ĐÁP ÁN Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2... Phương trình trở thành..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I
AN GIANG Ngày kiểm tra 29-12-2015
Môn : TOÁN LỚP 12
Thời gian làm bài : 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3,5 điểm)
Cho hàm số𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
𝑥 + 1 (1)
a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2
c Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
𝑥 + 1 𝑚 + 1 − 𝑥 = 0
Bài 2: (1,5 điểm)
a Tính: 𝐴 = (log69 + log64 ) 2 −2
b Tìm 𝑥 biết:64𝑥 − 8𝑥 − 56 = 0
Bài 3: (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên đoạn 1; 5
𝑦 = 𝑥4 − 3𝑥2 + 2
Bài 4:(3,0 điểm)
Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B Hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm của cạnh huyền AC Cho AB = a; SA = a 2
a Chứng tỏ tam giác SAC đều;
b Tính thể tích khối chóp S ABC theo a;
c Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a
Bài 5: (1.0 điểm)(Đường đi nhanh nhất)
Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có
khoảng cách đến bờ biển AB=5km Trên bờ biển
có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7
km Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A
đến M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ
đến C với vận tốc 6km/h Xác định vị trí của
điểm M để người đó đi đến kho nhanh nhất
- Hết -
ĐỀ CHÍNH THỨC
SBD : PHÒNG:
Trang 2AN GIANG Học kỳ 1 Năm học 2014 -2015
A ĐÁP ÁN
Bài 1a
2,0 đ
𝑦 = 𝑓(𝑥) =𝑥 − 1
𝑥 + 1 Tập xác định 𝐷 = 𝑅\{−1}
𝑦′ = 2
𝑥 + 1 2 > 0; ∀𝑥 ∈ 𝐷 Hàm số tăng trên từng khoảng xác định của hàm số
Các giới hạn
lim
𝑥→+∞
𝑥 − 1
𝑥 + 1= 1 ; lim𝑥→−∞
𝑥 − 1
𝑥 + 1 = 1
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang 𝑦 = 1
lim
𝑥→−1 +
𝑥 − 1
𝑥 + 1= −∞ ; lim𝑥→−1 −
𝑥 − 1
𝑥 + 1 = +∞
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 𝑥 = −1
Bảng biến thiên
𝑥 −∞ − 1 + ∞
𝑦′ + ∥ +
𝑦 +∞ 1
1 − ∞
Giá trị đặc biệt
Đồ thị hàm số
Nhận xét: Đồ thị đối xứng nhau qua điểm 𝐼(−1; 1)
0.25
0.25 0.25
0.25
0.5
0.50
Trang 3Bài ĐÁP ÁN Điểm
Bài 1b
1,0 đ
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến có hệ số
góc bằng 2
Phương trình tiếp tuyến có dạng
𝑦 = 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑦0 Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 nên ta được
2
𝑥0 + 1 2 = 2 ⟺ 𝑥0 + 1 2 = 1 ⟺ 𝑥0 = 0; 𝑥0 = −2 + Tại 𝑥0 = 0 ⟹ 𝑦0 = −1; 𝑓′ 𝑥0 = 2 phương trình tiếp tuyến là:
𝑦 = 2(𝑥 − 0) − 1 ⇔ 𝑦 = 2𝑥 − 1 + Tại 𝑥0 = −2 ⟹ 𝑦0 = 2; 𝑓′ 𝑥0 = 2 phương tình tiếp tuyến là
𝑦 = 2 𝑥 + 2 + 2 ⟺ 𝑦 = 2𝑥 + 6 Vậy phương tình tiếp tuyến cần tìm 𝑦 = 2𝑥 − 1 ; 𝑦 = 2𝑥 + 6
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 1c
0,5 đ
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
𝑥 + 1 𝑚 + 1 − 𝑥 = 0
Ta có 𝑥 = −1 không là nghiệm của phương trình; phương trình viết lại
là
𝑥 − 1
𝑥 + 1 = 𝑚
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥+1 𝑥−1
và đường thẳng 𝑦 = 𝑚
Đồ thị hàm số
𝑦 = 𝑥 − 1
𝑥 + 1 =
𝑥 − 1
𝑥 + 1𝑣ớ𝑖𝑥 > −1
−𝑥 − 1
𝑥 + 1𝑣ớ𝑖𝑥 < −1
