm cách hai đầu thanh

khoảng R=300cm và cách trung điểm của thanh khoảng

R0=10cm

Bài 10

Một hat bụi có điện tích q2=-1,7.10-16C ở cách một dây dẫn

thẳng một khoảng 0,4cm gần đường trung trực của dây dẫn

ấy chiều dài của dây dẫn là l=150cm mang điện tích q1=2.10

-7C Xác định lực tác dụng lên hạt bụi, giả thiết q1 phân bố

đều trên sợi dây và q2 không ảnh hưởng tới sự phân bố đó

Đáp số: F=1,02.10-10 (N)

Bài 11

Cho hai điện tích điểm q1=2.10-6 C và q2=-10-6C đặt cách nhau 10cm Tính công củalực tĩnh điện khi điện tích q2 dịch chuyển trên đường nối hai điện tích ra xa thêm90cm

7

Hình 1.8’

Tính điện thế tại một điểm trên trục của đĩa tròn mang điện đều bán kính R và cáchtâm đĩa đoạn h, cho mật độ điện mặt của đĩa là σ.

Đáp số:

2 2 M

0

V 2( R h h)4

Đáp số: σ=8,86.10-8 (C/m2)

U=50 (V) Bài 15

Tại hai đỉnh C D của một hình chữ nhật ABCD người ta đặt hai điện tích điểm q1= 3.10-8C và q2=3.10-8C Tính hiệu điện thế giữa A và B, cho AB=4m, CB=3m

 

và rút ra hệ thức khốilượng

2 2 0

- Khi 2 cầu đặt trong không khí: tương tự bài 1

- Khi nhúng 2 cầu trong dầu, ngoài các lực như trên mỗi quả cầu còn chịu tácdụng của lực đẩy Acsimet P'

�

cùng phương ngược chiều P

�

làm cho trọng lựcbiểu kiến có độ lớn P-P’ =mg-ρ’Vg=(ρ-ρ’)Vg

Hình 1.1’

- Lực tĩnh điện trong môi trường có ε=2: F'�,

2 2 0

Góc giữa hai sợi dây trong 2 trường

hợp bằng nhau nên ta lập được hai

biểu thức + trong không khí:

Ftg

P

 

+ trong dầu:

F'tg

- Cuối cùng ta được:

1 1 1

- F=Fht→

2 0

là cường độ điện trường do chúng gây ra tại A

- Theo nguyên lý chồng chất điện trường: E E� �12E�13

- E�12và E�13 vuông góc với nhau nên 2 2

� �



� theo nguyên lý chồng chất điệntrường đối với hệ điện tích phân bố liên tục,

ta chia vòng xuyến thành từng phần nhỏ có

điện tích dq coi như điện tích điểm, gây ra

véctơ cường độ điện trường dE

� tại O,

2 0

Vòng xuyến gây ra điện trường tại O: dây

E� �dE�

- Chiếu dE

� lên hai phương Ox và Oy, ta được 2 thành phần dE�x và dE�y

- Do vòng xuyến đối xứng với nhau qua trục Oy nên các yếu tố dq nằm đốixứng gây ra điện trường có thành phần dọc theo trục Ox dE�x triệt tiêu nhau,cuối cùng véc tơ E

- dq là điện tích của phần cung có độ dài dl: dq =λ dl = λ r0 dα, λ =Q/πr0 là mật

độ điện dài của vòng xuyến

- Áp dụng nguyên lý chồng chất điện trường, điện trường tại một điểm nào đó

bằng tổng điện trường do mỗi điện tích q1 và q2 sinh ra, E�A E�A1E�A 2, tương

tự với hai điểm B và C

- Hai điểm A và B nằm trên phương M, N nên hai véc tơ cường độ điện trườngthành phần cùng phương và cùng chiều tại A: EA=EA1+EA2, ngược chiều tại B:

EB=|EB1-EB2| E�A ,E�Bnằm trên phương MN.

