bài tập lượng giác lớp 11 hay

CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC I... Do đó ΔABC vuông tại C III.

CHƯƠNG XI:

NHẬN DẠNG TAM GIÁC

I TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC

Bài 201: Tính các góc của ΔABC nếu :

2

Do A B C+ + = π

Nên: ( )* sin A sin B cosC 3

2

−

−

−

⎪⎪⎪

⎪⎩

⇔

2

2

2

2

2

2

2

=

2 cos cos

A B

2 C

2 cos cos 0 1 2

A

2

⇔

⎪⎩

π

⎧ = =

⎪⎪

⎪ =

⎪⎩

C

2

A B

6 2 C 3 Bài 202: Tính các góc của ΔABC biết:

2

Ta có: ( )* 2cos A 1 2 3 cos B C cos B C2 ( ) ( ) 5

Vuihoc24h.vn

( )

=

⎩

⎧ =

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

2

0 0

4 cos A 4 3 cos A.cos B C 3 0

3

2 2

A 30

B C 75

=

Bài 203: Chứng minh ΔABC có C 120= 0nếu :

sin A sin B sin C 2sin sin 2sin (*)

Ta có

(*) 2sin cos 2sin cos 2sin sin 2sin

2cos cos 2sin cos 2cos 2sin sin

cos cos sin cos cos

cos cos cos cos cos

2cos cos cos cos cos

−

2 B 2 +

C 1 cos

2 > và

B

2 > vì

A B

π

< < )

⇔ C 120 = 0

Bài 204: Tính các góc của ΔΑΒC biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và

3 3 sin A sin B sin C

2

+

Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử A B C< <

Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B

Mà A B C+ + = π nên B

3

π

= Lúc đó: sin A sin B sin C 3 3

2

+

Vuihoc24h.vn - Kênh h c t p Onlinev

Vuihoc24h.vn

3 3 sin A sin sin C

3 sin A sin C

2

A C A C 3 2sin cos

B A C 3 2cos cos

3 A C 3

2 cos

C A 3

−

⇔ ⎜⎜ ⎟⎟ =

⎝ ⎠

Do C > A nên ΔΑΒC có:

⎩

2

Bài 205: Tính các góc của ΔABCnếu

( ) ( )

⎧ + ≤

⎪

⎨

⎪⎩

sin A sin B sin C 1 2 2

Áp dụng định lý hàm cosin: cos A b2 c2 a

2bc

2

Do (1): b2 +c2 ≤ a nên cos A 0≤

π ≤ < π ⇔ π ≤ <

2

π

π

Mặt khác:sin A sin B sin C+ + sin A 2sinB CcosB C

sin A 2cos cos

−

2

2

≤ + ⎜⎜ ⎟⎟⋅

B C

do * và cos 1

2 Mà sin A sin B sin C 1+ + = + 2 do (2) Vuihoc24h.vn

Dấu “=” tại (2) xảy ra

⎧

=

⎪

⎪

⎪

⇔ ⎨ =

⎪

−

⎪⎩

sin A 1

A 2 cos

2 2

B C

2

π

⎧ =

⎪⎪

⎪ = =

⎪⎩

A 2

B C

4

Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004)

Cho ΔABC không tù thỏa điều kiện

( )

cos2A 2 2 cosB 2 2 cosC 3+ + = *

Tính ba góc của ΔABC

* Cách 1: Đặt M = cos 2A 2 2 cos B 2 2 cosC 3+ + −

Ta có: M = 2cos A 4 2 cos2 B CcosB C 4

⇔ M = 2cos A 4 2 sin cos2 A B C 4

−

Do sinA 0

2 > và

B - C

2 ≤ Nên M 2cos A 4 2 sin2 A 4

2

Mặt khác: ΔABCkhông tù nên 0 A

2

π

< ≤

⇒ 2 ≤

0 cos A 1 cos A cos A

Do đó: M 2cos A 4 2 sinA 4

2

2

2

2

A

2

Do giả thiết (*) ta có M=0

Vậy:

