75 de thi va dap an HSG toan 8

Chøng minh r»ng ®iÓm N n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc ABM.. TÝnh diÖn tÝch h×nh thang ABCD..[r]

Câu 2: (1,5 điểm) Thực hiện phép tính:

Cho hình vuông ABCD Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia

CB lấy điểm F sao cho AE = CF

a)Chứng minh rằng tam giác EDF vuông cân

b)Gọi O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD; I là trung điểm của EF; Chứngminh rằng ba điểm O, C, I thẳng hàng

= (x – 3)(2x 3 – x 2 – 5x – 2) = (x – 3)(2x 3 – 4x 2 + 3x 2 – 6x +x – 2)

=(x – 3)(x – 2)(2x 2 + 3x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1).

b) P(x) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x – 2 + 3)

= 2(x – 3)(x – 2)(x + 1)(x – 1) + 3(x – 3)(x – 2)(x + 1)  P(x) 6 (Đfcm).

Câu 2:

Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Vẽ CE AB, CF AD

Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC2

Biết 10a2 – 3b2 + 5ab = 0 và 9a2 – b2 0.

Câu 4: Cho biểu thức:

1P

c)Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2

Câu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD

Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đờng chéo AC

Câu 6:

Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC Từ một điểm E trên cạnh BC ta

kẻ đờng thẳng Ex // AM Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G

Câu 4: Cho biểu thức: A = x2 + 6x + 15

a)Chứng minh rằng A luôn dơng với mọi x

b)Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất đó.

Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm hai cạnh đối diện BC và

Chứng minh rằng ABCD là hình thang

Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, trên đờng chéo AC lấy một điểm I Tia DI cắt đờng thẳng AB tại M, cắt đờng thẳng BC tại N

Tính giá trị của biểu thức: a2(a + 1) – b2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1)

Câu 2: Thực hiện phép tính bằng cách nhanh nhất:

1) Chứng minh ACE là tam giác vuông tại A

2) Tính diện tích hình thang ABCD

Câu 6: Cho tam giác ABC, đờng phân giác trong của góc C cắt cạnh AB tại D Chứng minh rằng: CD2 < CA.CB

7 Câu 1:Cho a, b là hai số nguyên Chứng minh rằng:

Nếu a chia cho 13 d 2 và b chia cho 13 d 3 thì : a2 + b2 chia hết cho 13

Câu 2: Cho a, b là các số thực tuỳ ý

Chứng minh rằng: 10a2 + 5b2 + 12ab + 4a – 6b + 13  0 Đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 3: ở bên ngoài của hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và ADGH

Chứng minh:

1) AC = FH và AC vuông góc với FH

2) Tam giác CEG vuông cân

Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 (Với x nguyên)

1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử

2)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6

Câu 5: Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đờng cao của tam giác ABC DF

và EG là hai đờng cao của tam giác ADE Chứng minh rằng:

1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng

1) Chứng minh tam giác CBG đồng dạng với tam giác ACF.

2) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2

Bài tập t ơng tự :1)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại

9 Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 9x + 6

1)Trong trờng hợp x là số nguyên dơng Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.2)Giải phơng trình P(x) = 0

9 Câu 2:Cho tứ giác ABCD có chu vi là 2p và M là một điểm ở trong tứ giác

2) Nếu a3 + b3 + c3 = 1 Tìm giá trị của a, b, c

9 Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC) Hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H

1) So sánh hai góc BAH và CAH

2) So sánh hai đoạn thẳng BD và CE

3) Chứng minh rằng hai tam giác ADE và ABC đồng dạng

10 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tai A (AC > AB), đờng cao AH Trong nửa

mặt phẳng bờ AH có chứa điểm C vẽ hình vuông AHKE

1)Chứng minh rằng à 0

B45 .

2)Gọi P là giao điểm của AC và KE Chứng minh rằng tam giác ABP vuông cân

3)Gọi Q là đỉnh thứ t của hình bình hành APQB và I là giao điểm của BP và

AQ Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng

Trong đó x, y, z đôi một khác nhau

Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: A.B.C = 1

11 Câu 5: (4đ)

Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD Qua A kẻ đờng thẳng song song với

BC cắt đờng chéo BD tại M và cắt CD tại I Qua B kẻ đờng thẳng song song với AD cắt cạnh CD ở K Qua K kẻ đờng thẳng song song với BD cắt BC ở P Chứng minh rằng: MP//CD

12 Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)