1

0 MA

q1E

 �  

 

5 5

0,89.10 0,23

0,1781,15.10

- Cầu cân bằng nên: T P F 0

- Do thanh đối xứng với nhau qua trục Ox nên các yếu tố dq nằm đối xứng gây

ra điện trường có thành phần dọc theo trục Oy, dE�y

triệt tiêu nhau, cuối cùngvéc tơ E

- Tính theo phần lý thuyết đối với dây dài

vô hạn, ta thu được kết quả:

0 M

q 1V

4 r



 ,

1 N

0 N

q 1V

- Chia vòng dây thành từng phần nhỏ dl có điện

tích dq gây ra điện thế tại M là 0

dq 1dV

- Điện trường giữa hai mặt phẳng song song

là điện trường đều E=σ/εε0

0 AC

q1V

4 r



 ,

2 A2

0 AD

q1V

0 BC

q1V

3 Điện dung của tụ phẳng

7 Năng lượng điện trường và mật độ năng lượng điện trường

Mật độ năng lượng điện trường:

Cho hai mặt cầu kim loại đồng tâm bán kính R1=4cm và R2=2cm mang điện tích

q1= - 2/3.10-9C và q2=3.10-9C Tính cường độ điện trường và điện thế tại những điểmcách tâm cầu các khoảng 1, 2, 3, 4, 5 cm

- Cường độ điện trường tại mọi điểm bên trong vật dẫn bằng 0, bên ngoài điệntrường tương đương với điện trường gây bởi điện tích điểm có cùng độ lớn

và đặt tại tâm cầu

- A nằm bên trong cả hai quả cầu, EA=0

- B và C nằm trong quả cầu 1 nên EB1=0, EC1=0

9 9

a) Tìm điện dung của tụ?

b) Mật độ điện mặt trên mỗi bản khi tụ được mắc vào một nguồn điện có hiệuđiện thế không đổi là U=300V

c) Cũng các câu hỏi trên, tính cho trường hợp môi trường giữa hai bản tụ là thủytinh có ε=6?

Mật độ điện mặt trên mỗi bản: σ=Q/S=1,77.10-6/1=1,77.10-6 (C/m2)

c) Khi tụ đặt trong không khí điện dung của tụ C, trong điện môi có hằng số ε’điện dung của tụ là C: C’=ε’C=6 5,9.10-9=35,4.10-9 (F)

Do C tăng lên ε’ lần nên σ=Q/S = C.U/S cũng tăng ε’ lần:

Hai quả cầu có bán kính và khối lượng như nhau R=1cm và m=4.10-5kg được treo ởhai đầu sợi dây có chiều dài bằng nhau sao cho mặt ngoài của chúng tiếp xúc vớinhau Sau khi truyền điện tích cho mỗi quả cầu, chúng đẩy nhau và dây treo lệchmột góc nào đó so với phương thẳng đứng Sức căng của dây khi đó là T=4,9.10-4N.Tính điện thế của quả cầu mang điện này biết rằng khoảng cách từ điểm treo đếntâm cầu là l=10cm Các quả cầu đặt trong không khí

Đáp số: VA=16605(Vs)

Bài 3

Hai quả cầu bằng kim loại bán kính 5 và 8 cm được nối với nhau bằng một sợi dâykim loại có điện dung không đáng kể, điện tích của hai quả cầu là Q=13.10-8C Tínhđiện thế và điện tích của mỗi quả cầu?

q1=5.10-8 (C)

q2=8.10-8 (C)Bài 4

Cho một tụ điện hình trụ bán kính hai bản là R1=1,5cm và R2=3,5cm Hiệu điện thếgiữa hai bản là U0=2300V Tính vận tốc của electron chuyển động dọc theo đườngsức của điện trường từ khoảng cách 2,5 cm đến 3cm nếu vận tốc ban đầu của nóbằng 0

Đáp số: v=1,32.107 (m/s)

Bài 5

19

Một tụ điện có điện dung C=2μF được tích một điện lượng q=10-3 C Sau đó các bảncủa tụ được nối với nhau bằng một sợi dây dẫn tìm nhiệt lượng tỏa ra trong dây dẫnkhi tụ phóng điện và hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện trước khi phóng điện?

11

0 1

q 1V

- Các lực tác dụng lên 2 quả cầu khi mỗi quả được tích điện tích q: trọng lực P�

1qEdx mv

dx

 

0 2 0

1

UR

2 l

1

U 1

q dx mv

R 2xln

- Hiệu điện thế giữa hai bản tụ: U=q/C

- Khi hai bản tụ được nối với nhau thì tụ phóng điên, năng lượng của tụ đượcgiải phóng dưới dạng nhiệt trên dây dẫn:

Q=Wtụ=1/2C.U2=1/2q2/C

Bài 6

Cho U1=100V, U2=-50V

C1=2μF, C2=0,5μF

Tìm nhiệt lượng tỏa ra Q=?

