bài giảng lý thuyết môn xác suất thống kê

bài giảng lý thuyết môn xác suất thống kê

§1 XÁC SUÁT

1 Hiện tượng ngẫu nhiên và phép thử

Hiện tượng ngẫu nhiên: gieo một con xúc xắc Phép thử (ngẫu nhiên): thực hiện thí nghiệm một hiện tượng nào đó

ngẫu nhiên

Biên cô ngẫu nhiên: là sự kiện nào đó (xảy ra hay không xảy ra)

trong một phép thử

Biến cố Ø (không bao giờ xảy ra) và biễn cô O (chắc chắn)

Ví dụ: Phép thử gieo một con xúc xắc, có thê có các biến cố:

- X.: "xuất hiện mặt k chắm” (k = 1, 2, , 6)

X : “xuất hiện mặt có s6 cham chan”

X.: “xuất hiện mặt có số châm lẻ”

K.:“xuất hiện mặt có s6 cham khéng chan”

§1 XÁC SUÁT

2 Quan hệ giữa các biến cố

Cho A và B là 2 biến cô của cùng một phép thử

A thuận lợi (kéo theo) đôi với B, kí hiệu A c B nếu A xuất hiện thì B cũng xuât hiện trong cùng một phép thử

A đồng nhất B, kí hiệu A = B, nêu A và B là thuận lợi đối với nhau trong cùng một phép thử

A đối lập B, kí hiệu A =!B, nêu A xuất hiện khi và chỉ khi B không xuất

hiện (IB nghĩa là không (xảy ra) Bì)

A đồng khả năng với B, nếu trong cùng một phép thử không có biến cô

nào được ưu tiên hơn biên cô B

§1 XÁC SUÁT

2 Quan hệ giữa các biến cố (tiếp)

Ví dụ

= Trong phép thử tung đồng tiền

= S = “xuất hiện mat sap”

“" N= “xuất hiện mặt ngửa”

» Taco

m S=ÌN

" N=l!S

= Ø thuận lợi đối với mọi biến cô

= Moi bién cố đều thuận lợi đối với biễn cố chắc chẵn

§1 XÁC SUÁT

3 Các phép toán trên các biến cô

Cho A và B là 2 biên cô của cùng một phép thử

" Hợp C=Av/:B © ít nhất một trong hai A hoặc B xuát hiện

= Néu A =!B thi ta viétC =A UB thanh C =A + B (gọi là Tổng 2

“Trong mọi phép thử bất kì ta luôn có

“ ArIlA= Ø;A+IA=O; Ví dụ A, +!A,=©

A và B xung khắc ® A¬B= Ø

§1 XÁC SUÁT

3 Các phép toán trên các biến cô (tiếp)

" Định nghĩa: A là biến cô sơ cấp (hay cơ bản) nêu A= BC thì

hoặc A = B hoặc A = C

" Định nghĩa: Cho A,, A., , A, là các biên cỗ của một phép thử

Ta nói rằng chúng lập thành một hệ đây đủ, kí hiệu là H, nêu:

° (¡) Chúng đôi một xung khắc A;¬ A,= Ø

°© (ii) Tổng của chúng là cả không gian: A; + A;+ + A.=O

= Néu các biên cô A, (k=1, 2, ., n) là các biên cỗ sơ cập thì họ n

biên cô đó gọi là không gian các biên cô sơ câp

Ví dụ: Trong phép thử gieo xúc xắc

" Ho {X,, X,,X3,X4, Xs, Xe} tao thanh không gian các biên cô sơ

cap

§1 XÁC SUÁT

4 Định nghĩa xác xuất cô điền

=" Xác xuất của một biên cô chỉ khả năng xuất hiện một biên cô nào

đó

" Định nghĩa: B,, B., , B, là một hệ đây đủ các biên cô đồng khả

năng trong một phép thử và A là một biên cô trong phép thử đó Giả

sử trong hệ đó có k biên thuận lợi đối với A, tức là:

