Chứng minh tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.. Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ..[r]
Trang 1******************************************************************************
DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau
Trang 2số hạng trong hay trung tỉ
2 Tính chất:
Trang 3******************************************************************************
Tính chất 1: Nếu a c
b d thì ad = bc Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau
II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
2 3 5 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5 Có thể viết a: b: c = 2: 3: 5
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC
Trang 4 Biết a + b + c ≠ 0 Tìm giá trị mỗi tỉ số đó
Bài 10 Số học sinh khối 6, 7, 8, 9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9; 10; 11; 8 Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính số học sinh của trường đó
Bài 11: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: [ab(ab – 2cd) + c²d²][ab(ab – 2) + 2(ab + 1)] = 0 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
Để chứng minh tỉ lệ thức: A C
B D ta thường dùng một số phương pháp sau Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A.D = B.C
Trang 5
Trang 6Chứng minh x y z
a b c
Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
* Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số thực a
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó
Trang 7* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương của số đó: |a|² = a²
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu
|a| + |b| ≥ |a + b| và |a| + |b| = |a + b| <=> ab ≥ 0
Dạng 1: |A(x)| = k trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước
– Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức
Dạng 3: A(x) B(x) trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm Do vậy ta giải như sau:
|A(x)| = B(x) (1)
Điều kiện: B(x) ≥ 0 (*)
Trang 8 và đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện (*)
* Cách 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối
|A(x)| = B(x) (1)
Nếu A(x) ≥ 0 thì (1) trở thành A(x) = B(x); đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện A(x) ≥ 0
Nếu A(x) < 0 thì (1) trở thành –A(x) = B(x); đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện A(x) < 0
Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều giá trị tuyệt đối
Bước 1 Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Bước 2 Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán; đối chiếu điều kiện tương ứng
Trang 9Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức
Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0
Bước 1: Đánh giá |A| ≥ 0 và |B| ≥ 0 suy ra |A| + |B| ≥ 0
a |3x – 4| + |3y + 5| = 0 b |x – 2y| + |y + 1,5| = 0 c |3 – 2x| + |4y + 5| = 0
Bài 3: Tìm x, y thỏa mãn
a |5x + 10| + |6y – 9| ≤ 0 b |x + 2y| + |2y – 3| ≤ 0 c |x – y + 2| + |2y + 4| ≤ 0
Bài 4: Tìm x, y thỏa mãn
a |12x + 8| + |11y – 5| ≤ 0 b |3x + 2y| + |4y – 1| ≤ 0 c |x – 2| + |xy – 10| ≤ 0
Chú ý: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự
Bài 5: Tìm x, y thỏa mãn
a |x – 3y|11 + (y + 4)12 = 0 b (x + y)2014 + 2015|y – 1| = 0 c |x – y – 5| + 2015(y – 3)2014 = 0
Trang 10* Nếu m > 0 thì do |A| ≥ 0 nên 0 ≤ |B| ≤ m từ đó tìm giá trị của |B| và |A| tương ứng
Bài 1: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a 3|x – 5| + |y + 4| – 5 = 0 b |x + 6| + 4|2y – 1| = 12 c 6|x| + |y + 3| = 10 d 12|x + 1| + |2y + 3| = 21 Bài 5: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a y² = 3 – |2x – 3| b y² = 5 – |x – 1| c 2y² = 3 – |x + 4| d 3(2y + 1)² = 12 – |x – 1|
Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: |a| + |b| ≥ |a ± b| xét khoảng giá trị của ẩn số
Bài 8: Tìm số nguyên x thỏa mãn
Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích
Bài 11: Tìm số nguyên x thỏa mãn
Trang 11Bài 1: Tính giá trị của biểu thức
a A = 2x + 2xy – y với |x| = 2,5; y = –3/4 b B = 3a – 3ab – b với |a| = 1/3; |b| = 0,25
c C = 3x² – 2x + 1 với |x| = 1/2
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức
a A = 6x³ – 3x² + 2|x| + 4 với x = –2/3 b B = 2|x| – 3|y| với x = 1/2; y = –3
c C = 2|x – 2| – 3|1 – x| với x = 4
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
6 x 1 8
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x 7 4
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trang 12Bài 14: Cho x + y = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1| + |y – 2|
Bài 15: Cho x – 2y = 3, tìm giá trị của biểu thức B = |x – 6| + |2y + 1|
Bài 16: Cho x – y = 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 2|x + 1| + |1 – 2y|
Bài 17: Cho 2x + y = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = |2x + 3| + |y + 2| + 12
DÃY SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tính tổng S = 2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … + 2012
Bài 2: Cho A = 1 – 2 + 3 – 4 + + 99 – 100
a Tính A
b A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không?
c A có bao nhiêu ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên?
