Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của 2 dội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ.. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM..[r]
Trang 1Trường THCS Dân Hòa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TOÁN: 9 (Thời gian 150 phút) Năm học 2015 – 2016 Câu 1: (6 điểm)
1 Cho A=(√x −13 +
√x − 3
x −1 ):(x + x +2√x −2 −
√x
√x +2)
a Rút gọn A
b Tìm giá trị x khi A=√x −1
c Tính giá trị A khi x=√3+√9+125
27 −√−3+√9+125
27
2 Cho n ∈ N❑ chứng minh rằng
A=2 n+11n − 2 2 n − 3 2 n chia hết cho 14
Câu 2: (4 điểm)
1 Giải phương trình
x2− x −1000√1+8000 x=1000
2 Cho x>0 , y >0 , Z >0 và x+2 y +3 z ≥ 20
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=x + y +z +3
x+
9
2 y+
4
z
Câu 3: (4 điểm)
1 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
2 Cho a, b, c > 0 chứng minh
a a+b+
b b+c+
c
c +a<√ a
b+c+√ b
c +a+√ c
a+b
Câu 4: (5 điểm)
Cho BC là 1 dây cung của (o) bán kính R ( (BC≠ 2 R) Một điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong Δ ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H
a, Chứng minh Δ AEF đồng dạng với Δ ABC ?
b, Gọi A’ là trung điểm của BC Chứng minh AH = 2 A’O?
c, A1 là trung điểm của EF Chứng minh RAA1 = AA’ OA’?
d, Tìm vị trí điểm A để chu vi ΔDEF có giá trị lớn nhất?
Câu 5: (1 điểm)
Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của 2 dội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ?
……… Hết……….
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Trang 26 đ
1
a, Rút gọn A: A= 4√x
√x+1
b, Tìm x / A = √x −1
⇔ 4√x
√x +1=√x − 1⇒ x −1=4❑
√x ⇒ x=9+4√5
c, Tính được x=1
A=4
2=2
2 điểm
1 điểm
1 điểm
2 A=2 n+11n − 2 2 n − 3 2 n
¿ 2n − 4 n+11n −9 n
¿ 11n − 4 n −(9 n −2 n)
(11− 4) B−(9− 2) C
(7 B− 7 C ):7
A là số chẵn ⇒ A⋮2
⇒ A⋮14
1 điểm
1 điểm
1.Giải phương trình
x2− x −1000√1+8000 x=1000
Đặt √1+8000 x +1=2 y
⇒√1+8000 x =2 y −1
⇒1+8000 x=4 y2
− 4 y +1
4 y2− 4 y=8000 x
− y=2000 x
Ta có x2− x=2000 y
y2− y=2000 x
( x − y )( x + y +1999)=0
Từ hệ phương trình suy ra
¿x2
+y2−( x + y )=2000 ( x + y )
2001( x + y )=x2+y2
⇒ x+ y >0
⇒ x + y+1999>0
⇒ x− y=0
⇒ x= y
Ta được x2− x=2000 x ⇒ x ( x −2001)=0
x=0 (Loại)
x=2001
Vậy phương trình có 1 nghiệm x=2001
2
P=x + y +z +3
x+
9
2 y+
4
z
¿(3x+
3
4 x)+(12 y +
9
2 y)+(14 z+
4
z)+(4x+
y
2+
3 z
4 )
Trang 33 x
4 +
3
x ≥ 3
1
2 y +
9
2 y ≥ 3
1
4 z +
4
z ≥2 x
4+
y
2+
3 z
4 =
1
4( x +2 y+ 3 z ) ≥ 5
⇒ P ≥ 13
Min P = 13 x = 0
y = 3
z = 4
3 1.Tìm nghiệm nguyên
2 y2x +x+ y+1+= x2+2 y2+xy
⇔ x2 +2 y 2
+xy − 2 y2x − x − y=1 ( x − 1)(− 2 y2+y +x)=1
⇔ x −1=1 x −1=−1
−2 y2+y+ x=1 −2 y2+x+ y =−1
⇒( x ; y )=(2;1 );(0 ;1)
2.Áp dụng BĐT cô si
2 ≥√a(b+c) >0
1
√a(b+c)⇒ a
√a(b +c)≥ 2 a
a+ b+c
2 a a+b+c
Tương tự
√c +a b ≥
2b a+b+c
√a+b c ≥
2 c a+b+c
⇒√b+c a +√c +a b +√a+b c ≥ 2 (1)
Có
a a+b −
a+c a+b+c=
− bc (a+ b) (a+b+ c )<0
⇒ a a+b<
a+c a+b+c
Tương tự b+c b < a+b
a+b+c
c a+b<
b+c a+ b+c
b
c a+b<2
Từ (1)(2) ⇒ a
a+b+
b b+c+
c a+b<√ a
b +c+√ b
c +a+√ c
a+b
2 điểm
1điểm
Trang 41điểm Câu 4
(5 đ)
1 Cos A=AE
AB , cos A=AF
AB=
AF AC
A chung
0.5điểm
1 điểm
2.Kẻ đường kính AOK
⇒ AC⊥ KC BH // KC
BH⊥ AC BHCK là hình bình hành
BK AB BK // CH
CH AB Nên BC HK tại trung điểm mỗi đường
Có A’ là trung điểm của BC
A’ là trung điểm của HK
Vậy 3 điểm H, A’, K thẳng hàng
Xét Δ AHK có O là trung điểm của AK.
A’ là trung điểm của HK
OA’ là đường trung bình => AH=ZOA’
0.5 điểm
1điểm
3 4 điểm A, E, H, F 1 đường tròn đường kính AH
=> Bán kính là 12 AH = OA’ = r
Δ AEF Δ ABC
=> R r = AAAA ' => R.AA 1 = AA’ r
R AA 1 = AA’ OA’
4 Δ AEF Δ ABC
1điểm
1điểm
A
C K
E C’
A 1 B’
F O
H
D B
Trang 5=> R r = EFBC => R EF = BC OA’ = 2 S BOC
Chứng minh tương tự
Δ BDF Δ BAC
OB '
R =¿
DF
AC => R DF = AC OB’ = 2S OAC
Δ CDE Δ CAB
OC ' R = ¿ DE
AB => R DE = OC’ AB = 2S BOA
SABC = SBOC + SAOB + SAOC
2 SABC = REF + R OF + R DE
=> 2 SABC = R ( EF + DF DE)
2 SABC = R Chu vi Δ DEF
AD BC = R Chu vi DEF
Chu vi Δ DEF có giá trị lớn nhất AD lớn nhất
( BC, R cố định)
AD lớn nhất A là trung điểm cung lớn AB
1đ 5 Gọi x, y lần lượt là số đấu thủ
Có xy = 4 ( x+ y)
( x - 4) (y – 4 ) = 16 = 1.16 = 2 8 = 4.4
x – 4 = 1 x = 5
y – 4 = 16 y = 20
x – 4 = 16
x = 20
y – 4 = 1 y = 5
1điểm
Người ra đề XÁC NHẬN CỦA BGH