" A=B,+B,+ +B, vớin, e[1 n|

"Ta gọi tỉ số P(A) = k/n là xác xuất của biễn cỗ A

= Hé qua: P( @) = 0: P(Q)=1, 0 < P(A) <1

Ví dụ 1: Trong phép thử tung đồng tiền

= Hé day di laH ={S,N}

= P(S) = 1/2 = 0.5 va P(N) = 1/2 = 0.5

§1 XÁC SUÁT

4 Định nghĩa xác xuất cô điền (tiếp 1)

= P(A) = s6 kha nang thuan loi cho A / tổng số khả năng

Ví dụ 2: Trong phép thử tung 2 đồng tiên, tìm xác suất dé

= a) Ca 2 đồng tiền đều xuất hiện mat sap

= b) Co it nhat mét déng xuat hién mat sap

§1 XÁC SUÁT

4 Định nghĩa xác xuất cô điền (tiếp 2)

= P(A) = s6 kha nang thuan loi cho A / tổng số khả năng

Ví dụ 3: Trong phép thử gieo xúc xắc, tìm xác suất để xuất hiện mặt

sáu châm; xác xuat xuât hiện mặt có sô châm lẻ

Giải

" H={X,,X;, X;, X¿, X;, Xe}

“ Gọi A = “xuất hiện mặt 6 cham” > A = X,

"Gọi B = “xuất hiện mặt có số châm lẻ” > B = {X,, X;, X,}

P(A) = 1/6 x 0.17; P(B) = 3/6 = 0.5

Tương tự ta cũng co P(X,) = 0.17

§1 XÁC SUÁT

4 Định nghĩa xác xuất cô điền (tiếp 3)

= P(A) = số khả năng thuận lợi cho A / tổng số khả năng

Ví dụ 4:

» pau hoa vang co cap gien troi AA; Dau hoa trang có cặp gien lặn aa

= Khi dem lai hai cây đậu hoa vàng và hoa trang dé sinh ra thế hệ F1, rồi

lai hai cây đậu ở thế hệ F1 với nhau đề sinh ra thé hệ F2 Tính xác xuất

để cây đậu ở thế hệ F2 có hoa vàng?

Giải

= -Lai cay dau hoa vàng với cây đậu hoa trắng ta được các cây đậu ở thế

hệ F1 mang cặp gien kiêu hoa vàng Aa

= - Đem lai hai cây đậu ở thể hệ F1 thì ở thê hệ F2 ta được các cây đậu có

4 kiểu gien: AA, Aa, aA, aa (gien đầu của bố, gien sau của mẹ)

= - Goi X = “kiểu hình hoa vàng ở thế hệ F2” ta có

P(A+B) = P(A) + P(B) ; Nếu A c B thì P(A) < P(B)

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A¬B)

P(A) = 1— P(A)

Ví dụ 4:

= Trong ki thi qui định “điểm giỏi” là điểm trên 8 (không cho điểm thập

phân) Một học sinh vào thi, A là sự kiện “đạt điểm 10”, B là sự kiện “đạt

điểm 9” Giả sử với em đó, xác xuất p(A) = 0.3, p(B) = 0.4

=_ Gọi C là sự kiện “đạt điểm giỏi”, ta có

“_ p(C) = P(ALJB) = P(A) + P(B) - P(A¬B) = 0.3 + 0.4— 0 = 0.7

§1 XÁC SUÁT

5 Định nghĩa xác xuất theo phương pháp thống kê

" Định nghĩa:

° Nếu lặp lại n lần một phép thử ta thây biên cô A xuất hiện k

lần Ta gọi tỉ số k/n là xác xuất của biên cô A

°- Bằng thực nghiệm ta thây rằng nêu n thay đổi thì tân xuất k/n cũng thay đỗi nhưng luôn dao động quanh một số cô

