KIẾN THỨC CƠ BẢN: I... Định nghĩa hàm số lượng giác: 1.. Định nghĩa các hàm số lượng giác: a.. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α... Hàm số lượng giác của các cung góc có
Trang 1GV: Nguyễn Văn Huy ( ĐT: 0909 64 65 97 ) Tài liệu ơn tập chuyên đề lượng giác
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I Đơn vị đo góc và cung:
1 Độ:
Góc 1 0 = 180 1 góc bẹt
2 Radian: (rad)
180 0 = π rad
3 Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Radian 0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
II Góc lượng giác & cung lượng giác:
1 Định nghĩa:
2 Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:
π
π π
π
π
π
π π
k
C
A
k C
k A
+
→
→
+
→
+
→
+
→
→
2
D
B,
k
,
2 2
D
2k
2 2
B
2k
Trang 1
x
y
(tia gốc)
Z) (k 2 )
, (Ox Oy =α+k π ∈
+
t
(tia ngọn)
O
α
.
o
180
O
+
−
x
y
O
B
D
x
y
B
α
(điểm gốc)
+
t
(điểm ngọn)
π
Trang 2III Định nghĩa hàm số lượng giác:
1 Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y'Oy : trục sin ( trục tung )
• t'At : trục tang
• u'Bu : trục cotang
2 Định nghĩa các hàm số lượng giác:
a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Ta định nghĩa:
cos sin
tg cot
OP OQ AT
α α α α
=
=
=
=
b Các tính chất :
• Với mọi α ta có :
1 sinα 1 hay sinα 1
1 cosα 1 hay cosα 1
• tg xác định
2 k
π
• cotg xác định α ∀ ≠α kπ
c Tính tuần hoàn
sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos ( ) cot ( ) cot
k k
(k∈Z)
+
−
x
y
O
B
D
1
1 1
=
R
1
−
1
−
'
x
'
t
't
'
y
'
u
't
t
x u
'
y
'
t
1
−
Q
B
T
α
M
α
A P U
Trục cosin
Trục tang
+
−
Trang 3GV: Nguyễn Văn Huy ( ĐT: 0909 64 65 97 ) Tài liệu ơn tập chuyên đề lượng giác
IV Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
- 3
-1
- 3 /3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x x'
u u'
1
1 -1
-1
-π/2
π
5 /6
3 /4
2 /3
- π /6
- π /4
- π /3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2
- 2 /2
3 /2
2 /2 1/2
A
π /3
π /4
π /6
3 /3
3
B π/2 3 /3 1 3
O
Góc Hslg
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 0
6
π 4
π 3
π 2
π
3
2π
4
3π
6
sinα 0
2
1 2
2 2
2
3
2
2
2
cosα 1
2
3 2
2 2
2
1
−
2
2
−
2
3
tgα 0
3
3
3
cotgα kxđ 3 1
3
3
3
Trang 3
+
−
Trang 4V Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1 Cung đối nhau : và -α α (tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
π
π −
,…)
2 Cung bù nhau : và -α π α ( tổng bằng π) (Vd:
6
5
&
6
π
3 Cung phụ nhau : α và π2 −α
( tổng bằng π2
) (Vd:
3
&
6
π π
,…)
4 Cung hơn kém π2 : và
2
π
α +α (Vd:
3
2
&
6
π
5 Cung hơn kém π : và α π α+ (Vd:
6
7
&
6
π π
,…)
1 Cung đối nhau: 2 Cung bù nhau :
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
− = −
cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot
− = −
3 Cung phụ nhau : 4 Cung hơn kém π2
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
− =
cos( ) sin 2
sin( ) cos 2
( ) 2
cot ( ) t 2
+ = −
+ = −
5 Cung hơn kém π :
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
Đối cos Bù sin
Phụ chéo Hơn kém 2
π
sin bằng cos cos bằng trừ sin
Hơn kém π tang , cotang
