Tuyển chọn bài tập lượng giác ôn thi đại học có hướng dẫn giải chi tiết

Chúc các em học tốt

LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP LUYỆN THI ĐẠI HỌC

7/ cos(a b) cos a.cosb sin a.sinb   8/ cos(a b) cos a.cosb sin a.sinb  

9/ sin(a b) sin a.cosb cosa.sinb   10/.sin(a b) sin a.cosb cosa.sinb  

I NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)

15/ sin2a2 sin a.cosa 16/ cos2a2cos a 1 1 2sin a2    2 cos a sin a2  2

II NHÂN BA : ( 3 công thức)

18/ Cos3a4Cos a 3Cosa3  19/ Sin3a3Sina 4Sin a 3

20/

3 2

3Tana Tan aTan3a

1 tCosx





G Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

3

32

1

12

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sin VÀ cos:

Điều kiện để phương trình có nghiệm là :a2b2 c2

Giả sử giải phương trình: a sin u b cos u c *   

Cách giải chia hai vế của (*) cho a2 b2

 (**)

(**)sin u    sin Giải phương trình cơ bản

PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI sin VÀ cos

 Trường hợp 2:Xét cos x 0. Chia hai vế của (1) cho cos x ,rồi đưa về phương trình 2

bậc hai theo tan x,giải bình thường

1  a d tan x b tan x c d 0.    

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sin VÀ cos

4)PHƯƠNG TRÌNH DẠNG : a sin x cos x  b sin x cos x c 0 1   

1.29: Giải các phương trình:

a)1 tan x 1 sin 2x    1 tan x b)2 tan x.cos x 1 2 cos x tan x   c)sin 2x 2 tan x 3 d)sin 2x2 cos x 3 sin x 3

a) 1 tan x 1 sin 2x    1 tan x 1 

b) 2 tan x.cos x 1 2 cos x tan x 1    

Điều kiện cos x  0

(1)2 sin x cos x 2 tan x 3 2 sin x cos x2 2 tan x2 32

d) sin 2x2 cos x 3 sin x 3 1 

 1 2 sin x cos x 2 cos x  3 sin x 30

a)1 sin x sin x cos x cos x  b)9 sin x 6 cos x 3 sin 2x cos 2x 8   

c)1 sin x sin 2x cos x cos 2x 0     d)sin 4x cos 4x 1 4 2 sin x

a) 1 sin x sin x cos x cos x 1   

Phương trình  2 vô nghiệm vì:62 22 7 2

c) 1 sin x sin 2x cos x cos 2x 0    

Với 1 2 cos x 0 cos x 1 cos2 x 2 k2

1 cos x 2 sin x cos x  sin x

cos 2x cos x 1 cos 3x

Với 1 cos x 0  cos x  1 x  k2 

cos x sin xcos x sin x

Điều kiện: cos x 0 cos x 0 x 2 k x 2 k k 

Sử dụng công thức nhân đôi sin 2x 2 sin x cos x, 1 cos 2x 2 sin x, 1 cos 2x 2 cos x   2   2

e)sin 4x sin 3x sin 2x sin x 12  2  2  2  

Ý tưởng: Có bình phương ta hạ bậc, sau đó biến đổi tổng thành tích, và đặt nhân tử chung

f) f)sin x sin 3x cos 2x cos 4x2  2  2  2 (1)