định nào đó Ta gọi số cô định này là xác xuất của biên cô

A theo nghĩa thông kê, kí hiệu là P(A)

Ví dụ:

“Trong nhiều phép thử tung đồng tiền ta thây P(S) = 0.5

= Trong cac phép thử gieo xúc xắc ta thấy P(X,) ~ 0.17

§2 THONG KE

1 Mục đích, nhiệm vụ và đối tượng của thống kê

= Nhiém vu thong kê: Phản ánh về lượng của các hiện tượng kinh tế,

chính trị, xã hội; Cung cấp dữ liệu có tính hệ thống để XD các chiến lược,

kế sách, chương trình phát triển kinh tế - xã hội

" Đối tượng: Thông kê là khoa học nghiên cứu các phương pháp thu thập,

xử lí và phân tích dữ liệu (mặt lượng) của những hiện tượng nhằm tìm

hiểu bản chất và tính qui luật nội tại của chúng (mặt chất) trong các điều

kiện về không gian và thời gian xác định

"Các hiện tượng nghiên cứu thông kê về kinh tế xã hội

° Về quá trình sản xuất, phân phối, sử dụng

° Về dân số, tăng trưởng, phân bố

° Về đời sống: mức sống, trình độ văn hóa, bảo hiểm xã hội

§2 THONG KE

2 Cac khái niệm

Tổng thể thống kê là một tập tất cả các đối tượng hay cá thể của hiện tượng trong phạm vị nghiên cứu, được quan sát và phân tích Ví dụ:

Toàn bộ SV ở các trường ĐH giai đoạn 2008 - 2010 Đơn vị tổng thể là cá thễ của tổng thể thống kê Do đó đơn vị tổng thé

có thể là người, vật, yêu tô, hiện tượng Tiêu thức thống kê: Là các thuộc tính (đặc điểm) của các đơn vị tổng thé ma ta can quan tâm nghiên cứu

Tiêu thức thuộc tính : Là dạng dữ liệu định tính của tiêu thức thống kê

Ví dụ Giới tính (nam, nữ); Hình thức sở hữu (nhà nước, tập thê, tư nhân)

Tiêu thức số lượng: Là dạng dữ liệu số của tiêu thức thống kê Ví dụ Chiều cao, trọng lượng, mức lương

§2 THONG KE

2 Cac khái niệm

" Chi tiéu théng ké la biéu thi vé mat lvong trong mdi quan hệ về mặt

chất của hiện tượng nghiên cứu trong điều kiện không gian, thời gian xác định Chỉ tiêu thông kê gồm:

‹ Khái niệm gồm định nghĩa, giới hạn thực thể, không gian, thời

gian của hiện tượng nghiên cứu Nó biểu thị nội dung của chỉ tiêu

thống kê

* Con so biéu thị mức độ của chỉ tiêu thống kê

Ví dụ: Lượng khách bình quân một tháng tại khách sạn Hồng hà năm 2010

là 1500 người

ÖỔ Khái niệm = Lượng khách bình quân một tháng tại khách sạn Hồng hà năm 2010

- Con số = 1500

§2 THONG KE

2 Cac khai niem

" Chi tiéu so luong: Biéu thị qui mô của hiện tượng nghiên cứu Ví

dụ số sinh viên ĐH và CĐ; tông nhân khẩu; tổng thu nhập quốc

dân

" Chi tiêu chất lượng: Biêu thị trình độ phổ biên Ví dụ mức lương

một nhân viên, năng suất lao động; giá thành đơn vị sản phẩm

§3 BẢNG PHẦN PHÓI TẢN SÓ

1 Bảng phân phối thực nghiệm

" Dãy sô thông kê rất lớn, không đủ điều kiện xử lí, nên chỉ chọn

một phần của quân thê vô hạn gọi là mẫu đại diện (dãy thông kê

hữu hạn)