2

0 0

cos A cos A

A 90

B C

sin

⎧

⎪⎩

⎪

⎪⎩

* Cách 2: ( )* ⇔ cos2A 2 2 cosB 2 2 cosC 3 0+ + − =

Vuihoc24h.vn

( )

2

2

2

2

2

2

2

−

−

=

⎞ =

⎟

⎠

C 0 (*)

Do ΔABC không tù nên cos A 0≥ và cos A 1 0− <

Vậy vế trái của (*) luôn ≤ 0

Dấu “=” xảy ra

cos A 0

2 sin cos

B C

2

⎧

⎪

⎪

−

⎪⎩

⎧ =

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

0 0

A 90

B C 45 Bài 207: Chứng minh ΔABCcó ít nhất 1 góc 600 khi và chỉ khi

sin A sin B sin C 3 (*) cos A cosB cosC

=

Ta có:

(*) ⇔ sin A− 3 cos A + sin B− 3 cos B + sin C− 3 cosC = 0

⎡ π⎛ ⎞ π⎤ − ⎛ π⎞ ⎛ π⎞

⇔ ⎢⎜ − ⎟− ⎥ + ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟

⇔ ⎜ − ⎟⎢− + ⎜ − ⎟⎥ =

=

⇔ ⎜ − ⎟= ∨ = ⎜ − ⎟= ⎜ −

+ ⎞

⎟

⎠

A B

B

⇔C = ∨ A = ∨B=

π 3 Vuihoc24h.vn

Bài 208: Cho ΔABC và V = cos2A + cos2B + cos2C – 1 Chứng minh:

a/ Nếu V = 0 thì ΔABC có một góc vuông

b/ Nếu V < 0 thì ΔABC có ba góc nhọn

c/ Nếu V > 0 thì ΔABC có một góc tù

Ta có: V 1(1 cos2A) 1(1 cos2B) cos 12

2 2 2

1

V cos 2A cos 2B cos C 2

)

V cos A B cos A B cos C

V 2cosC cos A cos B

Do đó:

a / V 0= ⇔ cos A 0 cos B 0 cos C 0= ∨ = ∨ =

⇔ ΔABC⊥ tại A hayΔABC⊥ tại B hayΔABC ⊥ tại C

b / V 0< ⇔ cos A.cos B.cos C 0>

⇔ ΔABC có ba góc nhọn ( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên không có trường hợp có 2 cos cùng âm )

c / V 0> ⇔ cos A.cos B.cos C 0<

cos A 0 cos B 0 cos C 0

⇔ < ∨ < ∨ <

⇔ ΔABC có 1 góc tù

II TAM GIÁC VUÔNG

Bài 209: Cho ΔABC có cotg B = a c+

Chứng minh ΔABC vuông

Ta có: cotgB a c

+

=

B

cos 2R sin A 2R sin C sin A sin C

2

sin

2

C 2 B 2

−

⇔cos2 B = cos cosB A C (do sinB > 0)

Vuihoc24h.vn - Kênh h c t p Online

Vuihoc24h.vn

⇔cosB =cosA C (do cosB > 0)

⇔ = + ∨ = +

B A C B C A

A B C C A B

ABC vuông tại A hay ABC vuông tại C

Bài 210: Chứng minh ΔABC vuông tại A nếu

cosB cosC sin Bsin C+ =

cosB cosC sin Bsin C+ =

+

2R sin B 2R sin C 2R sin A cos B cosC sin Bsin C sin B cosC sin C cos B sin A

cos B.cosC sin Bsin C

sin B C sin A cos B.cosC sin Bsin C cos B cosC sin Bsin C (do sin A 0)>

π

⇔ + =

⇔ Δ

cos B.cos C sin B.sin C 0 cos B C 0

B C

2 ABC vuông tại A

=

Bài 211: Cho ΔABC có:

Chứng minh ΔABC vuông

Ta có:

⎤

⎥⎦

(*) cos cos cos sin sin sin

1 cosA B cosA B cosC 1 1 cosA B cosA B sin

C 2

sin cos cos 1 sin cos sin

sin cos cos cos 1 sin cos 1 sin cos sin

Vuihoc24h.vn

− −

⇔sin cosC C +cosA BcosC =cos2 C +cosA BsinC

−

−

−

π

⇔ = ∨ = + ∨ = +

⇔ = ∨ = ∨ =

sin cos cos cos

tg 1

C A B C B A C

2 4

B A

Bài 212: Chứng minh ΔABC vuông nếu:

3(cos B 2sin C) 4(sin B 2cosC) 15+ + + =

Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có:

3cos B 4 sin B+ ≤ 9 16 cos B sin B 15+ + = và 6sin C 8cosC+ ≤ 36 64 sin C cos C 10+ 2 + 2 = nên: 3(cos B 2sin C) 4(sin B 2cosC) 15+ + + ≤

Dấu “=” xảy ra

cos B sin B tgB 4

sin C cosC cotgC=4

3 3

π

tgB cotgC

B C

2 ⇔ ΔABCvuông tại A

Bài 213: Cho ΔABC có: sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B+ =

Chứng minh ΔABC vuông

Ta có: sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B+ =

2 sin(A B) cos(A B) 2 cos(A B) cos(A B)

cos(A B) 1 sin(A B) cos(A B)

⇔ −cos C= 1 sin C cos(A B)− −

⇔ −cos C(1 sin C) (1 sin C).cos(A B)+ = − 2 −

⇔ −cos C(1 sin C) cos C.cos(A B)+ = 2 −

⇔cos C 0 hay (1 sin C) cos C.cos(A B)= − + = − (*)

⇔cos C 0 =

( Do sin C 0> nên − +(1 sin C)< −1

Mà cosC.cos(A B)− ≥ −1.Vậy (*) vô nghiệm.)

Vuihoc24h.vn

Do đó ΔABC vuông tại C

III TAM GIÁC CÂN

Bài 214:Chứng minh nếu ΔABC có tgA tgB 2cotgC

2

thì là tam giác cân

Ta có: tgA tgB 2cotgC

2

C 2cos

C cos A.cos B sin

2 C 2cos

C cos A.cos B sin

2

2sin cos 2cos

C cos A cos B sin

2

+

⇔sin2C cos A.cos B do cosC 0

⇔ =

1 1 cosC 1 cos A B cos A B

1 cosC cosC cos A B cos A B 1

)

A B

ABC

⇔ Δ cân tại C

Bài 215: Chứng minh ΔABC cân nếu:

sin cos sin cos

A

Ta có: sin cosA 3B sin cosB 3

A

cos cos cos cos

(do cosA

2 >0 và

B cos

2 >0 ) Vuihoc24h.vn

2 2

⇔ tgA = tgB

⇔ A B=

⇔ ΔABC cân tại C

Bài 216: Chứng minh ΔABC cân nếu:

cos A cos B 1 cotg A cotg B (*) sin A sin B 2

+

Ta có:

(*) cos A cos B22 22 1 12 12 2

sin A sin B 2 sin A sin B

2

sin A sin B sin A sin B

⇔4 sin A sin B2 2 = sin A sin B2 + 2 2

( 2 2 )

0 sin A sin B sin A sin B

Vậy ΔABC cân tại C

Bài 217: Chứng minh ΔABC cân nếu:

C

2

Ta có: a b tgC(atgA btgB)

2

⇔ a b cotg+ C =atgA btgB+

2

⇔ ⎢ − ⎥+ ⎢ −

a tgA cotg b tgB cotg 0

⎥⎦

⎣ A B⎦ ⎣ A ⎤ =⎥⎦

a tgA tg b tgB tg 0

B

cos A.cos cos B.cos

Vuihoc24h.vn - Kênh h c t p Online

Vuihoc24h.vn

⇔sinA B =0 hay a − b = 0

⇔ A B hay= 2R sin A = 2R sin B

⇔ A B hay tgA tgB= = ⇔ ΔABC cân tại C

IV NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Bài 218: Cho ΔABC thỏa: a cosB bcos A a sin A bsin B (*)− = −

Chứng minh ΔABC vuông hay cân

Do định lý hàm sin: a 2R sin A, b 2R sin B= =

Nên (*) ⇔2R sin A cos B 2R sin B cos A 2R sin A sin B− = ( 2 − 2 )

sin A cos B sin B cos A sin A sin B

sin A B 1 cos 2A 1 cos 2B

1 sin A B cos 2B cos 2A

2 sin A B sin A B sin B A sin A B 1 sin A B 0 sin A B 0 sin A B 1

A B A B

2

⇔ − = −⎡⎣ + − ⎤⎦

⇔ − ⎡⎣ − + ⎦⎤ =

π

⇔ = ∨ + = vậy ΔABC vuông hay cân tại C Cách khác

sin A cos B sin B cos A sin A sin B

sin A B ( sin A sin B) ( sin A sin B)

⇔sin A B− =( 2 sin A BcosA B) (2 cosA BsinA B)

π

sin A B sin A B sin A B

A B A B

2

Bài 219 ΔABC là tam giác gì nếu

(a2 +b sin A B2) ( − ) =(a2 −b sin A B (*)2) ( + )

Ta có: (*)

(4R sin A 4R sin B sin A B2 2 2 2 ) ( ) 4R sin A sin B sin A B2( 2 2 ) ( )

sin A sin A B sin A B sin B sin A B sin A B 0

⇔ ⎡⎣ − − + ⎤⎦+ ⎣⎡ − + + ⎤⎦ =

( )

Vuihoc24h.vn

sin A cos A sin B cos B 0

⇔ − + = (do sinA 0> và sinB 0> )

sin 2A sin 2B

2A 2B 2A 2B

A B A B

2

⇔ = ∨ = π −

π

⇔ = ∨ + =

Vậy ΔABC cân tại C hay ΔABC vuông tại C

Bài 220: ΔABClà tam giác gì nếu:

a sin 2B b sin 2A 4ab cos A sin B (1) sin 2A sin 2B 4 sin A sin B (2)

⎨

⎩

Ta có:

(1) ⇔ 4R sin A sin 2B 4R sin Bsin 2A 16R sin A sin Bcos A2 2 + 2 2 = 2 2

sin A sin 2B sin Bsin 2A 4 sin A sin B cos A 2sin A sin B cos B 2sin A cos A sin B 4 sin A sin B cos A sin A cos B sin B cos A 2sin B cos A (do sin A 0,sin B 0) sin A cos B sin B cos A 0

A B

2

>

Thay vào (2) ta được

sin 2A 2sin A= 2

2

2sin A cos A 2sin A cos A sin A dosin A 0 tgA 1

A 4

π

Do đó ΔABC vuông cân tại C

V TAM GIÁC ĐỀU

Bài 221: Chứng minh ΔABCđều nếu:

bc 3 R 2 b c= ⎡⎣ + −a (*)⎤⎦

Ta có:(*) ⇔ (2R sin B 2R sin C 3 R 2 2R sin B 2R sin C)( ) = ⎡⎣ ( + )−2R sin A⎤⎦

⇔2 3 sin B sin C 2 sin B sin C= + −sin B C+

⇔ 2 3 sin B sin C 2 sin B sin C= + −sin B cos C sin C cos B−

2 sin B 1 cos C sin C 2 sin C 1 cos B sin B 0

⎤

=

⎥

⎦

Vuihoc24h.vn - Kênh h c t p Online

Vuihoc24h.vn

Do sinB 0> và 1 cos C 0

3

π

− ⎜ − ⎟

⎝ ⎠≥ sinC 0> và 1 cos B 0

3

π

− ⎜ − ⎟

⎝ ⎠ ≥ Nên vế trái của (1) luôn ≥ 0

Do đó, (1)

3

3

⎧ ⎛ − π⎞ =

⇔ ⎨

π

⎩

C B

3

π

⇔ = = ⇔ ΔABC đều

Bài 222: Chứng minh ΔABC đều nếu 3 3 3

2

3 sin Bsin C (1)