Trang 5GV: Nguyễn Văn Huy ( ĐT: 0909 64 65 97 ) Tài liệu ơn tập chuyên đề lượng giác
Ví dụ 1: Tính )
4
11 cos(− π
,
4
21π
tg
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: ) cos(2 ) cos(3 )
2
VI Công thức lượng giác:
1 Các hệ thức cơ bản:
sin
tg =
cos cos cotg =
sin
α α
α α α
α
2
2 2
2
1
1 tg =
cos 1
1 cotg =
sin
tg cotg = 1
α
α α
α
+ +
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1 cos4x+sin4x=1−sin2xcos2x
2 cos6 x+sin6 x=1−3sin2 xcos2 x
2 Công thức cộng :
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos
tg +tg tg( + ) =
tg tg tg( ) =
tg tg
tg tg
α β
α β
α β
α β
−
−
−
+
Ví dụ: Chứng minh rằng:
π
π
1.cos sin 2 cos( )
4 2.cos sin 2 cos( )
4
3 Công thức nhân đôi:
α α
α α
α
= −
=
=
−
2 2
2
cos2 cos sin
2 cos 1
1 2sin cos sin sin 2 2sin cos
2
2 1
tg tg
tg
4 Công thức nhân ba:
Trang 5
2
2 cos 1 cos2α = + α
2
2 cos 1 sin2α = − α
α α
2
1 cos
4
cos 3 3 cos cos3α = α + α
Trang 6cos3 4cos3 3cos3
sin 3 3sin 4sin
5 Công thức hạ bậc:
α
α α
α α
α α
2 cos 1
2 cos 1
; 2
2 cos 1 sin
; 2
2 cos 1
+
−
=
−
=
+
6.Công thức tính sin ,cos ,tg α α α theo
2
2 22 2
1
2
; 1
1 cos
; 1
2 sin
t
t tg
t
t t
t
+
= +
−
= +
7 Công thức biến đổi tích thành tổng :
1 cos cos cos( ) cos( )
2 1 sin sin cos( ) cos( )
2 1 sin cos sin( ) sin( )
2
Ví dụ:
1 Biến đổi thành tổng biểu thức: A=cos5x.cos3x
2 Tính giá trị của biểu thức:
12
7 sin 12
5
=
B
8 Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos 2 cos cos
cos cos 2sin sin
sin sin 2sin cos
sin sin 2 cos sin
sin( ) cos cos sin( ) cos cos
α β
α β
+
−
Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: A=sinx+sin2x+sin 3x
9 Các công thức thường dùng khác:
4
3 sin sin
3 sin3α = α− α
Trang 7GV: Nguyễn Văn Huy ( ĐT: 0909 64 65 97 ) Tài liệu ơn tập chuyên đề lượng giác
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
− = + = − −
8
4 cos 3 5 sin
cos
4
4 cos 3 sin
cos
6 6
4 4
α α
α
α α
α
+
= +
+
=
+
B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I Định lý cơ bản: ( Quan trọng )
u = v+k2 sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2 cosu=cosv
u = -v+k2 tgu=tgv u = v+k (u;v )
2 cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
π π
π
⇔
⇔
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k∈Z)
Ví dụ : Giải phương trình:
1 sin3 sin( 2 )
4
x= π − x 2
4
3 cos ) 4 cos(x−π = π
3 cos3x=sin2x 4 sin4 cos4 1(3 cos6 )
4
II Các phương trình lượng giác cơ bản:
1 Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( ∀m∈R)
* Gpt : sinx = m (1)
• Nếu m >1 thì pt(1) vô nghiệm
• Nếu m ≤1 thì ta đặt m = sinα và ta có (1) sinx=sin x = +k2x = ( - )+k2α π
α
* Gpt : cosx = m (2)
• Nếu m >1 thì pt(2) vô nghiệm
Trang 7
Trang 8• Nếu m ≤1 thì ta đặt m = cosβ và ta có (2) cosx=cos x = +k2x = β+k2π
β
* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm ∀m∈R)
• Đặt m = tgγ thì
(3) ⇔ tgx = tg γ ⇔ x = +kγ π
* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm ∀m∈R)
• Đặt m = cotgδ thì
(4) ⇔ cotgx = cotg δ ⇔ x = +kδ π
Các trường hợp đặc biệt:
sin 1 x = 2
2 sinx = 0 x = k sin 1 x = 2