" Các mẫu được chọn gọi là biến x Biên x được biên đổi trong

khoảng quan sát

= Vi du: Xét chiéu cao của HS 11 (quân thể) Một ví dụ về mẫu hay

biên x là chiều cao của HS mà ta đo được là 1.61, 1.64, 1.65,

1.66, 1.71, 1.73,

§3 BẢNG PHẦN PHÓI TẢN SÓ

1 Bảng phân phối thực nghiệm (tiếp)

=" Từ mẫu ta có bảng sau đây, gọi là bảng phân phối thực nghiệm:

= Vi du ta thay có một số HS 11 có chiều cao

chiều cao 1.50 Khi đó ta nói 7 là tần suất

k Xo F;

tuyệt đôi, kí hiệu là F

7 Tổng quát, khi quan sát một đại lượng x nào

đó, ta nhận được k giả tri phan biét x,, X5, .,

đôi tương ứng là F,, F›, ., F„ Khi đó bảng

phân phối thực nghiệm như sau:

Xk F,

§3 BANG PHAN PHOI TAN SO

3 Tan suat quan hé (tan suat)

thực nghiệm

số giữa tần suất thuyệt đối F và tổng

§3 BẢNG PHẦN PHÓI TẢN SÓ

3 Tân suất quan hệ

= Két quả điều tra số trẻ em từ 7 đến 14 tuổi

14 4 14 0.08 14 8%

§3 BẢNG PHẦN PHÓI TẢN SÓ

4 Tân suất tuyệt đối hội tụ

=m Xét mẫu điều tra số trẻ em từ 7 đến 14 tuôi

§3 BANG PHAN PHOI TAN SO

Tân suất hội tụ lùi FL(xs x,)

§3 BANG PHAN PHOI TAN SO

Bảng tân suất tuyệt đối hội tụ lùi và tiễn; tân suất quan hệ lùi và tiễn

§3 BANG PHAN PHOI TAN SO

5 Bảng phân phối tần suất ghép

lớp

Ví dụ: Có 200 người đăng ki di

chuyên máy bay 14h ngày

1/5/2009 Hà nội — Paris, người

ta ghi được thông tin như 3

13 0

14 6

15 6 l6 |

17 0 L§ 3

§3 BANG PHAN PHOI TAN SO

5 Bảng phân phối tân suất ghép lớp

Phân lớp theo độ tuôi > Phân lớp theo khoảng

20 —29 30— 39

§3 BANG PHAN PHOI TAN SO

6 Khoang va bién do

a) Khoang va gioi han cua khoang: Khoang la đoạn hay nửa đoạn hay khoảng cua mot lớp

Ví dụ: [10, 20) là nửa đoạn theo lớp “tuổi”

x c [10, 20) > 10 là giới hạn dưới của lớp; 20 là giới hạn trên của lớp

b) Biên độ: Là khoảng cách giữa hai giới hạn

Ví dụ: (10, 20) có khoảng cách 20-10 = 10

c) Điểm giữa của lớp: là giá trị trung bình cộng của hai giới hạn của khoảng

Ví dụ xét lớp 10 < x s 30 > Điểm giữa x, = (10+30)/2 = 25

§3 BANG PHAN PHOI TAN SO

7 Đô thị biểu diễn đường phân phối tan suất (Biểu đồ tổ chức)

„ Chia các khoảng = các biên độ trên trục hoành

= Dựng các đoạn song song với trục tung tại các điểm giữa trên trục hoành và

cao bang tan suat

= Đường gấy khúc thu được là đường phân phối của tân suất (tuyệt đỗi hay quan

hệ tương ứng)

a) Biêu đồ tổ chức phân phối tân suất tuyệt đối

Khoảng (biên độ) bằng nhau

§3 BANG PHAN PHOI TAN SO

7 Đô thi biéu dién dwong phân phối tân suất (Biểu đồ tổ chức)