Bài 3: Cho A = 1 – 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +
a Biết A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng?
b Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n?
a Tính tổng A
b Chứng minh A chia hết cho 130
c A có phải là số chính phương không? Vì sao?
Bài 10:
a Cho A = 1 – 3 + 3² – 3³ + – 32003 + 32004 Chứng minh 4A – 1 là lũy thừa của 3
b Chứng minh rằng B là một luỹ thừa của 2 với B = 2² + 2³ + + 22004
Bài 11:
a Cho A = 2 + 2² + 2³ + + 260 Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15
b Chứng minh rằng tổng 2 + 2² + 2³ + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42
a Chứng minh B chia hết cho 230
b Chứng minh B – A chia hết cho 61
Trang 13b Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: 1 1 1 2 2003
3 6 10 n(n 1) 2004
Bài 19:
a S = 1 + a + a² + a³ + + aⁿ, với a ≥ 2, n là số nguyên dương
b S1 = 1 + a² + a4 + + a2n, với a ≥ 2, n là số nguyên dương
c S2 = a + a³ +a5 + + a2n+1, với a ≥ 2, n là số nguyên dương
Trang 14CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN, SỐ THỰC, CĂN BẬC HAI
Bài 1: Viết các số thập phân dưới dạng phân số tối giản
0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13)
Bài 2: Tính
a 10,(3) + 0,(4) – 8,(6) b [12,(1) – 2,3(6)]:4,(21) c 0,(3) + 3,(3) – 0,4(2)
Bài 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ tối thiểu khi biểu diễn số 116
99 dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
Bài 4: Tính tổng tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12)
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn đến hàng đơn vị
với m là số tự nhiên
a Chứng minh rằng A là phân số tối giản
b Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?
hoặc x 25
9
thì A có giá trị là một số nguyên Bài 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên
x 3
Trang 16******************************************************************************
a |2x – 5| < 6 b |10x + 7| < 37 c |4x + 3| + 4|x – 1| < 8
Bài 12 Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện
a 2|x| + 3|y| = 8 b 2|x| + 3|y| < 4 c 4x² + 5|y| = 13
Bài 13 Tìm số nguyên x thỏa mãn điều kiện 2x 1 0
3 x
Chuyên đề: CHỨNG MINH TAM GIÁC
Bài 1 Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360°
Bài 2: Cho ΔABC có AC > AB Vẽ phân giác AD, D thuộc BC Chứng minh góc ADC – góc ADB = góc B – góc C
Bài 3 Cho ΔABC có góc A = 60° Vẽ tia phân giác BD và CE (D tuộc AC; E thuộc AB) cắt nhau tại O
a Tính góc BOC
b Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I Tính góc BIC
Bài 4: Tính các góc trong và ngoài của tam giác ABC Biết góc A – góc B = góc B – góc C = 20°
Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A = 80°, góc B = 60° Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D Chứng minh rằng góc BDC = góc ACB
Bài 6: Cho tam giác ABC có góc A gấp 2 lần góc B và góc B gấp 2 lần góc C
a Tính góc A; B; C
b Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C Tính góc AEC?
Bài 7: Cho ΔABC có các góc A; B; C lần lượt tỷ lệ với 3; 2; 1 Hỏi ΔABC là tam giác như thế nào?
