ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN TOÁN Thời gian 120 phút.. nhận giá trị nguyên.[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
TRƯỜNG THCS BƯNG RIỀNG MÔN TOÁN
Thời gian 120 phút
ĐỀ BÀI :
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên x thì biểu thức A = x5 – x luôn chia hết cho 30
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1/ a(x2 +1) – x(a2 + 1)
2/ 6x3 + 13x2 + 4x – 3
3/ ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15
Bài 3 : a/ Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B = 4 x3− 6 x2+8 x
2 x −1 nhận giá trị nguyên b/ Tìm giá trị của a và b để biểu thức C = a2 – 4ab + 5b2 -2b – 6 đạt giá trị nhỏ nhất
Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 4 : Chứng minh rằng : (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10 1
Bài 5 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC.
a/ Tính diện tích tứ giác AMND
b/ Phân giác góc CDM cắt BC tại E, Chứng minh DM = AM + CE
Bài 6 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn BD , CE là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm
H Chứng minh rằng :
a/ HD.HB = HE.HC
b/ Δ HDE Δ HCB
c/ BH.BD + CH.CE = BC2
HẾT
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOAN 8
BÀI 1: (2đ) A = x5 – x = x( x4 - 1 ) = x( x2 – 1 )( x2 + 1)
= (x – 1 ) x ( x + 1)( x2 + 1)
Vì (x – 1 ) x ( x + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 => A ⋮ 6 (1)
+/ Nếu x ⋮ 5 => A ⋮ 5
+/ Nếu x : 5 dư 1 thì ( x – 1) ⋮ 5 => A ⋮ 5
+/ Nếu x : 5 dư 4 thì ( x + 1) ⋮ 5 => A ⋮ 5
+/ Nếu x : 5 dư 2 hoặc 3 thì x2 : 5 dư 4 => ( x2 + 1) ⋮ 5 => A ⋮ 5
Vậy A ⋮ 5 với mọi x (2)
Ta có UCLN ( 5;6) = 1 nên kết hợp (1) và (2) => A ⋮ (5.6) =30
A ⋮ 30 với mọi x
Bài 2 : (3đ)
1/ a(x2 +1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2 – x = ax2 –a2x +a – x =
= ax(x – a ) – ( x – a ) = ( x – a ) ( ax – 1 )
2/ 6x3 + 13x2 + 4x – 3 = 6x3 + 6x2 + 7x2 + 7x – 3x – 3
= 6x2( x + 1) + 7x( x + 1) – 3( x + 1) = ( x + 1)( 6x2 + 7x – 3 )
= ( x + 1)( 6x2 + 9x – 2x – 3 ) = ( x + 1 )( 3x( 2x + 3) – ( 2x + 3)
= (x + 1)( 2x +3)( 3x – 1 )
3/ ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 = ( x2 + x)2 – 2(x2 + x) + 1 – 16
= ( x2 + x – 1 )2 – 42 = ( x2 + x – 5 )( x2 + x + 3 )
Trang 2Bài 3 : (4đ) a/ Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B = 4 x3− 6 x2+8 x
2 x −1 nhận giá trị nguyên
B = 4 x3− 6 x2+8 x
4 x3− 2 x2− 4 x2
+2 x+6 x −3+3
2−2 x+3+ 3
2 x −1
Để B nhận giá trị nguyên thì 3 ⋮ (2x – 1) Hay ( 2x – 1 ) U(3) = { -1;1;-3;3}
Suy ra x { 0;1; -1; 2}
b/ Tìm giá trị của a và b để biểu thức C = a2 – 4ab + 5b2 -2b – 6 đạt giá trị nhỏ nhất
Tìm giá trị nhỏ nhất đó
C = a2 – 4ab + 4b2 + b2 – 2b + 1 – 7 = ( a -2b)2 + ( b – 1)2 – 7 – 7
Vậy : Tại a – 2b = 0 và b – 1 = 0 ⇔ a = 2 và b = 1 thì MinC = -7
Bài 4 : ( 2đ) Chứng minh rằng : (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10 1
Ta có (x – 1)(x – 3 )( x – 4 )(x – 6 ) +10 = (x – 1)(x – 6 )( x – 4 )(x – 3 ) +10
= x2 -7x + 6 )( x2 – 7 x + 12) + 10 = ( x2 – 7x + 9 – 3 )( x2 – 7x +9 + 3) + 10 =
= ( x2 – 7x + 9)2 – 32 + 10 = ( x2 – 7x + 9)2 + 1
Vì ( x2 – 7x + 9)2 0 ,với mọi x
Nên ( x2 – 7x + 9)2 + 1 1 , với mọi x
Bài 5 : ( 4đ)
a/ SAMND = SABCD – S Δ BMN - S Δ NCD
Ta có Δ BMN vuông tại B có BM = BN = a2 = CN
Δ NCD vuông tại C có DC = a
Suy ra SAMND = a2−1
2
a
2
a
2−
1
2 a.
a
2=a
2− a2
8 −
a
4=
5 a2 8
b/ Chứng ming DM = AM + CE
Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = AM
Dễ dàng chứng minh được Δ ADM = Δ CDK ( c.g.c)
Suy ra AM = CK và DM = DK (1)
Và góc ADM = góc CDK
Ta có : ∠ ADE = ∠ ADM + ∠ MDE =
= ∠ EDC + ∠ CDK = ∠ EDK ( Vì ∠ MDE = ∠ EDC theo GT)
Mặt khác ∠ ADE = ∠ DEK ( so le trong )
= > ∠ EDK = ∠ DEK Vậy Δ DKE cân tại K => DK = KE = CK + CE ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra DM = AM + CE
Bài 5 : ( 5đ)
a/ HD.HB = HE.HC : Chứng minh 2 Δ vuông : Δ BHE và Δ
CHD đông dạng ( ∠ E = ∠ D = 900; ∠ EBH = ∠ DCH cũng
phụ với ∠ A )
=> HEHD=HB
HC => HD.HB = HE.HC
b/ Δ HDE Δ HCB : Từ HEHD=HB
HB=
HD HC
và ∠ EHD = ∠ CHB (đối đỉnh) => Δ HDE Δ HCB
c/ vì H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên H là trực tam của tam giác => AH là đường cao thứ ba Gọi F là giao điểm của AH với BC Ta có AF BC
Δ BHF đồng dạng Δ BCD ( Δ vuông cùng góc nhọn B) => BHBC=BF
BD Hay BH.BD = BF.BC (*)
Δ CHF đồng dạng Δ BCE ( Δ vuông có cùng góc BCE) => CHCB=CF
CE Hay CH.CE = CF.BC (**)
Trang 3Cộng theo vế (*), (**) : BH.BD + CH.CE = BC(BF + CF) = BC2