HSG TOAN 8

bảng học sinh làm theo cách khác mà trình bày đúng và kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S={.[r]

PHÒNG GD&ĐT TÂN BIÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ BÀI

Câu 1 (4 điểm):

1.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3

+8 x2+19 x+12 b) x3

+6 x2+11 x+6

2 Cho A = x3

+8 x2

+19 x+12 và B = x3

+6 x2 +11 x+6 Tính A B .

Câu 2 (2 điểm): Giải phương trình

a) x2 - 2005x – 2006 = 0

b) |3x – 1| - |2x + 5| = 4

c) |x – 2| + |x – 3| + |2x – 8| = 9

Câu 3 (5 điểm): Lúc 7h sáng, một người đi xe máy từ A đến B dài 45km Tới B, người đó

giải quyết xong công việc trong 1h30’ rồi quay về A , tới A lúc 11h Đoạn đường AB gồm

một đoạn đường bằng phẳng và một đoạn đường lên dốc Vận tốc lúc lên dốc là 24km/h, lúc xuống dốc là 45km/h và trên đường bằng là 40km/h Hỏi đoạn đường bằng dài bao nhiêu km?

Câu 4 (3 điểm):

1.So sánh A = 1997 1999 và B = 1998 ❑2

2 Chứng minh rằng

a) (x+ y)(x3− x2y +xy2− y3)=x4− y4

b) Nếu a+b¿2=2(a2+b2)

¿ thì a = b

Câu 5 (6 điểm): Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.

a) Chứng minh rằng: AE  BC.

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB.

-Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT TÂN BIÊN

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi : Toán

Câu 1

(4

điểm)

phần1

2đ

a) x3

+8 x2 +19 x+12

= x3+4 x2+4 x2+16 x+3 x +12

= x2(x+4)+4 x (x +4)+3(x +4 )

= (x2+4 x +3)(x+4)

= ( x+1¿ (x+3)(x +4 )

b) x3+6 x2+11 x+6

= x+3 x2

+3 x2+9 x +2 x+6

= x2(x+3)+3 x (x+ 3)+2(x +3)

= (x2+3 x +2)(x+3)

= (x+1)(x +2)(x+3)

0.25

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25 0.25 phần2

2đ

Ta có : A = x3

+8 x2

+19 x+12 = ( x+1¿ (x+3)(x +4 )

B = x3

+6 x2 +11 x+6 = (x+1)(x +2)(x+3)

=> A

B =

(x+1)(x +3)(x +4)

(x +1)(x+2)(x +3) = x +4

x+2

0.75 0.75 0.5

Câu 2

( 2 điểm )

Câu 3

(3 điểm)

a) x2 -2005x – 2006 = 0  x2 + x – 2006x – 2006 = 0  x (x + 1) – 2006(x + 1) = 0  (x + 1)(x – 2006) = 0

x + 1

= 0  x = -1

x –

2006 = 0  x = 2006 Vậy tập nghiệm của phương trình là S

={-1;2006}

0.2 0.2 0.15 0.15 0.15 0.15

b) -

Có thể xét bảng hoặc không xét

1

Câu 4

(3 điểm)

bảng

- ( học sinh làm theo cách khác mà trình bày đúng và kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:

S = {

− 8

}

Phần 1

Phần 2

Đổi 1h30’ = 32 giờ Gọi độ dài đoạn đường bằng là x (km) (0 < x < 45)

 Thời gian lên dốc là: 45 − x24 (h)

 Thời gian xuống dốc là: 45 − x45 (h)

 Thời gian đi đoạn đường bằng là 402 x (phải tính 2x vì ta tính thời gian cả đi và về)

Theo bài ra, ta có phương trình:

45 − x24 + 45 − x45 + 402 x + 32 = 4 Giải phương trình ta được x = 27 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy độ dài đoạn đường bằng là 27 km

Ta có: A = 1997 1999 = (1998 – 1) (1998 + 1) = 1998 ❑2 - 1

mà 1998 ❑2 - 1 < 1998 ❑2 nên A < B

a)Ta có: (x+ y)(x3− x2y +xy2− y3)

= x4− x3y +x2y2− xy3

+x3y − x2y2

+ xy 3− y4

(GV chấm

tự chia nhỏ biểu điểm tùy theo bài làm của học sinh.

0.25 0.25 0.25 0.25 0.5

= x4− y4 = VP => VT = VP (đpcm)

b) Từ a+b¿2=2(a 2

+b2

)

¿

=> a2+2 ab+b2=2 a2+2 b2

=> a2+2 ab+b2− 2a2− 2b2=0

=> −a2

+2ab − b2 =0

=> −(a2−2 ab+b2)=0

=> a −b −¿2=0

¿

=> a – b = 0 => a = b (đpcm)

0.25 0.25

0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125

Câu 5

(6

điểm)

K

I O D

C

B

F E

H

0,5

a 2đ

∆AME = ∆CMB (c-g-c)  EAM = BCM

Mà BCM + MBC = 90 0  EAM + MBC = 90 0

 AHB = 90 0

Vậy AE  BC

1 0,5 0,5

b 2đ

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến

 ∆DHM vuông tại H

 DHM = 90 0 Chứng minh tương tự ta có: MHF = 90 0 Suy ra: DHM + MHF = 180 0

Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.

0,5 0,5 0,5 0,5 c

1,5đ

Gọi I là giao điểm của AC và DF.

Ta có: DMF = 90 0  MF  DM mà IO  DM  IO // MF

Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF

Kẻ IK  AB (KAB)

 IK là đường trung bình của hình thang ABFD

AD BF AM BM AB

(không đổi)

Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định.

Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm

0,5 0,5 0,5

M di động trên đoạn thẳng AB

Lưu ý : Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.