12 Câu 3: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc

12 Câu 4: Giải phơng trình: (4x + 3)3 + (5 – 7x)3 + (3x – 8)3 = 0

12 Câu 5: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

ab + bc + ac  a2 + b2 + c2 < 2(ab + ac + bc)

12 Câu 6: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng nếu ( a + b + c)2 = 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam giác đều

12 Câu 7: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy một điểm M tuỳ ý Đờng

thẳng vuông góc với AM tại M cắt CD tại E và AB tạ F Chứng minh AM = FE

12 Câu 8: Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM, K là một điểm trên AM sao

cho AM = 3AK Gọi N là giao điểm của BK và AC

1)Tính diện tích tam giác AKN Biết diện tích tam giác ABC là S

2)Một đờng thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lợt tại I và J

Cho hình vuông ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC Biết

FAE = 450 Chứng minh chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông ABCD

13 Câu 6: Cho tam giác ABC, lấy một điểm O nằm trong tam giác Các tia AO,

BO, CO cắt BC, AC, AB lần lợt tại P, Q, R Chứng minh rằng

Tính giá trị của biểu thức: (a23 + b23)(b5 + c5)(a1995 + c1995)

14 Câu 2:Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy cho các nhị thức

lần lợt là: (x – 1); (x – 2); (x – 3) đều có số d là 6 và tại x = – 1 thì đa thức nhận giá trị là (– 18)

14 Câu 3: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1 Trên các cạnh AB, AD

lần lợt lấy các điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2 Tính số





.2)Tính giá trị của A khi 10a2 + 5a = 3

15 Câu 2: Giải phơng trình : x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12 = 0

15 Câu 3:

Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB Lấy C trên tia Ax, D trên tia By sao cho góc COD = 900

1) Chứng minh tam giác ACO và tam giác BDO đồng dạng

16 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có đờng chéo lớn AC Tia Dx cắt AC, AB,

CB lần lợt tại I, M, N Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC Gọi K là điểm đối xứng của D qua I Chứng minh:

16 Câu 6: Tìm giá trị nguyên của x, y trong đẳng thức: 2x3 + xy = 7

16 Câu 7: Cho 4 số dơng a, b, c, d Chứng minh:

16 Câu 8: Cho tam giác ABC có BC = a và đờng cao AH = h Từ một điểm M trên

đờng cao AH vẽ đờng thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lợt tại

P và Q Vẽ PS và QR vuông góc với BC

1)Tính diện tích của tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x)

2)Xác định vị trí của điểm M trên AH để diện tích này lớn nhất

17 Câu 1: (2đ) Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 7x – 6

17 Câu 2: (6đ)

Một trờng tổ chức lần lợt cho các lớp trồng cây: Lớp thứ nhất trồng đợc 18 cây

và thêm 1/11 số cây còn lại Rồi đến lớp thứ hai trồng 36 cây và thêm 1/11 số cây còn lại Tiếp theo lớp thứ ba trồng 54 cây và thêm 1/11 số cây còn lại Cứ

nh thế các lớp trồng hết số cây và số cây trồng đợc của mỗi lớp bằng nhau Hỏi trờng đó đã tồng đợc bao nhiêu cây?

17 Câu 3: (4đ)

Cho biểu thức:

3 3

A

x1

1) MP cắt NO ở A Chứng minh A là trung điểm của NP

2) Chứng minh O nằm trên đờng chepos NQ hoặc đờng chéo MP của tứ giác MNPQ

Chứng minh rằng nếu: abc = a + b + c và

18 Câu 6: (5đ)

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM, trên tia

đối của tia CD lấy điểm N sao cho AD = 2CN Gọi I là giao điểm của AM và BN

Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, I, C, D cùng cách đều một điểm

19 Câu 1: Chứng minh rằng: 2130 + 3921 chia hết cho 45

19 Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến CM Qua điểm Q trên AB kẻ đờng

thẳng d song song với DM Đờng thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P Chứng minh nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C

19 Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC cố định; Ngời ta lần lợt

lấy các điểm M, N, P sao cho

Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích tam giác ABC và theo k

Tính k sao cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất

20 Câu 1: Biết m + n + p = 0 Tính giá trị của biểu thức:

20 Câu 2: Cho tích của hai số tự nhiên bằng 19851986 Hỏi tổng của haio số đó có

phải là bội của 1986 hay không?

20 Câu 3: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B cách nhau 200 km Cùng lúc đó có

một ngời đi xe gắn máy khác từ B đến A Sau 5 giờ hai xe gặp nhau Nếu sau khi đi đợc 1giờ 15 phút mà ngời đi từ A dừng lại 40 phút rồi mới đi tiếp thì phải sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc khởi hành, hai ngời mới gặp nhau Tính vận tốc cua mỗi ngời?

