Khảo sát độ cong gauss độ cong trung bình và đường khắc địa của lớp các mặt thông dụng mặt cực tiểu

Khảo sát tính chất nội tại là một trong những vấn đề được quan tâm khi nghiên cứu hình học vi phân trên đa tạp vì vậy khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình và đường trắc địa của lớp

LỜI NÓI ĐẦU

Trong vài thập niên gần đây Hình học vi phân phát triển rất mạnh, đối tượng nghiên cứu là hình học trên các đa tạp khả vi mà cơ sở ban đầu của nó là lý thuyết đường, mặt trong E3 Việc nắm vững các kiến thức ở bước này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho nghiên cứu hình học vi phân sau này

Khảo sát tính chất nội tại là một trong những vấn đề được quan tâm khi nghiên cứu hình học vi phân trên đa tạp vì vậy khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình và đường trắc địa của lớp các mặt thông dụng là vấn đề không thể thiếu Đề tài của tôi đặc biệt quan tâm đến vấn đề này

Luận văn gồm 3 chương

- Chương 3:

Trong lớp các mặt đa tạp trên ta quan tâm đặc biệt đến mặt có độ cong trung bình H =

0 mà ta gọi là mặt tối tiểu

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với thầy Nguyễn Hà Thanh Tiến sĩ giảng viên khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã hết sức tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Tôi cũng xin cảm ơn các Thầy Cô trong khoa đã nhiệt

tình giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập, cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ – Sau Đại học và bạn bè trong lớp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐƯỜNG – MẶT TRONG E3

Chương này dành cho việc nhắc lại các kiến thức cơ bản về lý thuyết đường và mặt cùng với các kết quả đã có nhằm làm cơ sở cho việc tính toán và khảo sát trong các chương còn lại

:

t t

:

t r t

E I



→ (I , J là những khoảng trong R;  và r khả vi ) gọi là tương đương nếu có vi phôi

1.1.2 Điểm chính quy và điểm kỳ dị

Cho cung  xác định bởi

)(

:

t t

Điểm to của  mà ’ (t0)  0 gọi là 1 điểm chính quy của 

còn nếu ’ (t0) = 0 gọi là 1 điểm kỳ dị của 

Cung mà mọi điểm là chính quy gọi là một cung chính quy

1.1.3 Độ dài cung và tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy

a/- Độ dài cung :

Cho cung tham số  : [ a ,b ] → En xác định trên đoạn thẳng [ a ,b ], giả sử  liên tục Với mỗi phép chia a = t0 < t1 <t2 < tm = b , lập tổng

a

  ' ( )

c/- Tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy

Định nghĩa: Một tham số hóa r :I → Encủamột cung chính quy  gọi là một tham số hóa tự nhiên của nó nếu r ' t ( ) = 1 (còn gọi là tham số hóa độ dài cung )

Chú ý :

-Mọi cung chính quy ( kể cả chính quy định hướng) đều có tham số hóa tự nhiên

-Tham số hóa  : J → En của cung chính quy định hướng là một tham số hóa tự nhiên của

 khi và chỉ khi ’ là vectơ tiếp xúc đơn vị T dọc 

1.2.Cung song chính quy trong E 3 – Độ cong – độ xoắn

K dọc  là

ds

1.2.2 Các định nghĩa

- Điểm của  ứng với t trong tham số hóa t   (t) của nó còn gọi là

một điểm song chính quy ( của ) nếu hệ hai vectơ ’(t), ’’(t) độc lập tuyến tính Mặt phẳng mật tiếp với  tại điểm đó là 2 phẳng đi qua  (t) với không gian vectơ chỉ phương <

- Một cung song chính quy là 1 cung chính quy

- Cung chính quy là một cung song chính quy  độ cong của nó khác 0 tại mọi điểm

Thật vậy trong tsh tự nhiên s → r(s) của , T (s) = r’(s),

ds

DT T = 0 nên { r’ ,

ds Dr' }

độc lập tuyến tính khi và chỉ khi

ds

DT ds

Dr ='  0

-Xét trường vectơ

ds

Dt dọc cung song chính quy  trong E''

Đặt N = DT/ds DT / ds thì được trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc  Từ (1) ta

Vậy cho cung song chính quy định hướng  trong E3, có trường mục tiêu trực chuẩn { T ,

N , B } dọc  gọi là trường mục tiêu Frénet dọc 

Khi đó do : B.B = 1 nên

w Uj ( wij = - wji )



ds

r U

1.2.4 Công thức tính độ cong và độ xoắn

Cho cung song chính quy định hướng  trong E3 xác định bởi 1 tham số hóa

s r s

E I r



→

Của  thì có phép đổi tham số  : J → I để  = ro (’ > 0 )

