HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN * Học sinh làm cách khác đúng phải cho điểm tối đa... số lớn hơn..[r]
Trang 1UBND HUYỆN NINH GIANG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút
(không tính thời gian giao đề)
Ngày thi 06 tháng 12 năm 2012
Câu 1 ( 2,0 điểm ) Rút gọn các biểu thức sau :
a)
3 3 4 3 4
2 3 1 5 2 3
B
Câu 2 ( 2,5 điểm ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
2
1 2
3 3 2 2(2 ) 2 6
x
Câu 3 ( 1,5 điểm )
Chứng minh rằng nếu các số nguyên a,b,c thỏa mãn b2 - 4ac và b2 + 4ac đồng thời
là các số chính phương thì a.b.c 30
Câu 4 ( 3,0 điểm )
với nhau M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O) K và H lần lượt là hình chiếu của
M trên CD và AB
a Tính sin2MBA sin2MAB sin2MCD sin2MDC
b Chứng minh: OK2 AH R AH(2 )
c Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn nhất
Câu 5 ( 1,0 điểm )
Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M =
2 2
x y xy
-Hết -Họ và tên thí sinh : Số báo danh : Chữ ký giám thị 1 : Chữ ký giám thị 2 :
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
* Học sinh làm cách khác đúng phải cho điểm tối đa
* Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm
ĐIỂM
1a
(1,0đ)
a)
3 3 4 3 4
2 3 1 5 2 3
=
(3 3 4)(2 3 1) ( 3 4)(5 2 3)
=
22 11 3 26 13 3
= 2 3 2 3
=
1 ( 4 2 3 4 2 3 )
2 =
1 ( ( 3 1) ( 3 1) )
=
1 [ 3 1 ( 3 1)]
2 = 2
0,25
0,25 0,25 0,25
1b
(1,0đ)
b)
B
(x 0,x 16)
=
( 1)( 4) 1 4
=
2
2 28 ( 4) ( 8)( 1)
( 1)( 4)
=
2 28 8 16 9 8 ( 1)( 4)
( 1)( 4)
=
( 1)( 1)( 4) ( 1)( 4)
= x 1
0,25
0,25 0,25 0,25
2a
(1,0đ)
3 x x 3 3 ĐK : x -3
0,5
Trang 33 3
3 2 3
3 2 3
3 2 3
3 3 1 3 2 0
0
3 2 1
3 2 1
0 (2)
3 2 1
x
x
x
x
x
Ta có : a2 + a +1 = (a +
1
2)2 +
3
4 > 0 với mọi a nên 3 x2 3 x1 > 0 với mọi x => vế trái của (2) luôn dương => (2)
vô nghiệm
Vậy nghiệm phương trình là x = 1
0,25
0,25
2b
1 2
(1)
3 3 2
2(2 ) 2 6 (2)
x
ĐK : x3; x0; y0
0
kx
y kx
y k x
Phương trình (1) trở thành :
2 2 2 2 2 2
2 2
1 2
3 3 2
( 2) 3 ( 1)
( 2) ( 1) 0
2
k x k x x
k
Với k = 2 có y = 4x2 ( x > 0 ; y > 0 )
Phương trình (2) trở thành :
2
2
4 8 2 16
3
2
x
Đặt
2
3
1 2 4 1 2
x
t t t x
Ta có hệ :
2
2
2 4 1
2 4 1 0; 1
Giải hệ được t = x ( do x > 0 và t 1 )
0,25
0,25
0,25
Trang 43
1 2 3 1 0 2
3 17 13 3 17
x
Vậy hệ có nghiệm
3 17 13 3 17
;
0,5
0,25
3
(1,5đ)
+ Chứng minh được : Mọi số có dạng 3k 2, 5k 2 đều không
phải số chính phương
+ Nếu b chẵn thì abc 2
Nếu b lẻ thì b2 = 8k + 1 ( k Z ) => b2 4ac là số chính
phương lẻ Đặt b2 4ac = 8m + 1 ( m Z )
=> 4ac 8 => ac 2 => abc 2 (1)
+ Nếu b 3 => abc 3
Nếu b không chia hết cho 3 thì b2 chia 3 dư 1 Khi đó nếu ac
không chia hết cho 3 thì b2 4ac có dạng 3p 2 không là số
chính phương => ac 3 => abc 3 (2)
+ Nếu b 5 thì abc 5
Nếu b không chia hết cho 5 thì b2 chia 5 dư 1 Khi đó nếu ac
không chia hết cho 5 thì b2 4ac có dạng 5q 2 không là số
chính phương => ac 5 => abc 5 ( 3)
Từ (1) (2) (3) và vì (2,3,5) = 1 nên abc 30
0,5 0,25 0,25
0,25
0,25
4
(3,0đ)
a) Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M
nên:
sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC=
(sin MBA c os MBA) (sin MCD c os MCD)= 1 + 1 = 2
1,0
b) Chứng minh: OK2 AH R AH(2 )
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)
0,5 0,5
Trang 5c) P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì
MK = OH)
Mà OH.MH
(Pitago) Vậy
2
4 2 2
R
đẳng thức xẩy ra MH = OH
OH =
2 2
R
0,25 0,25
0,25
0,25
5
(1,0đ)
M =
2 2
x y xy
với x, y là các số dương và x 2y
1 x(2y)
M 2(x y )
x 4y x y 3y 4(x y ) 4(x y )
Cauchy)
=
1 3y 1 3y 1 3 2
4 4(x y ) 4 4(4y y ) 4 20 5 (Thay mẫu số bằng
số lớn hơn)
Suy ra Max
1 2
M 5 khi x = 2y,
do đó giá trị nhỏ nhất của M =
5
2 đạt được khi x = 2y.
0,25
0,25 0,25 0,25