20 Câu 4: Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại O Chứng minh rằng

nếu các tam giác AOB, BOC, COD và DOA có chu vi bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi

20 Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai dờng chéo cắt nhau tại O Kí hiệu S là diện

tích Cho SAOB = a2 (cm2) và SCOD = b2 (cm2) với a, b là hai số cho trớc

1)Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của SABCD ?

2) Giả sử SABCD bé nhất Hãy tìm trên đờng chéo BD một điểm M sao cho ờng thẳng qua M song song với AB bị hai cạnh AD, BC và hai đờng chéo AC,

đ-BD chia thành ba phần bằng nhau

21 Câu 1: Chứng minh rằng với x, y nguyên thì:

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là một số chính phơng

21 Câu 2: Phân tích đa thức thanh nhân tử: (a – x)y3 – (a – y)x3 + (x – y)a3.21

Câu 3: Giải phơng trình: 2 2

6

x 4x3 x 8x15 

21 Câu 4: Giải phơng trình: x4 + 2x3 + 8x2 + 10x + 15 = 0.

21 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn); CD là đờng phân giác của

góc ACB (D thuộc cạnh AB) Qua D kẻ đờng vuông góc với CD; đờng này cắt

đờng thẳng BC tại E Chứng minh: EC = 2BD

21 Câu 6: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đỉnh bằng 200; cạnh đáy là a,

2) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tị của x

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

22 Câu 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a Gọi M, N lần lợt là trung

điểm của cạnh AB, BC Các đờng thẳng DN, CM cắt nhau tại I Chứng minh:1) Tam giác CIN vuông

2) Tính diện tích tam giác CIN theo a

3) Tam giác AID cân

1) Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?

2) Tính các góc trong của tứ giác ABCD

2) So sánh diện tích của tam giác ABD với diện tích của tứ giác ABCD

24 Câu 4: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đờng thẳng Trên cùng

một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD; EFGH

1) Gọi O là giao điểm của AG và BH Chứng minh rằng các tam giác OHE và OBC đồng dạng

2) Chứng minh rằng các đờng thẳng CE và DF cùng đi qua O

24 Câu 5:

Cho các điểm E, F nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD sao

cho AF = CE Gọi I là giao điểm của AF và CE.

Chứng minh rằng ID là phân giác của góc AIC

25 Câu 1: Tìm một số có hai chữ số mà bình phơng của nó bằng lập phơng của

tổng các chữ số của nó

25 Câu 2: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác Xác định hình dạng của

tam giác để biểu thức sau :

25 Câu 3: Cho ba số , y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0

Hãy tính giá trị của biểu thức: S = (x – 1)1995 + y1996 + (z + 1) 1997

25 Câu 4: Cho hihf vuông ABCD cạnh a Điểm M di động trên cạnh AB; Điểm N

di động trên cạnh AD sao cho chu vi tam giác AMN không đổi và bằng 2a Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó

26 Câu 3: Hai đội bóng bàn của hai trờng A và B thi đấu giao hữu Biết rằng mỗi

đối thủ của đội A phải lần lợt gặp các đối thủ cua đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội Tính số đấu thủ của mỗi đội

26 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh CD và BC lấy điểm M, N sao

cho BM = DN Gọi I là giao điểm cua BM và DN Chứng minh IA là phân giáccủa góc DIB

26 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, với AC > DB Gọi E và F lần lợt là chân

đ-ờng vuông góc kẻ từ C đến các đđ-ờng thẳng AB và AD

Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC 2

27 Câu 1:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2– 4abc

27 Câu 2: Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x2 + x – 6

27 Câu 3: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau, chứng minh rằng:

27 Câu 4: Giải phơng trình: m2x + 2m = 4x + m2 (với x là ẩn)

27 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC

Kẻ tia Ax vuông góc với BM Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm

đối xứng với C qua H Kẻ Ky vuông góc với BM Gọi I là giao điểm của Ky với AB Tính góc AIM?

28 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x4 + 1997x2 + 1996x + 1997

b) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc

28 Câu 2: Tính giá trị của biểu thức A = xy + xz + yz + 2xyz

28 Câu 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là: 57120

28 Câu 4: Cho hình vuông ABCD Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N

sao cho DN = BM Các đờng thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F Chứng minh:

1) Tứ giác ANFM là hình vuông.

2) Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN và góc ACF = 900

3) Ba diểm B,O,D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang(O là trung điểm FA)

28 Câu 5: Cho đoạn thẳng PQ = a Dựng một hình vuông PABC sao cho P là đỉnh

và Q là trung điểm của cạnh AB

29 Câu 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dơng thoả mãn điều kiện: a2 – b2 = c2

29 Câu 4: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh CD lấy một điểm M bất kỳ Các tia

phân giác của các góc BAM và DAM lần lợt cắt cạnh BC tại E và cắt cạnh CD tại F Chứng minh AM vuông góc với FE

29 Câu 5: Cho tam giác ABC (AB khác AC) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D,

trên tia đối của tia CA lấy điểm E, sao cho BD = CE Gọi N là trung điểm của cạnh BC Vẽ hình bình hành ECNK và hình bình hành BDFN Gọi M là giao

điểm của DE và FK Tìm quỹ tích điểm M khi D và E di động

30 Câu 1: Cho biểu thức:

x 10B

30 Câu 5: Cho hình thang vuông ABCD có đáy CD = 9 cm; đáy AB = 4 cm, cạnh

xiên BC = 13 cm Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = AB Đờng thẳng vuông góc với BC tại M cắt AD tại N

1) Chứng minh rằng điểm N nằm trên tia phân giác của góc ABM

31 Câu 5: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm Các đờng

phân giác trong AD và BE cắt nhau tại I

2) Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của một đa giác có số

đo là 47058,50 Tính số cạnh của đa giác?

32 Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm cạnh BC Gọi I là hình

chiếu vuông góc của H trên cạnh AC và O là trung điểm của IH

Chứng minh rằng AO vuông góc với IB

32 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A, lấy các điểm E và K lần lợt trêncác tia AB

và AC sao cho AE + AK = AB + AC Chứng minh rằng: EK > BC

33 Câu 4: Cho hình vuông ABCD trên BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM Trên

tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho BC = 2CN Cạnh AM cắt BN tại I và CI cắt AB tại K Gọi H là hình chiếu của M trên AC Chứng minh K, M, H thẳng hàng

33 Câu 5: Cho hình thang can ABCD (AB//CD) có AC = 6 cm, góc BDC = 450

Gọi O là giao điểm hai đờng chéo Tính diện tích hình thang ABCD bằng hai cách

34 Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD Qua trung điểm K của đờng chéo BD dựng

đ-ờng thẳng song song với đđ-ờng chéo AC, đđ-ờng thẳng này cắt AD tại E Chứng minh rằng CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau

34 Câu 5: Dựng hình bình hành biết trung điểm ba cạnh của nó

abc



35 Câu 4: Các đờng chéo của tứ giác lồi ABCD vuông góc với nhau Qua trung

điểm các cạnh AB và AD kẻ những đờng vuông góc theo thứ tự với các cạnh

CD và CB Chứng minh rằng hai đờng thẳng vuông góc này và đờng thẳng AC

đồng quy

35 Câu 5: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB = 2a và CD =a Hãy xác định

vị trí của điểm M trên đờng thẳng CD sao cho:

1) Đờng thẳng AM chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau.2) Đờng thẳng AM chia hình thang thành hai phần mà phần có chứa đỉnh D

có diện tích bằng (n – 1) lần diện tích phần kia(n là số tự nhiên lớn hơn 2)

Cho tam giác ABC (BC < AB) Từ C vẽ đờng vuông góc với đờng phân giác

BE tại F và cắt AB tại K; Vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G

Chứng minh rằng DF đi qua trung điểm của đoạn thẳng GE

1) Tính độ dài đờng cao CH của tam giác ABC.

2) Gọi CD là đờng phân giác của tam giác ACH Chứng minh tam giác ACD cân

3) Chứng minh rằng: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2

37 Câu 3: (1,5đ)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm nằm trên cạnh BC Gọi E

và F lần lợt là hình chiếu của B và C xuống đờng thẳng AM Xác định M trên

38 Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A Từ một điểm D bất kỳ trên cạnh BC kẻ

DE, DF vuông góc với AB, AC tại E và F Chứng minh: EA EB + FA.FC = DB.DC

38 Câu 5: Cho hình thoi ABCD có góc A = 600 Gọi M là một điểm thuộc cạnh

AD Đờng thẳng CM cắt đờng thẳng AB tại N

39 Câu 4: Cho tam giác ABC Trên AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA Trên BC

lấy điểm E sao cho BE = 4EC Gọi F là giao điểm của AE và CD

Chứng minh rằng: FD = FC

39 Câu 5:

Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC