1 LUONG GIAC LOP 11 TOAN TAP

Rất hay

Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Cung liên kết

a) Cung đối: cos x cos ; sinx  x  sin ; x

b) Cung bù: cos  x  cos ; sinx   x sin ; x

c) Cung phụ: cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan

d) Cung hơn kém  : cos x  cos ; sinx  x  sin ; x

e) Cung hơn kém

2



2 Công thức lượng giác

a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi

1 tan tan

cot a cot

a b

b

a b

b









2

2

2

2cos 1

1 2sin

2 tan tan 2

1 tan

a a a a

a



 





c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc

3

3

e) Công thức tích thành tổng f) Công thức tổng thành tích

1

2 1

2 1

2



3 Hằng đẳng thức thường dùng

2

4 Phương trình lượng giác cơ bản

khi 1

2

2

m









 





   





khi 1

2

2

m











 





  





tan ( )f x  m f x( ) arctan m k ; tanxtan  x  k

cot ( )f x  m f x( ) arccot m k ; cotx cot  x   k

5 Phương trình thường gặp

a Phương trình bậc 2

2

2

.t

a

cos

1

tan ( )

f x

b Phương trình dạng asin ( )f x bcos ( )f x c

 Điều kiện có nghiệm: a2 b2 c2

 Chia 2 vế cho a2 b2 , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos.

c Phương trình đẳng cấp

 Dạng a.sin2x b sin cosx x c cos2x d

 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.

 Xét cosx 0, chia 2 vế cho cos 2 x để được phương trình bậc 2 theo tanx.

 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.

 Dạng a.sin3x b sin2xcosx c sin cosx 2x d cos3x0

 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.

 Xét cosx 0, chia 2 vế cho cos 3 x để được phương trình bậc 3 theo tanx.

 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.

d Phương trình đối xứng loại 1: a(sinxcos )x b.sin cosx x c

 Đặt t = sinx cosx, điều kiện t  2

 Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.

e Phương trình đối xứng loại 2 : atann xcot )n x b(tanxcotx 0

 Đặt t = tanx - cotx thì t R ; Đặt t = tanx + cotx thì t 2.

 Chuyển về phương trình theo ẩn t.

f Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát

 Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản

 Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích.

 Phương pháp đặt ẩn phụ.

 Phương pháp đối lập.

 Phương pháp tổng bình phương.

B BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Dạng 1 : Phương trình lượng giác cơ bản.

1 cos sin 2 0

3

cos

x

7 cos 24 xsin 3x sin 24 x 8 tan 1 tan

4

4

10 sin4xcos4xcos4x 11 cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) 12 sin + cos =

cos cos 2 cos4

16

x x x 15 sinsinx 1

16

4sin 2x6sin x3

Bài 2 : Cho phương trình tancosx cotsinx

1 Tìm điều kiện xác định của phương trình.

2 Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn 3 ;  của phương trình.

Bài 3 : Cho phương trình sin6 x + cos 6 x = m.

1 Xác định m để phương trình có nghiệm.

2 Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng 0;

Bài 4: Giải và biện luận phương trình 2m 1 cos 2 x2 sinm 2 x3m 2 0

Dạng 2 : Phương trình bậc nhất, bậc hai.

Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

2

x x 

2

x x x

5 2 2 cos 32 x 2 2 cos3 x 1 0 6 cos4 sin4 2sin 1

x

2

x x    x 

4

4cot 2

x







sin 2

x

16

13 4cosx cos 4x  1 2cos2x 14 4sin5xcosx 4cos sin5 x x cos 42 x1

15 cos 4xcos 32 x cos2x1 16 sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x

Bài 2 : Cho phương trình sin 3x m cos 2x (m1)sinx m 0

1 Giải phương trình khi m = 2.

2 Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng 0;2

Dạng 3 : Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx.

Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

3 sin4 cos4 1

4

x x 

2

9 sin cosx x sin2x cos2x 10 tanx 3cotx4 sin x 3 cosx

11 2sin 3x 3 cos7xsin 7x 0 12 cos5x sin3x 3 cos3 x sin 5x

13 2sinx cosx 1 cos x sin2x 14 1 cos xsin 3x cos3x sin 2x sinx

3

x x x  

Bài 2 : Cho phương trình 3 sinm x2m 1 cos x3m1

1 Giải phương trình khi m = 1.

2 Xác định m để phương trình có nghiệm.

Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y



y

x





y



2

y







Dạng 4 : Phương trình đẳng cấp Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 2sin2xsin cosx x 3cos2x0 2 2sin 2x 3cos2x5sin cosx x 2 0