Gọi { T , N , B } là trường mục tiêu Frénet dọc 

Từ công thức Frénet cho :

) ( ' ) ( '

t

t t

Do ’  ’’ cùng phương với B0  nên để tính (’  ’’) ’’’ , chỉ cần xét thành phần chứa

B0  trong khai triển ’’’ theo { T0  ; No ; Bo }

''')'''(

Tức là T (t) =

2

)('')('

)(''')('')('(

t t

t t

1.2.5 Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong E 3

Cho hai hàm số K và T ( Khả vi lớp C ,   0 )

Trên khoảng J  R và K có giá trị dương Khi đó

+ Có tham số hóa tự nhiên r : J → E3 (khả vi lớp C+2 ) của một cung song chính quy định hướng trong E3 nhận K và T làm độ cong và độ xoắn

+ Nếu có hai tham số hóa r và  của 2 cung như thế thì có đẳng cấu afin trực giao bảo tồn hướng tức một phép dời hình f của E3 mà r = fo

1.2.6 Cung trong E 2 (cung phẳng )

Cung chính quy định hứơng trong E2 và độ cong của nó

Gọi T là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc cung chính quy định hướng  trong E2 Giả sử

E2 đã có hướng thì xác định được trường véctơ dọc  sao cho

{ T , N } là trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc  gọi là trường mục tiêu Frénet dọc  ; N gọi là trường véctơ pháp tuyến đơn vị dọc 

Với mọi tham số hóa tự nhiên s → r (s) của , trường vectơ

ds

DT không phụ thuộc tham

số đó và do TT = 1 ,

 là cung chính quy định hướng trong E2 ( có hướng) xác định bởi tham số hóa  : J

→ E2 Lấy một tham số hóa tự nhiên

T   (t)

r : I → E2 thì  có phép biến đổi tham số  : J → I để  = ro S

Gọi { T , N } là trường mục tiêu Frénet dọc  , coi nó là trường mục tiêu dọc cung tham

số r và coi độ cong K của  là hàm số dọc  thì công thức Frénet cho T = r’ ,

ds

DT =

ds Dr' = K

)(')('

1

t y t

x + ( x’ (t) , y’(t) )

→

N( (t) ) = →N(t) =

2 2

)(')('

1

t y t

x + ( - y’(t) , x’(t) )

’’(t) = ( x’’(t) , y’’(t) )

nên Ko =

2 3 2

2 ' ) '

(

' ' ' '

y x

y x y x

+

−

tức K (t) =

2 3 2

2( ) ' ( ) ) '

(

) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( '

t y t x

t y t x t y t x

+

−

§ 2 MẶT TRONG E3

2.1 Mảnh tham số – Các định nghĩa

+ Ánh xạ r từ một tập mỡ U trong R2 vào không gian Euchide n chiều En

r : U → En

( u , v )  r ( u , v ) Gọi là một mãnh tham số trong En

+ Với điểm ( uo , v0 )  U Cung tham số u  r ( u , vo) trong En ( ở đây u thay đổi trong khoảng J C R nào đó , uo J ) gọi là đuờng tọa độ v = vo ( hay đường tọa độ u qua ( uo , vo ) )

▪ Cung tham số v  r ( uo , v ) trong En gọi là đường tọa độ u = uo ( hay đường tọa độ v qua (uo , v0 ))

▪ v  r’ ( u , vo )  r1 ( u , v0 ) là một trường vectơ tiếp xúc dọc đường toạ độ u

▪ v  r’ ( uo , v )  r2 ( uo , v) là một trường vectơ tiếp xúc dọc đường toạ độ v

▪ ( u , v )  r1 ( u , v) , r2 ( u , v ) là những vectơ dọc r

+ Điểm (uo , v0 ) gọi là một điểm chính quy của mảnh tham số r nếu r dìm tại (uo , v0 ) tức là nếu r1 (uo , v0 ), r2 (uo , v0 ) độc lập tuyến tính ( 2 vectơ này thuộc n

o v o u

T ( , )

Điểm không chính quy gọi là điểm kỳ dị Mảnh tham số r gọi là chính quy nếu mọi điểm của nó là điểm chính quy

+ Tại điểm chính quy (uo , v0 ) của mảnh tham số r, gọi 2 phẳng trong En đi qua r (uo , v0

), với không gian vectơ chỉ phương < →r1 (uo , v0 ), r→2 (uo , v0 ) > là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của r tại (uo , v0 ) Khi n = 3 , đường thẳng

qua r (uo , v0 ) thẳng góc với tiếp diện tại (uo , v0 ) gọi làpháp tuyến của r tại

(uo , v0 )

+ Trong tọa độ afin ( x , y , z ) của E3 , viết

r ( u , v ) = ( x (u , v ) , y ( u, v ) , z u , v )) trong đó (u , v )  x (u , v) , y ( u, v ) , z (u , v) là những hàm số trên U )

Phương trình tiếp diện của r tại (uo , v0 ) là

,()

,()

,(

),()

v,(u)

,(

),()

,()

,(

2 2

0 2

1 o

o 1

o o

o o o

o

o o o

o o

o

v u z v

u y v

u x

v u z y

v u x

v u z Z v

u y Y v

u x X

và khi tọa độ đó là Descartes vuông góc thì phương trình pháp tuyến của r tại (uo, vo ) là :

),()

,

(

),()

,

(

),(

2 0

2

1 1

o o o

o o o

o

o o

v u z v

u

y

v u z v

u

y

v u x

X −

=

),(),(

),(),(

),(

2 0 2

1 1

o o o

o o o

o

o o

v u x v u z

v u x v u z

v u y

Y −

=

),(),(

),(),(

),(

2 0 2

1 1

o o o

o o o

o

o o

v u y v u x

v u y v u x

v u z

Z −

+ Hai mảnh tham số trong En r : U → En , r~ ; U~ → En

gọi là tương đương nếu có vi phôi  : U → U~ để r = r~o 

Đó là một quan hệ tương đương; mỗi lớp tương đương đó gọi là một mảnh trong En

và r gọi là một tham số của mảnh

+ Nếu n = 3 và mảnh chính quy thì vectơ đơn vị

2 1

2 1

r r

r r



 tại điểm ứng với (u,v) trong một

tham số hóa r của nó là hoàn toàn xác định ( tức không phụ thuộc vào tham số hóa đã chọn) và phương của nó chính là phương của pháp tuyến của mảnh tại điểm đó

2.2 Ánh xạ WEINGARTEN

2.2.1 Định nghĩa :

S là một mặt trong E3 có hướng xác định bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n trên S Vì với mọi   TpS Dn n = 0 ( do n2 = 1 ) nên Dn  TpS ; do đó có ánh xạ

hp : TpS → TpS   hp ( ) = - Dn gọi là ánh xạ Weingarten tại p

Cụ thể là lấy cung : J → S , ’ (to) =  thì hp ( ) là vectơ buộc tại p mà

→

)(

p

h = - (n→o)'(to)

Rõ ràng hp là một tự đồng cấu (tuyến tính) của TpS Khi p thay đổi ký hiệu chung các hp

đó là h Ánh xạ này đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu hình dạng S trong E3 nên đôi khi gọi là ánh xạ dạng

gọi là độ cong trung bình tại p của S

Từ các tính chất của tự đồng cấu tuyến tính đối xứng ta suy ra có một và chỉ một trong hai trường hợp sau:

a/- Trường hợp 1

hp có 2 giá trị riêng phân biệt thực, khi đó hai phương chính tại p hoàn toàn xác định và vuông góc với nhau Gọi hai giá trị riêng đó K~1, k~2 thì có hệ vectơ riêng trực chuẩn {e1 , e2} của TpS , hp(e1)= k~1 e1 , hp (e2)= k~2e2

Độ cong Gauss tại p là K(P) = 1

Điểm p  S gọi là điểm eliptic hay hyperbolic hay parabolic của S tuỳ K(p) dương, âm hay bằng 0

là những dạng song tuyến tính đối xứng trên TpS ; chúng được gọi theo thứ tự là

dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của S tại p Người ta ký hiệu Ip (,) =Ip () ,

IIp (, ) = II ( )và khi p thay đổi dùng ký hiệu I và II

Trong tham số hóa địa phương ( u , v )  f (u,v) của S xét các hàm số trên U sau :

2 1

f f

f f





2.3.2 Độ cong pháp dạng – Công thức Euler – Công thức Meusnier

S là một mặt có hướng trong E3

 là 1 cung chính quy nằm trong S ,  : J → S

s   (s) là một tham số hóa tự nhiên của 

So và ta được K (So) N (S0) n (  (So) ) = II (T(So)) công thức này dẫn đến định nghĩa