4

a b c

a b c

⎪⎪

⎨

− −

⎪ =

Ta có: (2) ⇔ a3 −a b a c a2 − 2 = 3 −b3 −c3

⇔ a b c2( + )= b3 +c3

2

c ⇔ b2 +c2 −2bc cos A b= 2 +c2 −b (do đl hàm cosin)

π

2bc cos A bc

1

Ta có: (1) ⇔ 4 sin B sin C 3=

⇔2 cos B C⎡⎣ − −cos B C+ ⎤⎦ =3

=

⇔2 cos B C⎡⎣ − +cos A⎤⎦ 3

1

2 cos B C 2 3 do (1) ta có A

⇔cos B C− = ⇔1 B C =

Vậy từ (1), (2) ta có ΔABCđều

Bài 223: Chứng minh ΔABC đều nếu:

sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C+ + = + +

Ta có: sin 2A sin 2B 2sin A B cos A B+ = ( + ) ( − )

= 2sin C cos A B( − )≤ 2sin C (1) Dấu “=” xảy ra khi: cos A B( − ) =1

Vuihoc24h.vn

Dấu “=” xảy ra khi: cos A C( − )=1

Tương tự: sin 2B sin 2C 2sin A+ ≤ (3) Dấu “=” xảy ra khi: cos B C( − ) =1

Từ (1) (2) (3) ta có: 2 sin2A sin2B sin2C( + + )≤2 sinC sinB sin A( + + )

Dấu “=” xảy ra

− =

⎧

⎪

⎩

cos A B 1 cos A C 1 cos B C 1

⇔ A = B C= ⇔ ΔABCđều

Bài 224: Cho ΔABC có:

sin 2A sin 2B sin C+ + = 2cos A cosBcosC Chứng minh ΔABC đều

Ta có: (*) ⇔sin 2B.sin 2C sin 2A sin 2C sin 2Asin 2B2 2 + 2 2 + 2 2

sin 2A.sin 2B.sin 2C sin2Asin2Bsin2C 2cos A cos B cosC

4 sin A sin Bsin C sin 2A sin 2Bsin 2C

= Mà: 4 sin A sin B sin C 2 cos A B= ⎡⎣ ( − )−cos A B sin A B( + )⎤⎦ ( + )

)

+

= ⎡⎣ − + ⎤⎦

2 cos A B cos C sin C

2 sin C cos C 2 cos A B sin A B sin 2C sin 2A sin 2B

Do đó,với điều kiện ΔABC không vuông ta có

(*) ⇔ sin 2Bsin 2C sin 2A sin 2C sin 2A sin 2B2 2 + 2 2 + 2 2

sin 2A.sin 2B.sin 2C sin 2A sin 2B sin 2C

sin 2A sin 2B sin 2C sin 2B sin 2A sin 2C sin 2C sin 2A sin 2B

1 sin 2B sin 2A sin 2B sin 2C 1 sin 2A sin 2B sin 2A sin 2C

1 sin2Csin2A sin2Csin2B 0

2

sin 2Bsin 2A sin 2Bsin 2C sin 2A sin 2B sin 2A sin 2C sin 2A sin 2C sin 2Csin 2B

=

⎧

⎪

⎩

=

⎧

⎩

sin 2A sin 2B sin 2B sin 2C ⇔ A B C= = ⇔ ABC đều

Bài 225: Chứng minh ΔABC đều nếu:

a cos A b cosB c cosC 2p (*)

a sin B bsin C c sin A 9R

=

Vuihoc24h.vn - Kênh h c t p Online

Vuihoc24h.vn

Ta có: a cos A b cos B c cos C+ +

2R sin A cos A 2R sin B cosB 2R sin C cosC

R sin 2A sin 2B sin 2C

R 2sin A B cos A B 2sin C cosC 2R sin C cos A B cos A B 4R sin Csin A sin B

Cách 1: a sin B b sin C c sin A+ +

3

2R sin A sin B sin Bsin C sin Csin A

2R sin A sin Bsin C do bđt Cauchy

≥

Do đó vế trái : a cos A b cosB c cosC 2 sinAsinBsinC3

a sin B bsin C c sin A 3

Mà vế phải: 2p = a b c+ + = 2 sin A sinB sinC( + + )