3 sin2 xsin 2x 2cos2x0,5 4 sin 2x 2sin2x 2cos 2x

os x sin sin x

3sin x 4sin 2x 8 3 9 cos  x 0 8 2cos3x3cosx 8sin3x0

3

2cos 2

x

4

4

Bài 2 : Cho phương trình msin2x m 3 sin 2 xm 2 cos 2 x0

1 Xác định m để phương trình có nghiệm.

2 Xác định m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc khoảng 0,

4



Dạng 5 : Phương trình đối xứng loại 1 Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 2 sin xcosx sin 2x 1 0 2 sin cosx x6 sin x cosx 1

4

x x   

5 sin3xcos3x1 6 1 sin  x 1 cos  x  2

4

9 sinxcosx4  3sin 2x 1 0 10 cos3x sin3xcos 2x

11 sin3xcos3x2 sin xcosx 3sin 2x0 12 sinx cosx3  1 sin cosx x

Bài 2 : Cho phương trình cos3x sin3x m Xác định m để phương trình có nghiệm.

Dạng 5 : Phương trình đối xứng loại 2 Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 3 tan xcotx  2 tan 2xcot2 x 2 0 2 tan7xcot7x tanxcotx

3 tanxtan2xtan3xcotxcot2xcot3x6 4 9 tan xcotx4 48 tan 2xcot2x 96

5 3 tan x cotxtan2xcot2x6 6 3 tan x cotx4 8 tan 2x cot 2x  21

Bài 2 : Cho phương trình tan2xcot2x2m2 tan  xcotx  m m2 Xác định m để phương trình

có nghiệm.

Dạng 6 : Biến đổi tương đương dưa về dạng cơ bản

Giải các phương trình lượng giác sau :

8

3 sin3xcos3x2 ins 5xcos5 x 4 8 8  10 10  5

4

5 sin cot 5

1 cot

Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích bằng 0

1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0

3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin 3 x+2cosx-2+sin 2 x=0

2 sin2x+ 2 cos 2 x+ 6 cosx=0 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin 3 sin 5

9/ 2cos2x-8cosx+7= 1

cos x 10/ cos 8 x+sin 8 x=2(cos 10 x+sin 10 x)+5

4 cos2x 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0

13/ sin 2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14/ 2sin3x- 1

sin x=2cos3x+ 1

cos x 15/cos 3 x+cos 2 x+2sinx-2=0 16/cos2x-2cos 3 x+sinx=0

17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1

cos x)=0 18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x

Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích thành tổng, hoặc tổng thành tích Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x 2 sin 2 x + sin 2 2x = sin 2 3x + sin 2 4x

2

x x x

1

9 sin6x.sin2x = sin5x.sin3x 10 2 + sinx.sin3x = 2 cos 2x

Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1/ sin 2 x+sin 2 3x=cos 2 2x+cos 2 4x 2/ cos 2 x+cos 2 2x+cos 2 3x+cos 2 4x=3/2

3/sin 2 x+ sin 2 3x-3 cos 2 2x=0 4/ cos3x+ sin7x=2sin 2 ( 5

x



 )-2cos 2 9

2

x

5/ sin 2 4 x+ sin 2 3x= cos 2 2x+ cos 2 x 6/sin 2 4x-cos 2 6x=sin( 10,5  10x)

7/ cos 4 x-5sin 4 x=1 8/4sin 3 x-1=3- 3 cos3x

9/ sin 2 2x+ sin 2 4x= sin 2 6x 10/ sin 2 x= cos 2 2x+ cos 2 3x 11/ 4sin 3 xcos3x+4cos 3 x sin3x+3 3 cos4x=3 12/ 2cos 2 2x+ cos2x=4 sin 2 2xcos 2 x

Dạng 8 : Đặt ẩn phụ

Giải các phương trình lượng giác sau :

1 tan 2x 2 tanxsin 2x0 2 cosx 2 cos 2x cosx 2 cos 2x 3

Dạng 9 : Phương pháp đối lập

Giải các phương trình lượng giác sau :

1 sin3xcos4x1 2 sin2010xcos2010x1

3 3cos2x 1 sin 72 x 4 sin3 cos4x x 1

Dạng 10 : Phương pháp tổng bình phương

Giải các phương trình lượng giác sau :