Định nghĩa:

 là vectơ khác 0 của TpS thì đặt K~ ( ) =

)(

)(





I

II số đó không đổi khi thay  bằng 

 ,  là số thực khác 0 tùy ý nên nó được gọi là độ cong pháp dạng của S theo phương xác định bởi 

Khi đó công thức trên trở thành

K (So) N (S0) n ( (So)) = K~ ( T (So) Nó được gọi là công thức Meusnier

- Với mỗi vectơ riêng e của hp , hp (e) = k~ e, thì k~ e =

) (

) (

e I

e

e e

e e

k ~

.

k~2 là các độ cong chính của S tại p

Nếu  = cos e1 + Sin  e2 thì

k~( ) = II ( ) = hp ( ) 

= hp (cos e1 + Sin  e2 ) (cos e1 + Sin  e2 ) = (k~,cos e1 + k~2 Sin  e2 ) (cos e1 + Sin  e2 )

Vậy ta có K~( ) = K~1 cos2 + K~2 sin2

Đó là công thức Euler Từ công thức Euler, ta thấy

a/- Các độ cong chính của S tại p là các cực trị của k~() Khi  thay đổi trong TpS – { 0 }

b/- Nếu các độ cong chính k~1 , k~2 cùng dấu thì k~() cũng có dấu đó với mọi   TpS – {0};nếu các độ cong chính k~1 , k~2 khác dấu thì có   TpS -{0 }

:

t t

S J

+ Trong tham số hóa địa phương ( u , v )  r ( u , v ) của S hệ số F của dạng cơ bản

I triệt tiêu tại mọi điểm, có nghĩa các đường tọa độ thẳng góc; khi đó hệ số M của dạng cơ bản

II triệt tiêu tại mọi điểm có nghĩa các đường toạ độ là đường chính khúc của S

c/- PT vi phân của họ các đường chính khúc trong tham số hóa địa phương

* r :

) , ( ) , ( u v r u v

S U

Xác định một phương chính của S tại r (u , v ) = p khi và chỉ khi có số k~để a n1 + bn2 =

- k~ ( a r1 + br2 ) tại (u ,v ) tức khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm k~

aL + b M = - k~ (a E + b F ) ( tại u , v )

aM + b N = - k~ ( a F + b G ) Để ý rằng aE + bF , aF + bG không đồng thời triệt tiêu, điều kiện đó có nghĩa là

bG aF bF aE

bN aM bM aL

++

++

= 0 tại (u, v) ; nó còn có thể được viết dạng

G F E

N M L

a ab

= 0

tại ( u , v ) Vậy phương trình vi phân cần tìm là

Gdv Fdu

Edu Edu

Ndv Mdu Mdv

Ldu

++

++

= 0 hay còn có thể viết

G F

E

N M

L

du dudv

= 0

* Tại mọi điểm không phải là điểm rốn của S thì hai phương chính hoàn toàn xác định

nên dễ thấy trong lân cận một điểm p không phải điểm rốn của S, có tham số hóa địa phương r :

U → S của S, p  r ( U ) sao cho các đường tọa độ là đường chính khúc của S trong lân cận đó

2.4.2 Đường tiệm cận

a/- Định nghĩa

Phương xác định bởi   TpS – {0} gọi là một phương tiệm cận của S tại p nếu độ cong pháp dạng của S theo phương đó là 0 , k~( ) = 0

Đường trên S mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là một phương tiệm cận của S tại điểm đó gọi là một đường tiệm cận của S

b/- Tính chất

- Mỗi cung thẳng nằm trên S là một đường tiệm cận của S ( công thức Meusnier)

- Nếu đường  trên S có độ cong khác o tại mọi điểm thì nó là một tiệm cận của S khi và chỉ khi mặt phẳng mật tiếp của  tại mỗi điểm

là tiếp diện của S tại p ( công thức Meusnier)

▪ L = 0 khi và chỉ khi các đường tọa độ u là đường tiệm cận

▪ N = 0 khi và chỉ khi các đường tọa độ v là đường tiệm cận Lưu ý:

Dọc đường tiệm cận  của S, độ cong Gauss của S không dương : K (p )  0

với mọi p   ( công thức Euler)

c/- Phương trình vi phân của họ các đường tiệm cận trong tham số hóa địa phương

) , ( ) ,

(

:

v u v

u

S U r

tại ( u , v ).Vậy phương trình vi phân cần tìm là

Ldu2 + 2M dudv +N dv2 = 0

* Tại mọi điểm p  S mà độ cong Gauss K (p) < 0 , hai phương tiệm cận hoàn toàn xác định ( xem lại công thức Euler ) nên dễ thấy trong một lân cận một điểm p như thế của S, có tham số hóa địa phương : r : U → S , pr ( U ) sao cho các đường tọa độ là các đường tiệm cận của S trong làn cận đó