3

2 sinAsinBsinC

3

Từ (1) và (2) ta có

( * )⇔ sin A sin B sin C= = ⇔ ΔABC đều

Cách 2: Ta có: (*) 4R sin A sin Bsin C a b c

a sin B bsin C c sin A 9R

+ +

4R

a b c

2R 2R 2R

2R 2R 2R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ ⎛ ⎞+

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Do bất đẳng thức Cauchy ta có

3

2 2 2 3

ab bc ca a b c

+ + ≥

Do đó: (a b c ab bc ca+ + )( + + )≥ 9abc

Dấu = xảy ra ⇔ a = b c= ⇔ ΔABC đều

Bài 226: Chứng minh ΔABC đều nếu

cot gA cot gB cot gC tg tg tg *

cot gA cot gB

sin A sin B sin A sin B

+

2

sin C sin A sin B 2

≥

+

(do bđt Cauchy) Vuihoc24h.vn

2 2 2

2

C 2tg 2

≥ (1) Tương tự: cot gA cot gC 2tgB

2

cot gB cot gC 2tgA

2

Từ (1) (2) (3) ta có

2 cot gA cot gB cot gC 2 tg tg tg

Do đó dấu “=” tại (*) xảy ra

⎪

⇔ ⎨

⎩

=

sin A sin B sin C

A B C ABC đều

⇔ Δ

BÀI TẬP

1 Tính các góc của ΔABC biết:

a/ cos A sin B sin C= + − 3

2 (ĐS:

2

b/ sin 6A sin 6B sin 6C 0+ + = (ĐS: A B C

3

π

c/ sin 5A sin 5B sin 5C 0+ + =

2 Tính góc C của ΔABC biết:

a/ (1 cot gA 1 cot gB+ )( + )= 2

b/ A,B nhọn2 2 9

sin A sin B sin C

⎧⎪

⎨

⎪⎩

3 Cho ΔABC có: ⎧⎨ + + <

⎩

cos A cos B cos C 1 sin 5A sin 5B sin 5C 0 Chứng minh Δ có ít nhất một góc 36 0

4 Biết sin A sin B sin C m2 + 2 + 2 = Chứng minh

a/ m =2 thì ΔABC vuông

b/ m >2 thì ΔABC nhọn

c/ m <2 thì ΔABC tù

5 Chứng minh ΔABC vuông nếu:

a/ cosB cosC b c

a

+

cosB cosC+ = sin BsinC

Vuihoc24h.vn - Kênh h c t p Online

Vuihoc24h.vn

c/ sin A sin B sin C 1 cos A cos B cosC+ + = − + +

2

2 1 cos B C

b c

=

−

6 Chứng minh ΔABC cân nếu:

a/

1 cos B 2a c

sin B a c

−

sin A sin B sin C cot gA .cot gB

c/ tgA 2tgB tgA.tg B+ = 2

d/ a cot gC tgA b tgB cot gC

⎞

⎟

⎠ e/ (p b cot g) C ptgB

f/ a b tgC(atgA btgB)

2

7 ΔABC là Δ gì nếu:

a/ atgB btgA (a b tg) A B

2

+

b/ c c cos 2B b sin 2B= +

c/ sin 3A sin 3B sin 3C 0+ + =

d/ 4S=(a b c a c b+ − )( + − )

8 Chứng minh ΔABC đều nếu

a/ 2 a cos A b cos B c cosC( + + ) = + +a b c

b/ 3S 2R sin A sin B sin C= 2( 3 + 3 + 3 )

c/ sin A sin B sin C 4 sin A sin B sin C+ + =

d/ ma mb mc 9R

2 + + = với m , m , ma b c là 3 đường trung tuyến Vuihoc24h.vn