Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P... Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng A'BC theo a.. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C'... Cảm ơn thầy Hoàng Văn Thi đã đưa đề lên.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi : Toán lớp 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28/10/2011
(Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu)
Câu 1 (4 điểm)
Giải phương trình
10x +3x 1 (1 6x) x+ = + +3
Câu 2 (4 điểm)
Tìm m để hàm số
y x= +3x −(m 1)x 2+ +
có cực đại, cực tiểu Đồng thời đường thẳng nối điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng
y = 2x + 3 góc 450
Câu 3 (4 điểm)
Cho dãy số (xn) thỏa mãn
1
2
1
3
+
=
(n N *∈
)
Đặt
n n
k
k 1
1 u
=
Tính Limun
Câu 4 (4 điểm)
Cho 3 số dương a, b, c thay đổi Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
Trang 2
Câu 5 (4 điểm)
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB
a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) theo a
b Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C'
-Hết -Đáp án Đề HSG Lạng Sơn 2011 lớp 12
Câu 1 (4 điểm) Giải phương trình:
10x + 3x +1 = (1+ 6x) x + 3
.do nên 1+6x
> Đặt u = 1+6x, v = x2 3 +
, khi đó phương trình cho trở thành
4u + − =v 4 u v hay u – 2v = ± 3
*) u – 2v = 3 ta được
1 6+ x− =3 2 x + ⇔3 3x− =1 x +3
1
x
x
− ≥
*) u – 2v = -3 ta được
1 6+ x+ =3 2 x + ⇔3 3x+ =2 x +3
4
x
x
+ ≥
Phương trình có 2 nghiệm x = 1,
7 3 4
Trang 3Câu 2(4điểm) Tìm m để hàm số
y = x + x − m+ x+
có cực đại , cực tiểu Đồng thời đường thẳng nối điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng y= 2x + 3 một góc 450
Giải Tập xác định của hàm số: D = R
y’ = 3x2 +6x- (m+1) để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt hay
' 9 12(= + m+ > ⇔ > −1) 0 m 4
V
Ta có
Do các hoành độ của các cực trị là nghiệm của y’ = 0 lên các điểm cực trị có tọa độ
thỏa mãn đường thẳng
y
x
+
Đường thẳng qua 2 cực trị tạo với đường thẳng y = 2x + 3 một góc 45
0
thì ta có
0
2
1
3
m
m
+
+
+
−
9 2 19 6
m m
=
⇔
= −
Câu 3 (4 điểm)
Cho dãy số (xn) thỏa mãn:
1
* 2
1
8
1
3
x
n N
=
Trang 4Đặt 1
1 ìmlim 2
n
k k
x
=
=
−
∑
Xét hàm số
( ) 1 2
đồng biến trên (7/2 ; +∞) nên x1 = 8 > 7/2 nên
x2 >x1 tương tự ta có xn+1 >xn mọi
*
n N∈
ta chứng minh (xn ) là dãy không bị chặn trên Thật vậy nếu dãy (xn ) bị chặn trên thì nó hội tụ về x > 8 hay phương trình
1
có nghiệm x = 5 > 8 (mâu thuẫn)
Ta có
2
Cho k chạy từ 1 đến n ta có
n n
u
∑
vậy Limun =1/3
Câu 4 (4điểm) Đặt
Trang 5x, y, z > 0 khi đó
1
P
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopki cho 2 dãy số dương
Ta được
+ +
2
2 2
3
P
x y z
x y z
x y z
+ +
+ +
Vậy GTLN của P là 3/4 khi x= y = z hay a = b = c
Câu 5 (4điểm)
Trang 6Goi I là trung điểm của AB Khi đó A’I là đường cao của hình lăng trụ (giả thiết)
Ta có A’I =
'
2
A A −AI =a
diện tích của tam giác ABC là
2
ABC
Ta có tam giác A’AC vuông tại A vì
AA ' '
AC
⊥
Trang 7gọi E là trung điểm của A’C thì BE là đường cao của tam giác A’BC
(vì A’B = BC = 2a)
a
Diên tích tam giác A’BC
2 A’BC
BE A C
a
V
Goi V là thể tích của khối chóp A’.ABC thì
A
V
b)
Góc giữa AA’ và B’C’ cũng là góc giữa AA’ và BC gọi là α ta có
2 2
BC BA AC
uuur uur uur
uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur
Trên đây là lời giải vắn tắt có gì sai sót mong các thầy cô góp ý Cảm ơn thầy Hoàng Văn Thi đã đưa đề lên