2.4.3 Cung trắc địa – độ cong trắc địa

a/- Độ cong trắc địa

Xét tham số hóa t →  (t)  S của một cung chính quy định hướng  trên mặt S trong E3

( S định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n ) thì hàm số

t

3

) ( '

không phụ thuộc tham số hóa đã chọn của  ( nên là 1 hàm số dọc  )

Thật vậy, trong tham số hóa tương đương o  ( là phép biến đổi tham số, ’ > 0 )

Chú ý : + Khi đổi hướng của cung  thì độ cong trắc địa của nó đổi dấu

+ Tại điểm không song chính quy của cung , độ cong trắc địa của nó triệt tiêu + Khi S là một bộ phận của mặt phẳng E2 (coi nằm trong E3) độ cong trắc địa của cung định hướng  trên S chính là độ cong của cung phẳng

b/- Với mỗi cung chính quy định hướng  trên mặt S trong E3 Gọi T là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc  , xây dựng trường vectơ Y = ( no )  T thì được một trường mục tiêu trực chuẩn dọc  là ( T , Y , no ) gọi là trường mục tiêu Darboux dọc 

Nếu s  (s) là tham số hóa tự nhiên của cung song chính quy định hướng  trên mặt S thì độ cong trắc địa của nó thoả mãn

kg = K.N.Y Trong đó K là độ cong của , N là trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị dọc 

Thậy vậy: Kg (s) = ( (s)  →'  (s) ) →'' →n( (s) )

= K (s) ( T→(s)  N→ (s)) →n ( (s) ) = K (s) (→n ((s))  T→ (s)) N→ (s) = K (s) Y→(s) N→ (s)

c/- Nếu cung song chính quy định hướng  ( xác định bởi tham số

t   (t) ) trên mặt S có độ cong trắc địa tại t là kg (t)  0 thì điểm

 (t) +

)(

1

t

k g là tâm cong tại t của hình chiếu vuông góc 1, của cung  lên mặt phẳng tiếp xúc với S tại p = (t) ( tức kg (t) là độ cong tại  của cung phẳng 1)

d/ S là một mặt trong E3 định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n

- Cung chính quy trên mặt S gọi là một đường tiền trắc địa của S nếu độ cong trắc địa của nó đồng nhất triệt tiêu

Từ đó suy ra mọi cung thẳng trên S là đường tiền trắc địa của S và cung song chính quy trên S là đường trắc địa của S khi và chỉ trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị của nó

N =  n o ( Kg  0  k ( T  N ) ( no )= 0

 N và no cùng phương)

- Cung tham số t   (t) trên mặt S gọi là một cung trắc địa của S nếu ’’ và no cùng phương Coi t   (t) là quỹ đạo chuyển động của một chất điểm dưới tác động của một lực thì

 là một cung trắc địa của S khi và chỉ khi lực tác động luôn thẳng góc với S dọc quỹ đạo đó

Nếu t    S là một cung trắc địa của S thì t →  ' t ( ) là hàm hằng do lúc đó ’’ ’ =

0

Cung hằng (’= 0 ) là cung trắc địa (tầm thường) của S ; ảnh của nó là 1 điểm thuộc S Cung trắc địa không tầm thường của S là tham số hóa vận tốc hằng của một đường tiền trắc địa Ngược lại, tham số hóa vận tốc hằng của một đường tiền trắc địa của S là một cung trắc địa của S vì trong tham số hóa t  (t) như thế, do  ' là hằng, nên ’’ ’= 0 từ đó kg  0 

’’và no cùng phương Vậy có thể nói : đường tiền trắc địa của S là cung chính quy trên S thừa nhận một tham số hóa là cung trắc địa của S

2.5 TÓM TẮT SƠ LƯỢC VỀ MẶT- CÔNG THỨC TÍNH TOÁN

Trong phần này chúng ta sẽ liệt kê tất cả những kiến thức chi tiết quan trọng về mặt một cách có hệ thống cùng với những tính chất của chúng Thông thường chúng ta giới thiệu một mặt địa phương như là ảnh của một phép dìm f : U →R3, chúngta thu thập ở đó những công thức từ những phần đã học và thêm vào đó một vài công thức cho việc tính toán thực tế

