De HSG toan 8 hay

Bài 4: 6 điểm Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, trên tia đối của tia CD lấy E sao cho CE=a.. b/ Gọi M là trung điểm của AB.[r]

PHÒNG GD&ĐT

TP BẮC GIANG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2015-2016

Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (4 điểm)

Cho biÓu thøc :            

H

a/ Rót gän H

b/ T×m c¸c cÆp sè nguyên (x;y) sao cho gi¸ trÞ cña H = 6

Bài 2: (4,5 điểm)

a/Tìm giá trị bé nhất của M=2x2 5y2 6xy4x10y100

b/Cho x, y, z đôi một khác nhau và x+y+z=0

Tính giá trị của biểu thức

A



Bài 3: (4,5 điểm)

a/Cho a, b là số hữu tỉ thoả mãn

(ab ) 4

a b



 Chứng minh ab+2 viết được dưới dạng bình phương của 1 biểu thức hữu tỉ.

b/ Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn xz=y2 và x2z299 7 y2

Bài 4: (6 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, trên tia đối của tia CD lấy E sao cho CE=a Gọi N là trung điểm của BE, từ B vẽ BH vuông góc với DN (HDN).

a/ Chứng minh AHC 900

b/ Gọi M là trung điểm của AB Chứng minh tam giác DMN vuông cân.

c/ Tính HA4HB4HC4HD4 theo a

Bài 5: (1 điểm) Tìm các số tự nhiên x,y thõa mãn x2 5x 7 3y

Họ tên thí sinh SBD:

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2015-2016

MÔN: TOÁN LỚP 8

a

2,5đ                  

H

=

2 2 2( 1) 2 1

=

=

2 2 1 2 2 1 2( 1) 2 1

=

2 2 1 2( 1) 2 2 1 2 1

=

2 1 1 ( 1) 2 1 ( 1)( 1)

=

=

 

=xy x y 

0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

b/

1,5đ H=6 xy x y   6 x1 y1 5

5 x 1 x 1 1; 5

      

KL nghiệm

0,75 0,25 0,25 0,25

a/

2 2

2x 5y  6xy4x10y100

 2M=4x210y212xy8x 20y200

=2x2 2 2 3 x y  2  3y 22(y2 8y16) 180

=2x 3y22 (y 4)2180 180

vì 2x 3y22 0; y 42 0

90

M

1,0 1.0 0.5

Vây M bé nhất M=90 khi x=5 và y=4

b/

Vậy x y2 2xz2 xy2 2yz2 (x y xy z )  2z2 (x y xy xz yz z )    2

=x y x y z   (  ) z y z(  ) (x y y z x z )(  )(  )

= xy(y-x)+ yz(z y)  zxy x   z y 

=(y x)(y z)(x z)=  (x y)(y z)(x z)

Vậy M=

x y y z x z

x y y z x z



0,75 0,5

0,5 0,25

a/

2đ

Đặt a+b=s và ab=p Ta có

2 2

2 2 2





2

2

( 2)

s



Vị a, b là số hữu tỉ nên ab+2 là bình phương của 1 biểu thức hữu tỉ

0,7

0,75 0,5

b/

2,5đ

Vì xz=y2 nên ta có x2z299 7 y2 x z 2 2xz99 7 y2

 x z 2 2y299 7 y2  3y2 x y 2 99

3y x z 3y x z 99 99 3y x z

10

6 20

3

(loại)

10

6 20

3

(loại)

50

6 100

3

(loại)

+Nếu x=2 ta có z=18

+Nếu x=18 ta có y=2

Vây ta có (x;y;z)=(2;6;18)=(18;6;2)

0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25

 HO=

1

1

2AC.

Vét tam giác AHC có HO là trung tuyến, mà HO=

1

0,75

0,75 0,5

b/

AOB 900 ( tchv)  AOB vuông cân, mà MA=MB nên OA là trung tuyến

1 2

và OA là phân giác

2

1 2

MD MN

Vậy tam giác DMN vuông cân

0,5

0,5

0,5 0,5

c/

2đ

Ta có AHC vuông tại H, theo Pitago ta có

4 4 2 2 2 4 4

2 2 2 2 2 2 2

2

Vậy

2

4 4 4 4 8 4 4 2 6 4

2

a

0,5

0,5 0,5 0,5

-Với y=0 ta có

3

x

x







-Với y=1 ta có

4

x

x







Vậy ta có (x;y)=(2;0)=(3;0)=(1;1)=(1;4)

0,25 0,25

0,5