Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng qua AB, AC của H.. b Chứng minh BEFC là hình thang.. Có thể tìm được vị trí của H để BEFC trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật đượ
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2010-2011 Môn thi: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (5 điểm)
a) Chứng tỏ rằng biểu thức sau đây luôn dương với mọi x trong tập xác định:
2
b) Cho đa thức bậc hai: P(x) = ax2 + bx + c
Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000
Bài 2: (5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) x-11 x-12 x-33 x-67 x-88 x-89+ + = + +
b) x8 - 2x4 + x2 - 2x + 2 = 0
Bài 3: (5 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 b) Tìm giá trị nguyên của x để A chia hết cho B
Biết A = 10x2 - 7x - 5 và B = 2x - 3
Bài 4: (5 điểm)
Cho tam giác vuông ABC vuông ở A và điểm H di chuyển trên BC Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng qua AB, AC của H.
a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng.
b) Chứng minh BEFC là hình thang Có thể tìm được vị trí của H để BEFC trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật được không?
c) Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất.
Họ tên thí sinh: ……… số báo danh: ………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2010-2011 Môn thi: Toán lớp 8 Bài 1: (5 điểm)
a) Chứng tỏ rằng biểu thức sau đây luôn dương với mọi x trong tập xác định ( 2.5 điểm )
* Ta có M 0 <=> 1 0 1
Vậy tập xác định của biểu thức B là x 1 (0,5 điểm)
* Đặt M =
1- x 1+ x
1- x 1+ x
Phân tích tử số và rút gọn đúng mỗi ngoặc đơn trong ngoặc vuông Ngoặc đơn thứ nhất = (1 + x)2; ngoặc đơn thứ hai = (1 - x)2 (0,5 điểm)
Ta có P =
2 2
2
Vì 1 + x2 > 0 với mọi giá trị của x
b) (2,5 điểm)
Vì P(0) = 26 suy ra c = 26 khi đó P(x) = ax2 + bx + 26 (0,5 điểm) P(1) = 3 do đó ta có a + b + 26 = 3 hay a + b = -23 (1) (0,5 điểm) P(2) = 2000 nên ta có 4a + 2b + 26 = 2000 suy ra 2a + b = 987 (2) (0,5 điểm)
Từ (1) và (2) suy ra a = 1010 và b = - 1033 (0,5 điểm) Kết luận các giá trị phải tìm của a;b;c là: a = 1010; b = - 1033; c = 26 (0,5 điểm)
Bài 2: (5 điểm) Giải các phương trình sau: ( mỗi phần cho 2.5 điểm )
a) Phương trình tương đương với
Quy đồng suy ra: 100 100 100 100 100 100
Chuyển vế đưa về dạng: (x-100)( 1 1 1 1 1 1
Lập luận trong ngoặc khác 0 suy ra x-100 = 0 (0,5 điểm)
b) Biến đổi phương trình về dạng
(x8 – 2x4 + 1) + ( x2 - 2x +1) = 0 (0,5 điểm)
Lập luận từng ngoặc không âm chỉ ra dấu bằng khi x = 1 (1 điểm)
Bài 3: (5 điểm) ( mỗi phần cho 2.5 điểm )
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Biến đổi biểu thức:
Q = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x4 + 2x3 +x2) + 2( x2 + x) + 1 (0,5 điểm) = (x2 + x)2 + 2 (x2 + x) + 1 = (x2 + x + 1 )2 (0,5 điểm) Lập luận vì Q > 0 với mọi x vì vậy Q nhỏ nhất khi x2 + x + 1 nhỏ nhất (0,5 điểm)
Trang 3Chỉ ra x2 + x + 1 nhỏ nhất bằng 3
4 đạt khi x = 1
2
Vậy Q min = 9
16 đạt khi x = 1
2
Biến đổi A = 5x( 2x – 3) +4( 2x – 3) +7 (0,5 điểm) Lập luận với x nguyên suy ra 5x(2x-3) + 4(2x-3) là số nguyên và chia hết cho 2x-3 Suy
điểm)
Hay 2x-3 là ước của 7
Cho 2x-3 bằng Ư(7) suy ra x = -2; 1; 2; 5 và trả lời (1 điểm)
Bài 4: (5 điểm)
- Không cho điểm vẽ hình và ghi GT, KL nhưng nếu vẽ hình sai không chấm bài.
a) ( 1 điểm)
F E
D I
C H
B
A
- Chỉ ra vì E đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của EH do đó ta có: EAI IAH tương tự ta có FAD DAH mỗi góc cho 0,25 điểm) => (0,5 điểm)
Cộng vế với vế suy ra EAF 1800 suy ra ba điểm E;A;F thẳng hàng (0,5 điểm) b) (2,5 điểm)
* Chứng minh được EBC FCB 2(ABC ACB ) 180 0 (0,5 điểm) Suy ra EB // FC suy ra tứ giác BEFC là hình thang (0,5 điểm)
*Giả sử tứ giác BEFC là hình thang vuông suy ra 0
90
BEF suy ra 0
90
AHB hay AH là đường cao
* Giả sử tứ giác BEFC là hình bình hành suy ra BE=BH=FC=CH suy ra H là trung điểm
* Giả sử tứ giác BEFC là hình chữ nhật suy ra EBC 900 suy ra EBA ABC 450 suy ra tam giác ABC vuông cân điều này không xảy ra (0,5 điểm) c) (1,5 điểm)
Lấy H bất kì thuộc cạnh BC gần B hơn Ta có SEFH = 2SAIHD (vì tứ giác AIHD là
Dựng hình chữ nhật HPQD bằng hình chữ nhật AIHD
Suy ra SEFH = SAIPQ Dễ dàng chứng minh được SHIB = SHMP suy ra SEHF= SABMQ<SABC
Khi H là điểm chính giữa BC thì SEHF=SABC (0,5 điểm) Vậy SEHF SABC dấu bằng xảy ra khi HB=HC (0,25 điểm)
Trang 4D
C Q
M P
H B
A
E
Ghi chú: - HS dùng cách khác giải đúng vẫn cho điểm tối đa
- Bài làm có lập luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài giữ nguyên, không làm tròn