E = < f1 , f1 > F = < f1 , f2 > G = < f2 , f2 >

n =

2 1

2 1

f f

f f



 =

2 2 1

F EG

f f

11

det

F EG

f f f

12

det

F EG f f f

22

det

F EG f f f

F G

F

1

( fi , gij , Lij nhận giá trị tại ( s, t ) ; ở đó p = f ( s , t ) )

Những độ cong chính K1 , K2 là những giá trị riêng của ma trận này và độ cong Gauss K

= K1 K2 , độ cong trung bình H =

Vì vậy K= và H = (B)

EG – F2 2 (EG – F2 ) (Dấu của H phụ thuộc vào dấu của n, dấu của K thì không phụ thuộc )

Trong phương trình (B) , những vế trái H và K nhận được giá trị tại

p = f(s, t ) những vế phải nhận được giá trị tại ( s , t ) ; những quy ước tương tự sẽ được sử dụng trong những phương trình còn lại

Do K1 , K2 là những nghiệm của phương trình 2 - 2 H  + K = 0 ta có

K1, K2 = H H −2 K ( C )

(Dấu của K1 , K2 thay đổi khi dấu của n thay đổi )

Thông thường người ta thực sự khó khăn để tìm những hướng chính của vectơ riêng của -

hp Chúng ta nhắc lại rằng :

af1 + a2f2 là một vectơ chính nếu và chỉ nếu

2

1 2 1

2

a − det E F G = 0 (D)

L M N Khi K1 = K2 thì mọi phương là phương chính Ở đây K (p) = K1 K2 = 2

1

K

và H (p) = K1 Điểm P như vậy gọi là một điểm rốn của s

Tại một điểm rốn ta có :

L = K E , M = KF N = KG với K1 = K2 = K (E)

Dấu của K phụ thuộc vào n

Điều này có thể cũng được suy ra từ ( D ) bởi vì định thức phải bằng 0 với mọi sự lựa chọn của a1 , a2

Cũng rõ ràng là

a1 f1 + a2 f2 là một vectơ tiệm cận nếu và chỉ nếu ( F )

La2

1 + 2M a1a2 + N a2

2 = 0 Cuối cùng cũng dễ thấy rằng

Nếu F = M = 0 tại một điểm thì f1 và f2 là những vectơ chính tại đó và

2 1

2 1

1

)1,,(

h h

h h

++

−

− (A’)

L =

2 2 2 1

11

h

++ M =

2 2 2 1

12

h

++ N =

2 2

2 1

22

h

++

K =

2 2 2

2 1

2 12 22

11

) 1

h h

h

+ +

−

( B' )

H =

2 / 3 2 2

2 1

12 2 1 11

2 2 22

2 1

)1

(2

2)

1(

)1

(

h h

h h h h

h h

h

++

−+

++

K1, K2 = H  H −2 K ( C' )

a1f1 + a2f2 = ( a1 , a2 , a1h1 + a2h2 ) là một véctơ chính nếu và chỉ nếu :

01

1det

22 12

11

2 2 2

1

2 1

2 1 2

1

2 2

−

h h

h

h h

h h

a a

a a

(D’)

h11 = K (1 + h2

1 ) h12 = K h1 h2 h22 = K ( 1 + h2

2 ) tại một điểm rốn với K1 = K2 = K 2

2

2 1

1+h +h (E’)

a1f1 + a2f2 = (a1 , a2 , a1h1 + a2h2 ) là một vectơ tiệm cận

nếu và chỉ nếu : (F')

a w

a w

i a w a

 ( wi j xác định tại p )

Nghĩa là những độ cong chính K1 , K2 tại p bằng

Dùng nhân tử lagrang, những cực trị đó xãy ra tại( a1 , a2 , a3 )  S nếu và chỉ nếu có ,

3 2 1

3 2 1

2)

(

w w w

a a a

a a

3 2 1

w w w

w w

w I

3 2 1

2 1

1

3 2 1

3 2 1

3 2

1

)(

w a w

a w

a

w w

w t a

a a

a a

a

Chúng ta thấy rằng ( )luôn chính xác khi có tồn tại (a1 , a2 , a3 , t )  0

Vì vậy vế phải của phương trình trên là cột vectơ 0 Như vậy muốn có những giá trị  thì vế trái ma trận 4 x 4 có định thức bằng 0 :

w w w

.1

2 3

2 2

3 2 1

3 2 1

w w w

w w

w I

++

)(

2

1

2 1

2 3 3 1

2 2 3

2

2 1 2 / 3 2 3

2 2

2 1

Trong tất cả các công thức đã cho ở trên, dấu của K1 , K2 và của H phụ thuộc vào dấu của

n như là vectơ đã chuẩn hóa ( w1 , w2 , w3 )

Vì  là một vectơ chính nếu và chỉ nếu < hp ( )   ,n > = 0

chúng ta thấy rằng :

 = (a1, a2, a3 )p là một vectơ chính nếu và chỉ nếu

( D'' ) det 0

3 3 1 3

2 2 2

1 1 1 1

a w a w

a w a w

i

i i

CHƯƠNG 2

KHẢO SÁT ĐỘ CONG TRUNG BÌNH VÀ

ĐỘ CONG GAUSS CỦA MẶT ĐỘ CONG TRẮC ĐỊA - CUNG TRẮC ĐỊA

 Mặt bậc hai

002

22

22

00

202

0

200

z y x

4

1

R z

y

+

++

+

H = -

R z

y x

1 1

4 4 4 4 2

1

2 2

−

+ +

+

▪ Khảo sát đường trắc địa

x2 + y2 + z2 = R2

pt tham số f( u , v ) = ( R cosu cosv , R sinu cosv , R sinv )

f1 = ( - R sinu cos v , R cosu cos v , 0 )

f2 = ( - R cosu sin v , - R sinu sinv , R cosv )

n = ( Cosu cosv , sinu cosv , sinv) ( cos v 0 )

2 2

cos

) sin cos

v R

v v

v R

v

cossin

Kg(u) = 0  sinv = 0  V = k

 f(u) = (Rcosu, Rsinu, 0 )

f (u)= ( -R cosu, -Rsinu , 0 )

Đường trắc địa là đường tròn nằm trên mp (oxy) có phương trình x2 + y2 = R2

* v → f (u , v )

f22 = (- R cosu cosv , - R sinu cosv , - R sinv )

f2 f22 = (R2 sin u , - R2cosu , 0 )

Kg(v)= 0 u , với u = u0 f ( u0 , v )=( Rcosu0 cosv, R sinu0cosv,Rsinv)

Đường trắc địa là những đường tròn tâm o, bán kính R

2 Elipsoid

2

2 2

2 2

2

c

z b

y a

2 2

2

c

z b

y a

2 2

2 2

0 0

2 0

2 0

2 0

0 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

y a

x

c

z c

b

y b

a

x a

2 4 2

c b

y b

y z

c b

+ 22 ( 22 −)(−22 ( 22 −) =0

c a

x b

a x

(

2 (

4 )

2 (

2 (

4 )

2 (

2

(

4

2 2

4

2 2

2 4

2 2

a

x c

a b

y b

a

c

z

K =

4

2 4

2 4

2

44

4

1

c

z b

y a

x

++

−

4

2 4

2 4

2

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

44

4

16

16

16

a

x b

y c

z

a

x c b a b

y c b a c

z c b a

=

2

4

2 4

2 4

2 2

y a

x c

2 2

2 4

2 4

2 4

2

2 2 2

2 2

2 4

2 2

2 4

2

44

42.)44

4(

)22(

4)22(

4)22(4

c

z b

y a

x c

z b

y a

x

c b a

x c

a b

y b

a c

z

++

++

−

++

++

++

=

2 3 4

2 4

2 4

2

2 2 4

2 2

2 4

2 2

2 4 2

)(

2

)11

()

11

()

11(

c

z b

y a

x

c b a

x c

a b

y b

a c

z

++

++

++

2

b

y a

phöông trình tham soá f ( u , v ) = ( a cosu cosv , bsinu cosv , csinv )

f1 = ( - a sinu cosv , b cosu cosv , 0 )

f2 = ( - a cosu sinv , - b sinu sinv , c cosv )

n =

v b

a v u

c a v u

c

b

v ab v u ac v

u bc

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

sincos

sincos

cos

)sin,

cossin,

coscos(

f1 f11 = ( 0 , 0 , ab sin2u cos2v + ab cos2u cos2v )

= ( 0 , 0 , abcos2 v ) Kg(u) =

v b

a v u

c a v u

c b v u

b u

a

v b a

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 3

2 2 2

2

2 2

sincos

sincos

cos

cos.cos

sin

sin

++

a v u

c a v u c

b f

v u u c a v u u c b

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 3 2

2 2 2

2

sincos

sincos

cos

coscossincos

cossin

++

−

=

v b

a v u

c a v u

c b f

v u u c

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 3 2

4

sincos

sincos

cos

2

coscos2sin

++

−

=

v b

a v u

c a v u c

b f

v u c

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 3 2

4

sincos

sincos

cos

2

cos.2sin

++

−

Kg(v) = 0  sin2u = 0  u = k

2

 ( k  z )  f ( v ) = ( 0 ,  bcosv , csinv )

f ( v ) = ( a cosv , 0 , csinv )