a) Biêu đồ tổ chức phân phối tân suất tuyệt đối

Khoảng (biên độ) khác nhau -> cân sửa

Cần sửa lại tần suất để các

lớp có cùng biên độ: Lây tân suat chia cho so lan gap

so với biên độ nhỏ nhất đề được tân suât mới

Cách vẽ đồ thị như cũ, tức là các cột xuất phát từ các

điểm giữa các khoảng,

nhưng độ cao của các cột

tuân theo tuần suất mới

§3 BANG PHAN PHOI TAN SO

7 Đô thị biểu diễn đường phân phối tan suất (Biểu đồ tổ chức)

b) Biêu đồ tô chức phân phối tân suất quan hệ

> Fi= 600 > Fi= 600 y fiz!

Vi du: Cho bang phan tan

xí nghiệp 600 nhân viên _ IN

Hay xac dinh biểu đồ tổ

chức của tân suât

0.2

§3 BANG PHAN PHOI TAN SO

7 D6 thi biéu dién dwong phân phối tan suat (Biéu đô tổ chức của tân suất) c) Biêu đồ tô chức phân phối tan suat hdi tu

Cho bảng phân phối tân suất

Ta cần lập bảng phân phối tần suất tuyệt đối và tan

suat quan hệ lùi và tiên đê vẽ các biêu đô

Biểu đỗ tổ chức của tần suất

tuyệt đối hội tụ lùi

Mm TY II II oO ©

Biểu đỗ tổ chức của tần suất

tuyệt đôi hội tụ tiên

§3 BANG PHAN PHOI TAN SO

8 Biểu diễn đồ thị theo các dạng khác

Đồ thị hình tròn

Nguyện vọng Số lượng Nguyện vong Số lượng

TY lệ % Goc

- Sinh hai con dd trai hay gai — - Sinh hai con đù trai hay gãi 73.400 52.33% 92.33 x 3.6 = 188,388

~ Sint mys ron Ö.ĨĂẶa ảd 10.750 - Sinh mot con trai hoac gal 10.780 7,69% 7,69 X 3,6 = 27,684

- Sinh con phải có con trai 36.050 - Sinh con phải có con trai 56.080 39,98% 39.98 x 3.6 = 143,928

§3 BANG PHAN PHOI TAN SO

9 Qui định sự tăng trưởng dân số

Giả sử dân số tại thời điểm (năm) tạ là P,

Và giả sử dân số tăng mỗi năm so với năm trước là ¡ lần (ta nói rằng dân số

tăng theo qui luật sô mũ)

Khi đó, dân số các năm tiếp theo là:

P,=P,+i*P,=P,(1+ij); P;=P,+i*P,=P, (1+i)=P,(14i2;

P_., =P, + *P,= P,(1+i)

Ví dụ: Một xí nghiệp có 240 người Số người sẽ tăng 40% trong 10 năm

Hãy xác định dân số sau 10 năm

Giải: Tăng 40% trong 10 năm nên mỗi năm tăng 0.04% Giả sử đang là

năm thứ nhất: P, = 240, theo yêu câu bài toán ta cân xác định P,

Theo qui luật số mũ thì P„„ = P„(1+i)19 = 240(1+0.04)19 = 240 * 1.0419 =

240 ” 1.48024 = 115 (người)

§4 CAC THAM SO THONG KE

1 Các tham số đo giá trị trung tâm

1.1 Trung bình cộng

Vi du thong ké diém cua

§4 CAC THAM SO THONG KE

1 Các tham số đo giá trị trung tâm

1.1 Trung bình cộng

Ví dụ 2: Chọn 300 cháu mẫu giáo, mỗi

cháu nhanh tay nhặt ra các viên bị màu

từ hộp của mình

Sau 2 phút, kết quả phân lớp theo số bị

nhặt được như bảng bên:

Vay trung binh sau 2

phut cac chau nhat duoc

74 vién bi