- Nhiệt lượng tỏa ra trên bộ tụ bằng độ biến thiên

năng lượng của chúng giữa hai thời điểm trước và

sau khi nối các bản tụ với nhau: Q=∆Wtụ

- Trước khi nối:

3

Idl rdB

i 1 (C)

Cho hai dòng điện thẳng dài vô hạn có cường

độ dòng điện là I1=I2=5A được đặt vuông góc

với nhau và cách nhau một đoạn AB=2cm,

- Dùng quy tắc bàn tay phải để xác định phương chiều của B�1và B�2, hình vẽ.

Do hai véc tơ cảm ứng từ vuông góc với nhau nên B B12B22

o 1 1

AM

IB

BM

IB



- B�hợp với phương B�2(I

2) góc α, tgα=B1/B2=RBM/RAM =3→α=71,560.Bài 2

Một dây dẫn được uốn thành hình tam giác đều cạnh a=50cm, trong dây dẫn códòng điện I=3,14A Tìm cường độ từ trường tại tâm của tam giác đó?

Bài giải:

Cho a=50cm

I=3,14A

Tìm từ trường tại O?

- Theo nguyên lý chồng chất từ trường, từ trường

tại O là tổng của từ trường do 3 cạnh của tam

giác gây ra, B B B� �1 �2B�3, phương chiều của

25

Hình 4.1

Hình 4.2

3 vec tơ cảm ứng từ được xác định theo quy tắc bàn tay phải, chúng có cùngphương chiều nên B=B1+B2+B3, B

�

vuông góc với mặt phẳng hình vẽ vàhướng từ ngoài vào trong

Mỗi cạnh của tam giác là một dòng điện hữu hạn, O cách đều 3 cạnh nên

5

7 o

Bài giải

Cho I, R

Tìm H

�

ại M và N ở trong và ngoài dây dẫn?

- Khi tìm từ trường các dòng điện đơn giản, ta thường dùng định luật Laplatx và nguyên lý chồng chất từ trường tuy nhiên đối với các dòng điệnphác tạp như bài này, định lý Ampe về dòng toàn phần lại có hiệu quả hơn:

Biô-Xava-n i

i 1 (C)

là tổng đại số các dòng điện đi xuyên qua (c), chính bằng phần dòng điện

Ir chạy trong hình trụ tiết diện (S) giới

IrH

Một khung dây phẳng diện tích 16cm2 quay trong một từ trường đều với vận tốc góc

2 vòng /s, trục quay nằm trong mặt phẳng của khung và vuông góc với các đườngsức từ trường Cường độ từ trường bằng H=7,96.104A/m.Tìm

a) Sự phụ thuộc của từ thông gửi qua khung dây theo thời gian?

b) Giá trị lớn nhất của từ thông đó?

Khi khung quay quanh trục ∆, góc α hợp

bởi pháp tuyến của khung với H

�thay đổi,α=ωt

Một khung dây hình vuông mỗi cạnh l=2cm được đặt

gần dòng điện thẳng dài vô hạn AB cường độ I=30A

Khung dây và dòng điện được đặt đồng phẳng cạnh

của khung song song với dây AB và cách dây đoạn

r=1cm Tính từ thông gửi qua khung dây?

Bài giải

I=30A

r=1cm

Tìm từ thông gửi qua khung?

- Ta chia nhỏ khung thành những hình chữ nhật có điện tích dS=l.dx, từ thônggửi qua dS là d m B.dS.cos , từ thông gửi qua khung m (S) m

- B�là từ trường do dòng điện I sinh ra tại vị trí diện tích dS, có phương vuônggóc với mặt phẳng khung và hướng vào trong, do đó cosα=1 (α=0),

IoB

Từ lực tác dụng lên dây dẫn là lực Ampe F�A I�l B��, có

phương chiều được xác định theo quy tắc bàn tay trái,

- Từ lực tác dụng lên khung chính là lực Ampe

do từ trường I1 sinh ra tác dụng lên bốn cạnh

của khung I2

F F F F F�   � � � �

- Từ trường do I1 sinh ra có phương chiều được

xác định theo quy tắc bàn tay phải, vuông góc

với mặt phẳng khung và hướng vào trong, độ

lớn:

o 1IB

và cùng độ lớn, F F�2 �4  Từ lực tác dụn lên hai cạnh 1 và 3 cùng phương0ngược chiều F F F�  , F=|F�1 �3 1-F3|=F1-F3

Từ trường tại cạnh 1:

o 1 o 1 1

1

I IB

Một vòng dây dẫn tròn bán kính R=2cm trên

có dòng điện I=2A chạy qua được đặt sao cho

mặt phẳng của vòng dây vuông góc với

đường sức từ trường có cảm ứng từ B=0,2T

Hỏi công phải tốn để quay vòng dây trở về vị

trí song song với đường sức từ trường

a) Bán kính quỹ đạo của electron

b) Chu kỳ quay của electron trên quỹ đạo?

c) Môment động lượng của ectron trên quỹ đạo?