2 cos 1 x = 2 cosx = 0 x = + k
2 cos 1 x = 2
π
π
⇔
⇔
Ví dụ:
1) Giải các phương trình :
a) sin2 =1
2
x b) cos( ) 2
x−π = − c) ) 3 0
6 2 sin(
2 x−π + = d) ) 3 0
3 cos(
2 x+π − = e) sin2x+cos2x=1 f) cos4 x+sin4 x=cos2x
2) Giải các phương trình:
a) 1 cos+ 4x−sin4 x=2 cos2x c) 4(sin4x+cos4 x)+sin4x−2=0
b) sin6x+cos6 x=cos4x d) sin cos3 cos sin3 1
4
2 Dạng 2:
Trang 9GV: Nguyễn Văn Huy ( ĐT: 0909 64 65 97 ) Tài liệu ơn tập chuyên đề lượng giác
2 2 2 2
0
atg x btgx c
( a≠0)
Cách giải:
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
Ta được phương trình : at2+ + =bt c 0 (1) Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)
Ví dụ :
a) 2 cos2 x+5sinx− =4 0 b) cos2 4 cos 5 0
2
x− x+ = c) 2sin2 x= +4 5cosx d) 2 cos cos2x x= +1 cos2x+cos3x
e) sin4 cos4 sin 2 1
2
x+ x= x− f) 2 ) 0
2 cos(
) cos (sin
2 4 x+ 4 x − π − x = g) sin4 cos4 1 2sin
+ = − h) sin4x+cos4 x+sinx.cosx=0
k) 0
sin 2 2
cos sin ) sin (cos
=
−
− +
x
x x x
x
2 sin 2 1
3 sin 3 cos (sin
+
+
x
x x
x
3 Dạng 3:
acosx b+ sinx c= (1) ( a;b 0)≠
Cách giải:
• Chia hai vế của phương trình cho a2 +b2 thì pt
(1) 2a 2 cosx 2b 2 sinx 2c 2
• Đặt 2 2 cos và 2b 2 sin
a
a
+ + với α∈[0;2π) thì :
2 2
2 2
c (2) cosx.cos + sinx.sin =
a c
cos(x- ) = (3)
a
b b
α
⇔
+
⇔
+
Pt (3) có dạng 1 Giải pt (3) tìm x
Chú ý :
Trang 9
Trang 10Pt acosx + bsinx = c có nghiệm ⇔ a2+b2 ≥c2
Ví dụ : Giải các phương trình :
a) cosx+ 3 sinx= −1 b) cosx+ 3sinx= 2 c) 4(sin4x+cos )4x + 3 sin 4x=2 d)
x
tgx
cos
1
3=
− e) 3
1 sin cos
2
2 sin cos
−
−
−
x x
x x
d Dạng 4:
asin2 x b+ sin cosx x c+ cos2x=0 (a;c 0)≠ (1)
Cách giải 1:
Aùp dụng công thức hạ bậc : sin2 1 cos2 và cos2 1 cos2
và công thức nhân đôi : sin cos 1sin 2
2
x x= x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )
Chia hai vế của pt (1) cho cos x ta được pt:2
atg x btgx c2 + + =0
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải
Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k
2
π
= + π có phải là nghiệm của (1) không?
Ví dụ : Giải phương trình:
3sin2x+(1− 3)sinx.cosx−cos2 x+1− 3=0
d Dạng 5:
a(cosx+sin )x +bsin cosx x c+ =0 (1)
Cách giải :
• Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
Do (cos sin )2 1 2sin cos sinx.cosx=t2 1
2
• Thay vào (1) ta được phương trình :
2 1 0
2
t
at b+ − + =c (2)
• Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2 cos( )
4
x−π =t tìm x.
Trang 11GV: Nguyễn Văn Huy ( ĐT: 0909 64 65 97 ) Tài liệu ơn tập chuyên đề lượng giác
Ví dụ : Giải phương trình :
sin 2x−2 2(sinx+cos ) 5 0x − =
Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : a(cosx−sin )x +bsin cosx x c+ =0
Ví dụ : Giải phương trình :
sin 2x+4(cosx−sin ) 4x =
Bµi tËp ph¬ng tr×nh lỵng gi¸c c¬ b¶n
Dạng 1 : Phương trình lượng giác cơ bản.
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
3
4 sin2x + sin tan2x 2x = 3 5 5cos2x + sin2x = 4
cos
x
4
4
11 cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) 12 sin + cos = 13 sin 52 x + cos 32 x = 1
cos cos 2 cos 4
16
Dạng 2 : Phương trình bậc nhất, bậc hai.