Đường trắc địa là những elip có phương trình :

2

2 2

x 22 22

c

z b

2 2

y a

2 2

y a

0 2

2 2

2 2

0 0

2 0

2 0

2 0

0 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

c

z b

y a

x

c

z c

b

y b

a

x a

−

2

2 )

2 (

2 )

4 (

2 (

b

y c

b

y c

z

b   + 22 ( 22 − )

b a

2 4 2 2

c

z c

a b

y c

−

−+

4

2 4

2 4

2 4

2 4

2 4

2

2 2 4

2 2

2 4

2 2

2 4

2

44

44

44

4.44.44.4

c

z b

y a

x c

z b

y a

x

b a c

z c

a b

y c

b a

2 4

2 2 2

−

c

z b

y a

x c

b

a

++

−+

−

4

2 4

2 4

2 4

2 4

2 4

2

2 2

4

2 2

2 4

2 2

2 4

2

44

4.44

42

)22

(

4)22

(

4)22

(4

c

z b

y a

x c

z b

y a

x

b a

c

z c

a b

y c

b a

x

=

2 3 4

2 4

2 4 2

2 2 4

2 2

2 4

2 2

2 4 2

.2

)11()

11()

11(

++

−+

−

c

z b

y a x

b a c

z c

a b

y c

b a x

▪ Khảo sát đường trắc địa

22 22 22

c

z b

y a

x + − = 1

pt tham số :f( u , v ) = u

v v

a

cos )

1 (

v v

b

sin )

1 (

a

sin )

1 (

2

2

12

,sin)

1(

2,cos.1

v c u v

v b u v

v a

n =

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

)

1(4

.4cos

)

1(4

.4sin

)2

1.(

4

.4

2

1.2

.2,sin2

1.2

.2,cos.2

1.2

.2

v

v b a u v

v b c u v

a c

v b a u v

c a u v

c b

−+

++

a

cos )

1 (

b

a ( v +

v

1 )2 )

Kg(u) =

.)cos4

sin4(1

1

2 3 2

2 2

2

u

b u a

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

)

1(4

.4

cos4

.4sin

)4

1(4

.4

2

1.4

.4

c u v

a c

v b a

Kg(u) = 0  V =  1

f(u) = (acosu , bsinu , 0 )

 Phương trình đường trắc địa :

f(u) = ( - acosu , - bsinu , 0 ) Đường trắc địa là elip có phương trình : 1

2

2 2

v bc

kg(v)=

)1(cos

)1(.sin

)1(

)(

.2.)1(

2

1

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 3

3

−+

v b a u v

c b u v

c a

b a u sìn c v

v f

c (v v

-1 ) )

hay

2

2 2

2

c

z b

y − = 1

2 2

2 2

y a

x

▪ Độ cong Gauss, độ cong trung bình

Tương tự như Hyperboloid eliptic một tầng

K =

2

4

2 4

2 4

2 2 2 2

y a

x c b a

H =

2 3

4

2 4

2 4

2

2 2

4

2 2

2 4

2 2

2 4 2

.2

)11

()

11

()

11(

++

−+

−

c

z b

y a

x

b a

c

z c

a b

y c

b a x

▪ Khảo sát đường trắc địa

2

2 2

2 2

2

c

z b

y a

a

cos )

1 (

v v

b

sin )

1 (

a

sin )

1 (

2 2

2

1.2,sin

12

,cos

1

v c u v

v b u v

v a

n =

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2

)

1(4

.4sin

)

1(4

.4cos

)

1(4

4

1.2

.2,sin

1.2

.2,cos

1.2

.2(

v

v b a u v

v c a u v

v c

b

v

v b a u

v

v c a u v

v c b

++

−+

a

cos )

1 (

2 2

2

cos4

sin41

2 1 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2

2 2 2

)

1(4

.4cos

)

1(4

.4sin

)

1(4

4

1.4

.4

v b c u v

v a

c

v

v b a

 0 , 

 không có đường trắc địa

• V → f(u , v )

sin

3

u ac v

u bc

 Kg(v)=

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 3 3 2

2 2 2

2

)1(4

cos)1(sin

.)1(

2

).(

2sin.)1(

++

−+

−

−

−

v b a v

c b u v

c a v f

a b u c

2

c

z b

y − = -1

2

2 2

x

− + 22