Là đồ thị (C) lấy phần 𝑥 > −1 và đối xứng (C) qua trục hoành với phần
𝑥 < −1
Dựa vào đồ thị ta có
+ 𝑚 ≥ 1 Phương trình vô nghiệm
+ 1 > 𝑚 ≥ −1 phương trình có một nghiệm
+ 𝑚 < −1 phương trình có hai nghiệm phân biệt
0,25
0.25
Trang 4Bài 2a
0,5 đ
𝐴 = (log69 + log64 ) 2 −2
𝐴 = log6 9.4 2 −2
= log636 1
2 2
= 2.1
2 = 1
0,25
0.25
Bài 2b
1,0 đ
64𝑥 − 8𝑥 − 56 = 0 Đặt 𝑡 = 8𝑥Đ 𝑖ề𝑢𝑘𝑖ệ𝑛𝑡 > 0
⟹ 𝑡2 = 82𝑥 = 64𝑥
Phương trình trở thành
𝑡2 − 𝑡 − 56 = 0 Phương trình có hai nghiệm 𝑡 = 8; 𝑡 = −7 𝑙𝑜ạ𝑖
Với 𝑡 = 8 𝑡𝑎đượ𝑐
8𝑥 = 8 ⟺ 𝑥 = 1 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 𝑆 = {1}
0.25
0.25 0.25
0.25
Bài 3
1,0 đ
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 𝑥4 − 3𝑥2 + 2
trên đoạn 1; 5
Hàm số 𝑦 = 𝑥4 − 3𝑥2 + 2 liên tục trên [1;5]
𝑦′ = 4𝑥3 − 6𝑥
𝑦′ = 0 ⟺ 4𝑥3 − 6𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 0; 𝑥 = ± 3
2
Do 𝑥 ∈ 1; 5 ⟹ 𝑥 = 6
2
𝑦 1 = 0
𝑦 6
2 = −
1 4
𝑦 5 = 552
𝑉ậ𝑦 max
[1;5] 𝑦 = 552 ; min
1;5 𝑦 = −1
4
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 4a
1,0 đ
Gọi M là trung điểm của AC, theo đề bài 𝑆𝑀 vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại trung điểm của AC nên SA=SC hay tam giác SAC cân tại S
Mặt khác tam giác ABC vuông cân tại B có cạnh góc vuông bằng a nên
cạnh huyền 𝐴𝐶 = 𝑎 2
vậy 𝐴𝐶 = 𝑆𝐴 = 𝑆𝐶 = 𝑎 2
Hay tam giác SAC đều
0.25
0.25 0.25 0.25
M A
B
C S
Trang 5Bài ĐÁP ÁN Điểm
Bài 4b
1,0 đ
Khối chóp SABC có đáy ABC và đường cao SM
Thể tích khối chóp là
𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 =1
3𝑆𝐴𝐵𝐶 𝑆𝑀 Đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh a, ta được 𝑆𝐴𝐵𝐶 =12𝑎2
Tam giác SAC đều 𝑆𝑀 = 𝑎 2. 32 =𝑎 6
2
𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 =1
3.
1
2𝑎2.
𝑎 6
𝑎3 6 12
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 4c
1,0 đ
Gọi G là trọng tâm của tam giác đều SAC
Khi đó GA=GB=GC
Mặt khác SM là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC G thuộc SM
suy ra
GA=GB=GC hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Bán kính mặt cầu 𝑅 = 𝐺𝑆 = 𝑎 6
3
Thể tích khối cầu
𝑉 =4𝜋𝑅3
4𝜋 3
𝑎 6 3
3
=8𝜋𝑎3 6
27 (đ𝑣𝑡𝑡)
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 5
1,0 đ
Đặt 𝑥 = 𝐵𝑀 (𝑘𝑚) ĐK
0 ≤ 𝑥 ≤ 7
Quảng đường AM
25 + 𝑥2
Thời gian người canh hải
đăng chèo đò đi từ A đến
M
𝑡𝐴𝑀 = 25 + 𝑥2
4 Quảng đường MC
7 − 𝑥 Thời gian người canh hải đăng đi bộ từ M đến C
𝑡𝑀𝐶 =7 − 𝑥
6 Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C
0.25
M A
B C S
G
Trang 6𝑡 = 25 + 𝑥2
7 − 𝑥 6
4 25 + 𝑥2 −1
6
4 25 + 𝑥2 −1
6= 0 ⟺ 6𝑥 = 4 25 + 𝑥2
⟺ 20𝑥2 = 16.25 ⟺ 𝑥 = 2 5
𝑡 0 =5
4+
7
6=
29 12
𝑡 7 = 74
4
𝑡 2 5 ≈ 2,09 Vậy giá trị nhỏ nhất của t tại điểm M cách B một khoảng
𝑥 = 2 5𝑘𝑚 ≈ 4,472 𝑘𝑚
0.25
0.25
0.25
B HƯỚNG DẪN CHẤM:
1 Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn được điểm tối đa
2 Điểm số có thể chia nhỏ tới 0,25 điểm cho từng câu trong đáp án, giám khảo chấm bài không dời điểm từ phần này qua phần khác
3 Tổ trưởng họp thống nhất đáp án và ghi thành biên bản trước khi chấm chính thức