a)tan x tan 2x sin 3x.cos x  b)cos x sin x sin 3x cos 4x2  2  

c)2 sin x cos 2x sin x3   d)sin x.sin 2x.sin 3x 1sin 4x

4

LỜI GIẢI

a) tan x tan 2x sin 3x.cos x 1   

So với điều kiện nghiệm của phương trình: x k

3



 , x k k   

b) cos x sin x sin 3x cos 4x 12  2    

 1 cos 2x sin 3x cos 4x   sin 3x cos 4x cos 2x 0  

a)1 sin x cos x 2  1 cos x sin x 1 sin 2x 2   

sin x 3 cos xsin x.cos x 3 sin x.cos x

c)sin 2x cos 2x cos x 2 cos 2x sin x 0    

d)sin 2x cos 2x 3 sin x cos x 1 0    

LỜI GIẢI

1 sin x cos x  1 cos x sin x 1 sin 2x 1  

 1 cos x sin x.cos x sin x cos x.sin x 1 sin 2x 2   2  

sin x cos x sin x.cos x sin x cos x  sin x cos x2

c) sin 2x cos 2x cos x 2 cos 2x sin x 0 1      

 1 sin 2x.cos x cos 2x.cos x 2 cos 2x sin x 0   

d) sin 2x cos 2x 3 sin x cos x 1 0 1      

 1 2 sin x cos x1 2 sin x 2 3sin x cos x 1 0  

Giải các phương trình sau:

cos 3x  cos x  2) sin 4x 3 sin 2x tan 2x 

3 tan 2xcos 2x

2 cos x 2 sin x 2 sin x cos x 2 cos x sin x    2 0

cos x cos 2x cos 3x

 

kx

4 , k2

2) sin 4x 3 sin 2x tan 2x 1   

cos 5x.cos x cos 4x.cos 2x 3 cos x 1 1  

2



4) 3 tan x cot x  2 2 sin 2x 1    

π 2

Biểu diễn nghiệm x 3 k2

Vậy nghiệm này nhân



2 cos x 2 sin x 2 sin x cos x 2 cos x sin x    2 0 1

 1 2 sin x cos x 3  3 2 sin x cos x cos x sin x   2 0

10) sin x sin 2x sin 3x 3 1 

cos x cos 2x cos 3x



 1 sin x22 1 cos x33 1 cos x22 1 cos x33

1 cos x 1 cos x cos x

2) 2 sin x cos 3x sin 2x 1 sin 4x   

3).cos x tan x 1 tan x.sin x  

5) (tan x 1).sin x cos 2x 2 2   3(cos x sin x).sin x

Điều kiện sin x 0  x k

 cos x sin x  2 cos x2 sin x cos x



sin x cos x 2 cos x 1  0

 sin x cos x cos 2x 0  

2) 2 sin x cos 3x sin 2x 1 sin 4x   

 2 sin x cos 3x 1 sin 4x sin 2x     2 sin x cos 3x 1 2 cos 3x.sin x  

 (2 sin x 1) cos 3x 2 cos 3x.sin x 0     (2 sin x 1) cos 3x(2 sin x 1) 0   

 (2 sin x 1)(1 cos 3x) 0    2 sin x 1 0

3).cos x tan x 1 tan x.sin x  

 cos x sin x cos x sin x2    2

 cos x sin x sin x cos x 02  2   

 (cos x sin x)(cos x sin x) (cos x sin x) 0    

 (cos x sin x)(cos x sin x 1) 0   

 4 sin x 2 sin x 10 sin x 4 03  2    

(tan x 1).sin x cos 2x 2   3(cos x sin x).sin x

Điều kiện : cos x 0

Chia hai vế cho cos x ta được : 2



 tan x tan x 2 1 tan x3  2    2 3(1 tan x).tan x

 tan x tan x 3 tan x 3 03  2    

LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 1: giải các phương trình sau:

1).2 cos 2x 2 cos 2x 4 sin 6x cos 4x 1 4 3 sin 3x cos x2     

2) 3 sin 2x 3 sin x cos 2x cos x 2  

3).cos 2x 5 2 2 cos x sin x cos x      

4).8 sin x cos x 6  6 3 3 cos 2x 11 3 3 sin 4x 9 sin 2x  

5) cos 2x.cos x cos x sin 2x.sin x 

8) 2 sin x 33  3sin x 2 sin x 3 tan x2   

2 cos 2x 2 cos 2x 4 sin 6x cos 4x 1 4 3 sin 3x cos x      

   1 cos 4x 2 cos 2x 4 sin 6x cos 4x 1 4 3 sin 3x cos x    

2 cos 4x 2 cos 2x 8 sin 3x cos 3x 4 3 sin 3x cos x

2) 3 sin 2x 3 sin x cos 2x cos x  2 

2 sin 2x 1 sin 2x 1 3 cos 2x 0

Điều kiện:sin x 0 x k , k 

Các bạn để ý góc ở vế trái, nên ý tưởng biến đổi tích thành tổng ở vế trái

Với 2 cos x 1 0 cos x 1 cos x cos

Biểu diễn nghiệm trên vòng tròn lượng giác :