1 cos 2x cos6x4 3sin x 4sin3x1 0 2 3sin 2x 2sin2x 4cosx 6 0

3 2sin 2xcos 2x2 2 sinx 4 0 4 cos2x 3sin 2x4sin2x 2sinx 4 2 3cosx

C BÀI TẬP TỔNG HỢP

cos x 3 sin 2x  1 sin x

Bài 2 cos 3x 4sin 3x 3cos sinx 2x sinx 0

Bài 3 Giải phương trình: sin 2x 2 tanx 3 sin sin 2x x sin 3x 6cos3x

x

x



Bài 5 sin 3x cos3x 2cosx 0

Bài 6 sinx 4sin 3x cosx 0

tan sinx x 2sin x 3(cos 2x sin cos )x x

Bài 8 cos3x 4cos 2x 3cosx 4 0 

Bài 9 (2cosx 1)(2sinx cos ) sin 2x  x sinx

Bài 10 cosx cos 2x cos3x cos 4x 0

Bài 11 sin 2 x sin 3 2 x cos 2 2 x cos 4 2 x

Bài 12 sin 3xcos3x cos 3xsin 3x sin 4 3 x

Bài 13 4sin 3x 3cos 3x 3sinx sin 2 xcosx 0

Bài 14 Giải phương trình: (2sinx 1)(3cos 4x 2sinx 4) 4cos  2 x 3

Bài 15 sin 6x cos 6x 2(sin 8x cos ) 8x

Bài 16 cos cos 2 cos 4 cos8 1

16

3

Bài 18 Giải phương trình: (2sinx 1)(2sin 2x 1) 3 4cos   2 x

Bài 19 Giải phương trình: cos 2x cos8x cos 6x 1

Bài 20 Giải phương trình: sin 4x 4sinx 4cosx cos 4x 1

Bài 21 Giải phương trình: 3sinx 2cosx  2 3 tanx

Bài 22 Giải phương trình: 2cos 3x cos 2x sinx 0

Bài 23 Giải phương trình: 2(tanx sin ) 3(cotx  x cos ) 5 0x  

Bài 24 Giải phương trình: 4 cosx 2cos 2x cos 4x 1

cos cos 2 cos3



6

x x   x x x

Bài 27 Giải phương trình: 1 sin sin cos sin2 2 os2

Bài 28 Giải phương trình: 2cos 2x sin 2x 2(sinx cos )x

Bài 29 Giải phương trình: cos cos 2 cos3 1

2

4

Bài 31 Giải phương trình: 1 sin  x cosx sin 2x cos 2x 0

Bài 32 Giải phương trình: tanx tan 2x tan 3x cotx cot x cot x  2  3  6

Bài 33 Giải phương trình: 1 sin 3  x sinx cos 2x

x x x   x

Bài 35 Giải phương trình: cos 2 2 x 2(sinx cos )x 3  3sin 2x 3 0 

Bài 36 Giải phương trình: 4(sin 3x cos 2 ) 5(sinx  x 1)

Bài 37 Giải phương trình: sinx 4sin 3x cosx 0

Bài 38 Giải phương trình: cos10x  1 cos8x 6cos3 cosx x cosx 8cos cos 3x 3 x

Bài 39 Giải phương trình: sin4 cos4 1

x x

cos cos3 sin sin 3

4

Bài 41 Giải phương trình: (sinx sin 2x sin 3 )x 3  sin 3x sin 2 3 x sin 3 3 x

cos sin

x

D GIỚI THIỆU ĐỀ THI TUYỂN SINH CÁC NĂM

A02:T×m n o thuéc (0;2 ) cña PT:





cosx sin3x

1 2sin2x B02: GPT: sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x.2  2  2  2

D02: T×m n o thuéc [0;14] cña PT:

cos3 4cos2 3cosx x x 4 0

A03: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

 B03: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

sin 2x

D03: Gi¶i ph¬ng tr×nh

2

2 4



B04: Gi¶i ph¬ng tr×nh

5 sin x 2 3 1 sin x tan x.   2

D04: Gi¶i ph¬ng tr×nh

2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x.    

A-05: GPT: cos 2 3x.cos2x-cos 2 x = 0

A-06: GPT: 2 sin 6 cos6  sin cos

0

2 2sin

x





B-06: GPT: cot sin 1 tan tan 4

2

x

D-06: GPT: cos3x+cos2x-cosx-1=0

A07: GPT: (1 sin ) cos (1 cos ) sin 1 sin 2

2 B07: GPT: 2sin 2 sin 7 1 sin

2 D07: GPT: sin cos 3 cos 2

x

  

A08: GPT

3

2

x







B08: GPT sin3x 3 cos3xsin cosx 2x 3 sin2xcos x

D08: GPT

2sin (1 cos 2 ) sin 2 x  x  x   1 2 cos x

A09: GPT

(1 2sin ) cos

3 (1 2sin )(1 sinx)

x





B09: GPT sinx cos sin 2 x x 3 os3c x2( os4c xsin ).3x

D09: GPT

A10: GPT

(1 sinx os2 )sin

1

x



 B10: GPT

D10: GPT

sin 2 x c  os2 x  3sin x  cos x   1 0.