29

Hình 4.8

F� q v B�� có phương vuông góc với (� B,v� �)

nên đóng vai trò lực hướng tâm:

L ht

F� F� làm electron chuyển động trên quỹ

đạo tròn bán kính R

2v

e B



(α=π/2)Electron được tăng tốc trong điện trường nên động năng của nó bằng nănglượng của điện trường:

21

Trên hình biểu diễn tiết diện của ba dòng điện thẳng song song dài vô hạn, cường

độ các dòng điện lần lượt bằng I1=I2=I, I3=2I, AB=BC=5cm

Tìm trên AC điểm có cường độ từ trường tổng hợp bằng 0

Hình 4.9

Bài 2.

Một dây dẫn được uốn thành hình chữ nhật có các cạnh a=16 cm, b=30cm, có dòngđiện cường độ I=6A chạy qua Xác định véc tơ cường độ từ trường tại tâm củakhung dây

a) Tại tâm của vòng dây

b) Tại một điểm trên trục của vòng dây và cách tâm một đoạn h=10cm

Đáp số: BO 6,28.10 (T)6

6 M

B 2,22.10 (T)Bài 6

Người ta nối hai điểm A, B của một vòng dây dẫn hình tròn với hai cực của nguồnđiện Phương của các dây dẫn đi qua tâm của vòng dây chiều dài của chúng coi như

vô cùng Xác định cường độ từ trường tại tâm của vòng dây

Bài 7

Một dòng điện I=5A chạy qua dây dẫn đặc hình trụ bán kính tiết diện thẳng góc củadòng điện là R=2cm Tìm cường độ từ trường tại M1 và M2 cách trục của dòng điệnkhoảng r1=1cm và r2=5cm

Đáp số: HM120(A / m)

M2

H 15,9(A / m)Bài 8

Một thanh kim loại dài l=1m quay trong từ trường đều có cảm ứng từ B=0,05T Trụcquay vuông góc với thanh đi qua một đầu của thanh và song song với đường sức từtrường Tìm từ thông quét bởi thanh sau một vòng quay?

Bài 9

31

Trong một từ trường đều cảm ứng từ B=0,1T và trong mặt phẳng vuông góc với cácđường sức từ, người ta đặt một dây dẫn uốn thành nửa vòng tròn, dây dẫn có chiềudài s=63cm và cường độ dòng điện I=20A chạy qua Tìm lực tác dụng của từ trườnglên dây dẫn?

Bài 10

Cạnh một dây dẫn thẳng dài có dòng điện cường độ I1=30A chạy qua, người ta đặtmột khung dây dẫn hình vuông cạnh a=20mm, có dòng điện I2=2A, khung và dâyđồng phẳng, cạnh của khung song song với dây Khung có thể quay quanh trục điqua tâm và song song với dây dẫn cách dây khoảng b=30mm Tìm

a) Tực tác dụng lên khung

b) Công cần thiết để quay khung 1800 quanh trục của nó?

Đáp số: a) F 6.10 (N) 6

b) A=3,33.10-7 (J)Bài 11

Một electron bay vào một từ trường đều cảm ứng từ B =10-3 T theo phương vuônggóc với đường sức từ trường với vận tốc v=4.107 m/s Tìm gia tốc tiếp tuyến và giatốc pháp tuyến của electron?

b) Bán kính quỹ đạo của hạt

c) Chu kỳ quay trên quỹ đạo của hạt?

Đáp số: a) R 3,2(cm)

b) FL 5.10 (N)15c) T 1,3.10 (s) 6Bài 13

Một elctron được gia tốc bằng hiệu điện thế U=6000V bay ào một từ trường đều cócảm ứng từ B=1,3.10-2 T Hướng bay của electron hợp với đường sức từ trường gócα=300, quỹ đạo của electron khi đó là một đường xoắn ốc Tìm

a) Bán kính của một vòng xoắn ốc?

b) Bước của một đường định ốc?

b) h 10,9.10 (m) 2Bài 14

Một electron có năng lượng W=103eV bay vào một điện trường đều có cường độđiện trường E=800V/m theo hướng vuông góc với đường sức của điện trường Phảiđặt một từ trường có phương chiều và độ lớn như thế nào để electron chuyển độngkhông bị lệch hướng?