Vậy nghiệm x  k2 loại

Ý tưởng: Biến đổi tích thành tổng

  cos 2x cos 8x sin x cos 8x   cos 2x sin x 0 

π 3

3π 2 π

π 2

0

Ý tưởng: Đổi tanx thành sin chia cos, sau đó quy đồng mẫu

9) 1 2 sin x 2 sin 2x 2 cos x cos 2x 3 1 cos x  

Ý tưởng: Biến đổi VP ta rút gọn được 2

tan x

2

1cos 2x tan x 1 cos x

Ý tưởng: Biến đổi vế phải thành sin2x và cos2x , sau đó biến đổi thành tích

  5 cos x sin x 3 sin 2x cos 2x   

2 cos x 1 cos x sin x 2  0

  2 1 cos x   1 sin 2x 3 cos 2x 3 0 

3 cos 2x sin 2x 2 cos x 0

Ta thấy hai đầu mút 7

vậy nghiệm này có n đầu mút, sau đó chọn k = 0,1, 2, 3, , n – 1

17π

18

5π 18 -

  

sin x cos x 1 2 sin x cos x

6 cos 2x1

sin x cos x2

sin x 1 cos x cos 2x  0



sin 2x 1 sin 2x 1  cos 2x sin 2x 1 

sin 2x 1 sin 2x 1 cos 2x  0

Với 2 sin x 0  sin x 2 (vô nghiệm)

Phân tích tử số của VP thành nhân tử, sau đó rút gọn

So với điều kiện nghiệm của phương trình: x 2 k2 ; x k2 , k Z  

   1 sin 2x cos 2x cos x cos 3x  

Kết luận nghiệm phương trình: x k

Áp dụng công thức cộng và biến đổi tích thành tổng

3 sin 2x cos 2x 4 sin x 1

2

2 3 sin x cos x 4 sin x 2 sin x

2 sin x sin 2x sin x cos x 1 0    

10) sin 3x 2 cos 2x 3 4 sin x cos x(1 sin x)    

12) sin 4x cos 4x sin 2x cos 2x    3 sin 3x cos 3x 1   2 cos x

13) sin 3x (1 cos x) cos 2x (sin x 2 cos x).sin 2x   

15) 3 sin 2x cos 2x 1   3 sin x 3 cos x

cos x ( dựa vào điều kiện cos x 0 )

5

tan x  cos x 

21

 sin 2x cos x2x 2 sin x 1  2 sin x.cos x 1 cos 2x 2 sin x 0   

 2 sin x.cos x 2 sin x 2 sin x 2  0  2 sin x(cos x sin x 1) 0  

 sin x 0 cos x sin x 1 0    

Điều kiện sin x 0

Với cos x 2 (vô nghiệm)

Kết luận nghiệm của phương trình : x k2

2



6) sin 4x 2 cos 3x 4 sin x cos x   

Sử dụng công thức nhân đôi và kỹ thuật gom nhân tử chung

 2 sin 2x.cos 2x (cos 3x cos x) (4 sin x 2)   

 4 sin x.cos x.cos 2x 2 cos 2x.cos x 2(2 sin x 1)  

 2 cos 2x.cos x(2 sin x 1) 2(2 sin x 1)  

