Bài giảng Xác suất thống kê_Chương 5+6: Phân phối mẫu và ước lượng tham số thống kê

Giáo trình xác suất thống kê, bài tập xác suất thống kê, xác suất thống kê và ứng dụng thực tế. Những dạng bài tập cơ bản trong xác suất thống kê, xác suất thống kê, những bài toán hay xác suất thống kê

CHƯƠNG 5& 6

PHÂN PHỐI MẪU

và ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ

2

NỘI DUNG CHÍNH

ƒ Giới thiệu vấn đề lấy mẫu

ƒ Lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản

ƒ Ước lượng điểm

ƒ Giới thiệu phân phối mẫu

ƒ Phân phối mẫu của trung bình mẫu

ƒ Phân phối mẫu của tỉ lệ mẫu

ƒ Các phương pháp lấy mẫu khác

GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ LẤY MẪU

ƒ Một Tổng thể là tập hợp tất cả các phần tử cần quan tâm trong một nghiên cứu

ƒ Một Mẫu là một tập hợp con của tổng thể.

ƒ Mục đích của thống kê suy diễn là thu thập thông tin về tổng thể từ các thông tin có trong mẫu.

GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ LẤY MẪU

Lấy mẫu ngẫu nhiên

p (Tỉ lệ)

Mẫu n s

xp

LẤY MẪU NGẪU NHIÊN ĐƠN GIẢN

ƒ Định nghĩa của mẫu ngẫu nhiên đơn giản và quá trình lựa chọn một mẫu ngẫu nhiên đơn giản tùy thưộc vào tổng thể là hữu hạn hay vô hạn

ƒ Tổng thể hữu hạn thường được định nghĩa bằng một danh sách.

ƒ Tổng thể vô hạn thường được định nghĩa là một quá trình đang diễn ra Các phần tử của tổng thể vô hạn có thể không liệt kê được

LẤY MẪU NGẪU NHIÊN ĐƠN GIẢN

ƒ Lấy mẫu từ tổng thể hữu hạn

• Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản cỡ mẫu n từ tổng thểhữu hạn cỡ N là một mẫu được chọn sao cho mỗimẫu có thể với cỡ mẫu n đều có cùng xác suất đượcchọn

• Số mẫu ngẫu nhiên đơn giản cỡ mẫu n khác nhau từtổng thể hữu hạn cỡ N là:

)!

n N ( n

!

N

−

LẤY MẪU NGẪU NHIÊN ĐƠN GIẢN

ƒ Lấy mẫu từ tổng thể hữu hạn

• Lấy mẫu không thay thế: Khi một phần tử đượcchọn vào mẫu thì nó được lấy ra khỏi tổng thể vàkhông thể được chọn lần thứ hai

• Lấy mẫu có thay thế: Khi một phần tử được chọnvào mẫu thì nó được bỏ trở lại tổng thể Một phần tửđược lựa chọn lần trước thì nó có thể được lựa chọnlần nữa và vì vậy phần tử đó có thể xuất hiện trongmẫu hơn một lần

LẤY MẪU NGẪU NHIÊN ĐƠN GIẢN

ƒ Lấy mẫu từ tổng thể vô hạn

Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản từ một tổng thể

vô hạn là một một được chọn phải thỏa mãn các điều kiện sau:

• Mỗi phần tử được chọn phải đến từ cùng một tổngthể

• Mỗi phần tử được chọn một cách độc lập

10

ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

ƒ Trong Ước lượng điểm chúng ta sử dụng dữ liệu từ mẫu để tính một giá trị của trị thống kê mẫu và dựa vào đó cung cấp một ước lượng về một tham số của tổng thể

ƒ Ước lượng điểm là một trị thống kê mẫu, như là ,

s hay cung cấp ước lượng điểm về tham số của tổng thể, μ, σ và p.

x p

GIỚI THIỆU PHÂN PHỐI MẪU

ƒ Phân phối xác suất của bất kỳ trị thống kê mẫu cụ thể được gọi là phân phối mẫu của trị thống kê

ƒ Phân phối xác suất của được gọi là phân phối mẫu của Kiến thức về phân phối mẫu này và các tính chất của nó sẽ cho phép chúng ta phát biểu về xác suất để cho trung bình của mẫu gần bằng với trung bình của tổng thể μ.