Bài 8: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp và AB < BC < CA Tìm
độ dài 3 cạnh của tam giác ABC
Bài 9: Cho góc xOy Trên tia Ox lấy A, B và trên Oy lấy C, D sao cho OA = OC; AB = CD Chứng minh rằng
b DC vuông góc với BE
Bài 16: Cho tam giác ABC có góc B gấp hai lần góc C Tia phân giác góc B cắt AC ở D Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE = AC Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK = AB Chứng minh rằng AE = AK Bài 17: Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC Trên tia đối tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho EN = EB Chứng minh A là trung điểm của MN
Bài 18: Cho tam giác ABC Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ΔADB; ΔACE Kẻ
AH vuông góc BC; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH Chứng minh
a DM = AH
b MN đi qua trung điểm của DE
Trang 17Bài 28: Cho góc xÔy = 90° Lấy điểm A trên Ox và điểm B trên Oy Lấy điểm E trên tia đối Ox và điểm F trên tia Oy sao cho OE = OB và OF = OA
a Chứng minh AB = EF và AB vuông góc với EF
b Gọi M, N là trung điểm AB, EF Chứng minh tam giác OMN vuông cân
Bài 29: Cho tam giác đều ABC Trên 2 cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho AM = CN Gọi O
là giao điểm CM và BN Chứng ninh rằng:
a CM = BN
b Số đo góc BOC không đổi khi M và N di động trên AB, AC thỏa mãn điều kiện AM = CN
Bài 30: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc C = 45° Vẽ phân giác AD Trên tia đối AD lấy AE = BC Trên tia đối CA lấy CF = AB Chứng minh
Bài 34: Cho tam giác ABC có góc B = 2 góc C Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC) Trên tia đối BA lấy
BE = BH Đường thẳng EH cắt AD tại F Chứng minh: FH = FA = FC
Bài 35: Cho tam giác ABC có góc A = 90° Ở miền ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD tại B, ACF tại C
a Chứng minh rằng D, A, F thẳng hàng
b Từ D và F kẻ các đường DD’, FF’ vuông góc xuống BC Chứng minh DD’ + FF’ = BC
Bài 36: Cho ΔABC có góc BAC = 120° Kẻ AD phân giác góc A Từ D hạ DE vuông góc với AB tại E; DF vuông góc với AC tại F
a Tam giác DEF là tam giác gì?
Trang 18******************************************************************************
b Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M, ACM là tam giác gì?
Bài 37: Tam giác ABC có AB > AC Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB, AC lần lượt tại E và F Chứng minh
Bài 38: Cho tam giác nhọn ABC có góc  = 60° Đường cao BD Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB; AC
a Xác định dạng của tam giác BMD và tam giác AMD
b Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AN Chứng minh CE vuông góc AB
Bài 39: Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh BC lấy 2 điểm M, N sao cho BM = BA; CN = CA Tính góc MÂN
Bài 40: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau
a Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
b Tam giác ABM là tam giác đều
Gợi ý: a Vẽ MI vuông góc AC
Bài 41: Cho tam giác ABC có góc B = 75°, góc C = 60° Kéo dài BC một đoạn CD sao cho CD = (1/2)BC Tính góc ADB
Gợi ý: Kẻ BH vuông góc với AC
Bài 42: Cho tam giác ABC có AB = 24 cm; BC = 40 cm và AC = 32 cm Trên cạnh AC lấy M sao cho AM
Bài 45: Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH, trên đó lấy điểm D Trên tia đối HA lấy E sao cho
HE = AD Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F Chứng minh EB vuông góc EF
Bài 46: Một cây tre cao 9 m Bị gãy ngang thân Ngọn cây chạm đất và cách gốc 3m Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu?
Bài 47: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5; 4); B(2; 3) và C(6; 1) Tính các góc ΔABC
Bài 48: Cho tam giác ABC Trung tuyến AM cũng là phân giác
a Chứng minh tam giác ABC cân
b Cho biết AB = 37 cm; AM = 35 cm Tính độ dài BC
Bài 49: Cho tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau
a Chứng minh tam giác đó đều
b Cho biết mỗi đường cao có độ dài a 3
2 Tính độ dài mỗi cạnh tam giác đó
Bài 50: Cho tam giác ABC cân tại A và Â = 80° Gọi O là điểm nằm trong tam goác sao cho góc OBC = 30°; góc OCB = 10° Chứng minh tam giác COA cân
Gợi ý: Vẽ thêm tam giác đều BCM sao cho M, A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC
Bài 51: Cho tam giác ABC cân tại A và góc Â= 100° Gọi O là điểm nằm trên tia phân giác góc C sao cho góc CBO = 30° Tính góc CAO
Gợi ý: Vẽ tam giác đều BCM sao cho M, A cùng nửa mặt phẳng bờ BC
Bài 52: Cho tam giác cân ABC có AB = AC Kẻ đường vuông góc AB tại B và vuông góc AC tại C Hai đường này cắt nhau tại D
a Chứng minh AD là phân giác góc A
b Hãy so sánh AD và CD
Bài 53: Cho tam giác cân ABC có AB = AC D là một điểm thuộc AB và E là môt điểm thuộc AC sao cho
AD = AE Từ D và E hạ đường vuông góc với BC Chứng minh BM = CN
Trang 19+ 4xy – 6xy³ với |x| = 5 và |y| = 1
Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị của biểu thức: B = 4x 9 4y 9
3x y 3y x
(x ≠ –3y; y ≠ –3x) Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:
c C = 2a² – 3ab + b² với |a| = 1 và |b| = 2
Bài 4: Xác định các giá trị của biến để biểu thức sau có nghĩa
26x x 32x 1
với
1x2
Bài 6: Tìm các giá trị của biến để
a A = (x + 1)(y² – 6) có giá trị bằng 0 b B = x² – 12x + 7 có giá trị bằng 7
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức A =
2 2
2 2
5x 3y10x 3y
x 2
Tìm các giá trị nguyên của x để E có
a giá trị nguyên b giá trị nhỏ nhất
Bài 11: Tìm các GTNN của các biểu thức sau:
a A = (x – 3)² + 2 b B = (2x + 1)4 – 1 c C = (x² – 1)² + |y – 3| – 2
Bài 12: Tìm GTNN của biểu thức A = |x – 2| + |x – 10|
Bài 13: Tìm các giá trị nguyên của x, để biểu thức A = 10x 15
Bài 16: Chứng minh rằng biểu thức P = x8
– x5 + x² – x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trang 20******************************************************************************
a Biểu thức x² + x + 3 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x
b Biểu thức – 2x² + 3x – 8 không dương với mọi giá trị của x
Bài 20*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết
B chia hết cho 13
Bài 4: Cho biểu thức P = 2a2n+1
– 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1 (n là số tự nhiên) Với giá trị nào của a thì P >
0
Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5xk+2
+ 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk (k là số tự nhiên) Với giá trị nào của x và k thì Q < 0
Bài 6: Tìm x biết: xn
– 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = 0 (n là số nguyên dương) Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau:
a M + N – P với M = 2a² – 3a + 1, N = 5a² + a, P = a² – 4
b 2y – x – {2x – y – [y + 3x – (5y – x)]} với x = a² + 2ab + b², y = a² – 2ab + b²
Bài 13: Tìm x, biết (0,4x – 2) – (1,5x + 1) + (4x + 0,8) = 3,6
Bài 14: Tìm số tự nhiên abc (a > b > c) sao cho: abc bca cab = 666
Bài 15: Có số tự nhiên abc mà tổng abc bca cab là một số chính phương không?
Trang 21******************************************************************************
h (x + 3)y+1 = (2x – 1)y+1 với y là số tự nhiên
Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Định nghĩa: Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên
Ví dụ: 9 = 3²; 225 = 15² được gọi là các số chính phương
Một số tính chất
a Số chính phương chỉ có thể tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi 2; 3; 7; 8
b Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục phải là 2
Giả sử M = (10a + 5)² = 100a² + 100a + 25
Vì chữ số hàng chục của 100a² và 100a là số 0 nên chữ số hàng chục của số M là 2
c Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ
Giả sử số chính phương N = a² có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6 Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự),
Khi đó (10b + 4)² = 100b² + 80b + 16
Vì chữ số hàng chục của số 100b² và 80b là chẵn nên chữ số hàng chục của N là số lẻ
d Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Giả sử A = ax
bycz trong đó a, b, c, … là các số nguyên tố khác nhau, còn x, y, z, là các số nguyên dương thế thì A² = (ax
bycz )² = a2xb2yc2z
Từ tính chất này suy ra số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25, số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 64
Ví dụ 1 Chứng minh rằng
a Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 với n nguyên
b Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n + 2 với n nguyên
Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k, khi đó (2k)² = 4k² là số chia hết cho 4 còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k + 1, khi đó (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 là số chia cho 4 dư 1
Vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1
Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k + 1, 3k – 1; khi đó bình phương của nó có dạng (3k)² = 9k² là số chia hết cho 3, hoặc có dạng (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1, (3k – 1)² = 9k² – 6k + 1 là số khi chia cho 3 thì dư 1
Vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1
Ví dụ 2: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6 Chứng minh tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương
Cách 1 Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1, 3, 5, 7, 9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5² là số chính phương
Cách 2 Nếu một số chính phương có M = a² có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của số a là số chẵn, do đó a chia hết cho 2 nên a² chia hết cho 4
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96 Từ đó, ta có:
Khi đó số 3n + 1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị 37; 73; 121; 181; 253
Trong các số trên chỉ có số 121 = 11² là một số chính phương