Với 2 cos 2x.cos x 2 0   cos 3x cos x 2 0  

 4 cos x 3 cos x cos x 23    0  4 cos x 2 cos x 23   0

 (1 cos x).cos x sin x2 2 sin 2x sin x

4

 (1 cos x).cos x sin x (sin 2x cos 2x).sin x  2  

 cos x cos x sin x 2  2 sin 2x.sin x cos 2x.sin x

 cos x cos 2x 2 sin x.cos x cos 2x.sin x2 

 (cos x 2 sin x.cos x) cos 2x cos 2x.sin x 2   0

 cos x(1 2 sin x) cos 2x cos 2x.sin x 0 2   

 cos x.cos 2x cos 2x cos 2x.sin x 0  

 cos 2x(cos x sin x 1) 0    cos 2x 0

Vậy ta phải bỏ 4 đầu mút 0,

Điều kiện cos x 0

(1)  (tan x 1) sin x 3 cos x 2 sin x.cos x 2  2  0

(tan x 1) tan x 3 3 tan x 0   

 tan x tan x 3 tan x 33  2   0 

2 sin x sin 2x sin x cos x 1 0    

 (2 sin x sin x 1) 2 sin x.cos x cos x2     0

 (2 sin x 1)(2 sin x 1) cos x(2 sin x 1) 0    

7π 4

*

3π 2 π

π 2

 (2 sin x 1)(sin x 1 cos x) 0     2 sin x 1 0

10) sin 3x 2 cos 2x 3 4 sin x cos x(1 sin x)    

( tách 4 sin x sin x 3 sin x  , sau đó chuyển sin x ra vế trước )

 sin 3x sin x 2 cos 2x  3(1 sin x) cos x(1 sin x)  

 2 cos 2x.sin x 2 cos 2x (1 sin x)(3 cos x)   

 2 cos 2x(sin x 1) (1 sin x)(3 cos x) 0    

 (sin x 1)(2 cos 2x cos x 3) 0     sin x 1 0

 cos x(2 sin x 1)  3 2 3 sin x cos x 2 

 cos x(2 sin x 1) cos x   3(1 2 sin 2x) 0 2 

0 - π 6 5π 3

 (sin 4x sin 2x) (cos 4x cos 2x)    3(sin 3x cos 3x 1) 2 cos x  

 2 sin 3x.cos x 2 cos 3x.cos x 2 cos x   3(sin 3x cos 3x 1) 

 2 cos x(sin 3x cos 3x 1)   3(sin 3x cos 3x 1) 

k2x3

13) sin 3x (1 cos x) cos 2x (sin x 2 cos x).sin 2x   

Ý tưởng: Phân phối chuyển vế áp dụng công thức cộng, và biến đổi tích thành tổng

 sin 3x cos 2x cos 2x.cos x sin 2x.sin x 2 sin 2x.cos x   

 sin 3x cos 2x (cos 2x.cos x sin 2x.sin x) sin 3x sin x    

 cos 2x cos x sin x 

 cos x sin x2  2 cos x sin x  (cos x sin x)(cos x sin x) cos x sin x   

 (cos x sin x)(cos x sin x 1) 0     cos x sin x 0

Với cos x sin x 1 0    2 cos x 1

So với điều kiện hai nghiệm này đều không thỏa

Vậy phương trình vô nghiệm

15) 3 sin 2x cos 2x 1   3 sin x 3 cos x

 2 3 sin x.cos x 3 sin x (2 cos x 1) 3 cos x 1 0 2    

 3 sin x(2 cos x 1) (2 cos x 3 cos x 2) 0  2   

 3 sin x(2 cos x 1) (cos x 2)(2 cos x 1) 0    

 (2 cos x 1)( 3 sin x cos x 2) 0   

 2 cos x 1 0   3 sin x cos x 2  0

Ý tưởng quy đồng mẫu, sau đó đổi tanx bằng sinx chia cosx rồi quy đồng mẫu

 tan x.cos 3x 2 cos 2x 1   3(2 sin x.cos x cos x)(1 2 sin x) 

 sin x.cos 3x 2 cos 2x.cos x cos x   3 cos x(2 sin x 1)(1 2 sin x) 

 sin x.cos 3x 2 cos 2x.cos x cos x   3 cos x(1 4 sin x)2  2

 sin x.cos 3x 2 cos 2x.cos x cos x   3 cos x(4 cos x 3)2 2 

 sin x.cos 3x 2 cos 2x.cos x cos x   3 cos x(4 cos x 3 cos x)3 

 sin x.cos 3x cos 3x cos x cos x    3 cos x.cos 3x

 cos 3x(sin x 1  3 cos x) 0

 cos 3x 0  sin x 3 cos x 1

π 6

So với điều kiện bỏ hai đầu mút

Ta thấy các đầu mút của hai nghiệm này không trùng nhau

 (2 cos x 1).sin x  3(cos x 1)(2 cos x 1) 