ƒ Trong thực tế, chúng ta chỉ chọn một mẫu ngẫu nhiên đơn giản từ tổng thể

x x

x

PHÂN PHỐI MẪU CỦA

ƒ Phân phối mẫu của

Phân phối mẫu của là phân phối xác suất của tất cả các giá trị có thể của trung bình mẫu

x

aMột tổng thể gồm 7 nhânviên, mức lương của mỗinhân viên như sau:

Tên nhânviên

Mức lươngngày

7

90807080807070

1

=

++++++

μ

N

X

N i i

14

Nếu mẫu n=2 được chọn từ tổng thể 7

Mẫu

Nhân viên

Mức lương TB Mẫu Mẫu

Nhân viên

Mức lương

TB Mẫu

Tổng thể với trung bình μ = ?

Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản với n phần tử được chọn từ tổng thể

Tổng kết của dữ liệu mẫu cung cấp một giá trị trung bình mẫu X

Giá trị được dùng

để suy diễn về giá trị µ X

PHÂN PHỐI MẪU CỦA

ƒ Độ lệch chuẩn của

ƒ Tổng thể vô hạn hay không biết N

ƒ Tổng thể hữu hạn hay biết N

ƒ Với là nhân tố điều chỉnh tổng thể hữu hạn

1N

nNn

−σ

=σ

1N

nN

−

−

• σ được xem như sai số chuẩn của trung bình

x

18

ƒ Phân phối của

• Câu hỏi: Phân phối xác suất của là gì?

ƒ Định lý giới hạn trung tâm

• Phân phối của tổng thể được biết là phân phốichuẩn

ƒ Định lý giới hạn trung tâm

• Trong việc chọn các mẫu ngẫu nhiên đơn giản cỡmẫu n từ một tổng thể, phân phối mẫu của trungbình mẫu có thể gần đúng tuân theo phân phốichuẩn khi cỡ mẫu đủ lớn

• X ~ Bất kỳ phân phối nào

• Không biết phân phốixác suất tổng thể

• Cỡ mẫu lớn(N>30)

x

∼N (μ, σ2/n)X

xx

σ

μ

−

= σ

3 kết luận từ định lý giới hạn trung tâm

ƒ Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn thì trungbình mẫu cũng có phân phối chuẩn, bất chấp cỡmẫu là bao nhiêu

ƒ Với kích thước mẫu đủ lớn (n ≥ 30) thì phân phối củatrung bình mẫu sẽ xấp xỉ phân phối chuẩn bất chấp hìnhdáng phân phối của tổng thể

ƒ Nếu phân phối của tổng thể khá đối xứng, thì phân phốicủa trung bình mẫu sẽ xấp xỉ phân phối chuẩn khi kíchthước mẫu ít nhất là 15

x

22

PHÂN PHỐI MẪU CỦA

ƒ Phân phối mẫu của

Phân phối mẫu của là phân phối xác suất của tất cả các giá trị có thể của tỉ lệ mẫu

ƒ Giá trị kỳ vọng của cũng có thuộc tính không lệch

E( ) = p

p

p p

p p

p

Tổng thể với tỉ lệ p

= ?

Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản với n phần tử được chọn từ tổng thể

Tổng kết của dữ liệu mẫu cung cấp một giá trị trung bình mẫu p

Giá trị được dùng

để suy diễn về giá

trị p p

p

−

= σ

1 N

n N n

) p 1 ( p

−

−

= σ

1 N

n

N

−

−

ƒ Dạng phân phối mẫu của

Phân phối mẫu của có thể gần đúng tuân theo phân phối xác suất chuẩn khi cỡ mẫu lớn

lệ các hộ có hệ thống điện không an toàn trong khoảng từ 25% đến 35%

9164 ,

0

) 4573 ,

0 ( 2 ) 72 , 1 72

, 1 (

) 250

) 30 , 0 1 ( 30 , 0

30 , 0 35 , 0 250

) 30 , 0 1 ( 30 , 0

30 , 0 25 , 0 (

) 35

, 0 25

, 0 (

Z P

P P

P P P

P P

δ

TÍNH CHẤT CỦA ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

Gọi

θ = tham số tổng thể được quan tâm

= trị thống kê mẫu hay ước lượng điểm củaθ

Var ( ) < Var ( )

ƒ Độ nhất quán

Một tính chất của ước lượng điểm được trình bày khi các

cỡ mẫu lớn hơn sẽ cung cấp các ước lượng điểm gầnvới tham số của tổng thể

và sau đó chọn mỗi phần tử thứ k kế tiếp

ƒ Lấy mẫu thuận tiện

Một phương pháp lấy mẫu phi xác suất theo đó cácphần tử được chọn vào mẫu dựa trên cơ sở thuận tiện

CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU KHÁC

ƒ Lấy mẫu phán đoán

Một phương pháp lấy mẫu phi xác suất theo đó cácphần tử được chọn vào mẫu dựa trên sự phán đoán củangười thực hiện nghiên cứu

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ: BIẾT σ

ƒ Ước lượng khoảng là một ước lượng của một tham số của tổng thể theo đó cung cấp một khoảng được tin là sẽ chứa giá trị của tham số

ƒ Trường hợp cỡ mẫu lớn: n ≥ 30

ƒ Trường hợp cỡ mẫu nhỏ: n < 30

TRUNG BÌNH TỔNG THỂ: BIẾT σ

ƒ Biên của sai số là giá trị cộng và trừ vào ước lượng điểm để tạo ra một khoảng tin cậy

ƒ Để tạo ra một khoảng tin cậy của μ, thì cả σ và s phải được sử dụng để tính biên của sai số

34

P( Z > Zα/2) = α/2P( Z < -Zα/2) = α/2P( -Zα/2 < Z < Zα/2) = 1-α

Zα/2: là giá trị của biến phân phối chuẩn chuẩn hóa tương ứng với một diện tích α/2 ở dưới đuôi phía trên của phân phối

α α

1 n

Z

x n

Z x P

1

Z n

/

x Z

P

2 2

2 2

ƒ Tính ước lượng khoảng: biết σ

Với:

• (1-α) là độ tin cậy

• x là ước lượng điểm củaμ

• làbiên của sai số

• Cỡ mẫu lớn (n ≥ 30) Æ dùng công thức này

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ: BIẾT σ

.050 0.25 005

1.645 1.960 2.576

TRUNG BÌNH TỔNG THỂ: BIẾT σ

38

ƒ Tính ước lượng khoảng: biết σ

ƒ Biên của sai sốlà giá trị cộng và trừ vào ước lượngđiểm để tạo ra một khoảng tin cậy

• Khoảng tin cậy: Một khoảng tin cậy 100(1 - α)% đối vớitrung bình của phân phối chuẩn μ là

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ: BIẾT σ

, n

Z

x

2 2

ƒ Nếu không biết σ, độ lệch chuẩn của mẫu s được dùng để ước lượng độ lệch chuẩn của tổng thể σ và khoảng tin cậy thích hợp sẽ dựa trên một phân phối xác suất được gọi là phân phối t

ƒ Trị thống kê t:

n / s

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA

x

t

Phân phối chuẩn chuẩn hóa Z Đường cong t với bậc tự do là 20 Đường cong t với bậc tự do là 10

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA

n

s t

x

2 α

±

TRUNG BÌNH TỔNG THỂ

Có thể giả sử độ lệch chuẩn của tổng thể σ đã biết?

Dùng độ lệch chuẩn của mẫu s để ước lượngσ

n

s t

x ± α/2

n

s t

ƒ Khoảng ước lượng của tỷ lệ p tập hợp chính với độ tin cậy 100(1– α)%, Cỡ mẫu n lớn → chuẩn hóa:

n

P P Z

P P n

P P Z

2 / 2

/

− +

<

<

−

KHOẢNG TIN CẬY CỦA PHƯƠNG SAI

aMẫu n quan sát được chọn ngẫu nhiên từ tổng thể cóphân phối chuẩn

aVới có phân phối với n-1 bậc tự do

2

2 / 1 , 1

2 2

2 2 / , 1

) 1 (

S n S

n

2 1

=26,12, = 5,63

1,7277 < δ < 3,7215

2 025 , 0 , 14

975 , 0 , 14

χ

ƒ Gọi ε = biên của sai số kỳ vọng

ƒ Cỡ mẫu đối với ước lượng khoảng của một trung bình của tổng thể

ƒ Cỡ mẫu đối với không biết σ

ƒ ε còn gọi là sai số ước lượng

2ε

2ε

p ) p ( E

ƒ Xác định cỡ mẫuGọi E = biên của sai số kỳ vọng

( )

2

2E

) p 1 ( p

Z n

n / ) p 1 ( p Z