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
5
2
2
x
2
4
4cot 2
x
−
=
+
Dạng 3 : Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx.
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
Trang 11
Trang 123 sin4 cos4 1
4
4 2 cos ( 4x + sin4x ) + 3sin 4 x = 2
5 2sin 2 x + 2 sin 4 x = 0 6 3sin 2 x + 2cos 2 x = 3
2
13 ( 2sin x − cos x ) ( 1 cos + x ) = sin2x 14 1 cos + x + sin3 x = cos3 x − sin 2 x − sin x
3
Dạng 4 : Phương trình đẳng cấp Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
5 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1 6 2 1 2
7 3sin2x+4sin 2x+(8 3 9 cos− ) 2x=0 8 2cos3x + 3cos x − 8sin3x = 0
3 cos 5sin 7sin cos 0
3
2cos 2
x
4
12 3 2 cos x − sin x = cos3 x + 3 2 sin sin 2 x x
4
Dạng 5 : Phương trình đối xứng loại 1 Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
4
4 tan x − 2 2 sin x = 1
5 sin3x + cos3x = 1 6 (1 sin+ x) (1 cos+ x) =2
4
p
11 sin3x + cos3x + 2 sin ( x + cos x ) − 3sin 2 x = 0
Trang 13GV: Nguyễn Văn Huy ( ĐT: 0909 64 65 97 ) Tài liệu ôn tập chuyên đề lượng giác
Dạng 5 : Phương trình đối xứng loại 2 Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1 3 tan ( x + cot x ) − 2 tan ( 2x + cot2 x ) − = 2 0 2 tan7x + cot7x = tan x + cot x
9 tan x + cot x = 48 tan x + cot x + 96
5 3 tan ( x − cot x ) + tan2x + cot2x = 6
3 tanx+cotx −8 tan x+cot x =21
Dạng 6 : Biến đổi tương đương dưa về dạng cơ bản
Giải các phương trình lượng giác sau :
8
2 cos2 x + cos 22 x + cos 32 x + cos 42 x = 2 3 sin3x + cos3x = 2 in ( s 5x + cos5x )
4
1 cot
6 6 tanx+5cot 3x= tan 2x
Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích bằng 0
1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0
3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0
2 sin2x+ 2 cos2x+ 6 cosx=0 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin 33 x =sin 55 x
9/ 2cos2x-8cosx+7=cos x1
10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+5
4cos2x 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14/ 2sin3x- 1
sin x=2cos3x+ 1
cos x 15/cos3x+cos2x+2sinx-2=0 16/cos2x-2cos3x+sinx=0
17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1
cos x)=0 18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x
Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích thành tổng, hoặc tổng thành tích Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
Trang 13
Trang 141 sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x 2 sin2x + sin22x = sin23x + sin24x
1 sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 4 2 2 2 3
cos cos 2 cos 3
2
x+ x+ x=
5 sin5x.cos6x+ sinx = sin7x.cos4x 6.sin sin 1
3 x 3 x 2
− + =
1
+ + =
8 cosx cos4x - cos5x=0
9 sin6x.sin2x = sin5x.sin3x 10 2 + sinx.sin3x = 2 cos 2x
Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2
3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0 4/ cos3x+ sin7x=2sin2( 5
4 2
x
π +
)-2cos29
2
x
5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x 6/sin24x-cos26x=sin(10,5π+10x)
7/ cos4x-5sin4x=1 8/4sin3x-1=3- 3 cos3x
9/ sin22x+ sin24x= sin26x 10/ sin2x= cos22x+ cos23x
Dạng 8 : Đặt ẩn phụ
Giải các phương trình lượng giác sau :
1 tan 2 x − 2tan x + sin 2 x = 0
2 cos x + 2 cos − 2x + cos x 2 cos − 2x = 3
3sin cos 3
Dạng 9 : Phương pháp đối lập
Giải các phương trình lượng giác sau :
Dạng 10 : Phương pháp tổng bình phương
Giải các phương trình lượng giác sau :
1 cos 2 x − cos6 x + 4 3sin ( x − 4sin3x + = 1 ) 0 2 3sin 2 x − 2sin2x − 4cos x + = 6 0 3.
2sin 2 x + cos 2 x + 2 2 sin x − = 4 0 4 cos2 x − 3sin2 4sin x + 2x − 2sin x + = 4 2 3cos x