 (2 cos x 1)(sin x  3 cos x 3) 0

 2 cos x 1 0   sin x 3 cos x 30

3π 2

π 2

15π 8 13π 8

Với sin x 3 cos x 3  1 3 3

Điều kiện sin x 0  x k

Ta có tập các giá trị  k2 , k   là tập hợp con của tập k , k   Vậy nghiệm

   3 cos x 1 2 sin x    1 sin x 1 2 sin x    3 cos x sin 2x  sin x cos 2x

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x k  hoặc x k k Z  

Điều kiện sin x 0

Chia cả hai vế phương trình   cho sin x 02  , ta được

2

nên phương trình  2 vô nghiệm

  2

2sin xsin x

So với điều kiện ban đầu, suy ra x  k2 , k Z  là nghiệm phương trình

14) giải phương trình 2 sin x sin 2x 1  

sin 3x sin x cos x 2 sin 2x cos x cos x

kxsin 9x 0

9 , k

x2

[Dự bị 3 ĐH02]  2 

4

4

2 sin 2x sin 3xtan x 1

13



a) Giải phương trình với a=1

(1) 6 sin x 3 cos x 3 sin x 2 cos x 3    

Điều kiện : cos x 0

Điều kiện : cos x 0

2

1cos x

1 cos x 2(1 cos x) 2 cos x 0

32

LỜI GIẢI

1 sin x cos x 1 sin x cos x sin x 2 sin x 2 cos x  0

5 sin x 2 3(1 sin x) tan x (1)

Điều kiện : cos x 0

(1)

2

2 2

Với: sin x cos x 0 2 sin x 0 x k x k , k 

(1)2 (sin x cos x) 2 (1 sin x)(1 cos x)     1

Với: cos x sin x 0 2 cos x 0 x k x k , k 

1 sin cos x sin 2x cos 2x 0    

2

k 25

Điều kiện : sin 2x 0 2x k x k , k 

2

2 sin xcot x 3 tan x

2 sin x 1 0

(1) 1 cos 3x cos 3x 3 cos x  sin 3x 3 sin x sin 3x  2 3 2

Với cos x sin x 0 cos x 0 x k x k , k 

 1 cos x sin x 1 2 sin x3  3   2

sin x cos x 1 sin x cos x  cos x sin x cos x sin x 

Với 1 cos x 0  cos x 1 x k2 ,(k   )

Với 1 cos x 0  cos x 1 x k2 , k    

Điều kiện :sin 2x0

(1) sin 2x sin 2x sin x cos x 1 2 cos 2x2    

Với 2 cos x cos x 1 02    phương trình vô nghiệm

Với cos x  1 x  k2 ,(k  ) So với điều kiện nghiệm này loại

3



Điều kiện : cos x 0

Với cos 2x 1 0  cos 2x 1 2xk2 x k ,(k )

4



Với sin 2x 1 0  sin 2x 1 2xk2 x k ,(k   )

[Dự bị 1 ĐH A08] tan x cot x 4 cos 2x  2 (1)

Với 2 cos x 1 0 cos x 1 x k2 , k 

[Dự bị 2 ĐH D08]

2 2

Điều kiện : cos x 0

(1) tan x tan x2 2 1sin x cos x

2tan x 1

sin x sin x cos x

2(1 4 sin x 4 sin x) cos x 1 sin x cos x

Vậy nghiệm của phương trình: x k2

2 sin x cos x sin x cos 2x cos x 2 cos 2x 0

[ĐH A11] 1 sin 2x cos2x2 2 sin x sin 2x

Nghiệm của phương trình là: x k2 , k

Với 2 cos x 1 0 cos x 1 x k2 , k

 1 2 3 sin x cos x 2 cos x 2 cos x 2  0cos x 3 sin x cos x 1  0

[ĐH B 2012] 2 cos x  3 sin x cos x cos x 3 sin x 1 (1)

 1 sin 3x sin x   cos 3x cos x  2 cos 2x

Điều kiện cos x 0 x k , k

Vậy nghiệm của phương trình đã cho: x k