Tìm nghiệm còn lại.. Trên tia CE lấy điểm N sao cho E là trung điểm của CN.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT PHÚ THIỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM 2008
MÔN THI: TOÁN LỚP 7 Thời Gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề này gồm 06 bài).
Bài 1: (2đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 3,2 − + x 2,5
Bài 2: (3 điểm) : Chứng minh rằng số 11 11 22 222
n ch soá n ch soá
1442 443 14442 4443 là một số chính phương.
Bài 3: (3 điểm): Cho phân số 1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6
m
Chứng minh rằng tử số m chia hết cho 7.
Bài
4: (4 điểm) : Với a, b, c là hằng số (a≠0) sao cho a + b +c = 0.
Chứng minh rằng đa thức p x( ) ax= 2+ +bx c có một nghiệm bằng 1 Tìm nghiệm còn lại.
Bài 5: (4 điểm): Cho tam giác ABC Gọi , D E theo thứ tự là trung điểm của AC AB trên tia ,
BD lấy điểm M sao cho BM = 2 BD Trên tia CE lấy điểm N sao cho E là trung điểm của
CN
Chứng minh rằng MN = 2 BC
Bài
6: (4đ): Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến ứng với cạnh BC.
Chứng minh: AM〈AB+2 AC
-Hết -Họ tên thí sinh:……… ; phòng thi:……… ; số báo danh:………
Đáp Án Biểu Điểm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Bài Nội Dung Điểm 1
Vỡ 3, 2− ≥x 0
nờn A ≥ 2,5
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 2,5;
khi x = 3,2
0.5 0.5 0.5 0.5
2
A 11 1100 00
= 1442 4431442 443 11 11
n soỏ
+ 1442 443 2.11 11
n soỏ
- 1442 443
A 11 11(10n 1)
n soỏ
-A 11 11
n soỏ
= 1442 443 99 99
n soỏ
´ 1442 443
A 33 332
n soỏ
= 1442 443 Vậy A là một số chớnh phương
0.75 0.5 0.75 0.5 0.5
3
1 1
6
m = + ổ ỗ ỗ ử ữ ữ
ữ
1 1
2 5
ỗ + ỗ ỗố + ữ ữ ứ
1 1
3 4
ỗ + ỗ ỗố + ữ ữ ứ
m 7
6
10
12 +
m 7.21
60
=
Do đó tử của phân số chia hết cho 7
Vậy m chia hết cho 7
1.0 0.75
0.75 0.5
4 *Chứng minh p(x) cú một nghiệm bằng 1
Ta cú: ( ) 2
Mà: a + b +c = 0 (gt)
(1) 0
p
Vậy x = 1 là nghiệm của p(x)
*Tỡm nghiệm cũn lại của p(x)
Theo đề bài ta cú: a + b +c = 0 (1)
Và p x( ) ax= 2+ +bx c (2)
2
(1)
a c x c
⇔ = − −
( ) ( )
2
ax - ax - cx + c = 0
( 1)(ax - c) = 0
c x x
⇔
⇔ −
1
1 0
ax - c = 0
x x
c x a
=
− =
=
05
0.25 0.25
0.25 0.5 0.25
0.5 0.5
0.5
Trang 3A’
2 A
Túm lại: a + b +c = 0 thỡ đa thức 2
( ) ax
cú nghiệm là: x = 1 hoặc x c
a
5
Vẽ hỡnh đỳng được
Trờn tia AM lấy điểm A’ sao cho: A’M = AM
Hai tam giỏc A’MB và AMC ta cú:
BM = CM (gt)
AM = A’M (cỏch vẽ)
M∧ = M∧ (Đối đỉnh)
Vậy: ∆A BM' = ∆AMC⇒ A B AC' =
Trong tam giỏc ABA’ thỡ: AA’ < AB + A’B suy ra AA’ < AB + AC Mà AA’ = 2AM
suy ra 〈 +
2
AM
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
6
vẽ hỡnh đỳng Xét VDAM và V DCB
Có BD = MD vì MB = 2BD
D = D (đối đỉnh)
DA DC = vì Dlà trung điểm của AC
Do đó , tam V DAM = V DCB.(c.g.c)
Suy ra AM BC = (1)
B = M suy ra AM//BC (hai góc so le trong) (2)
Xét V EAN và V EBC
NE CE = vì E là trung điểm của CN
E = E (đối đỉnh)
EA EB = vì E là trung điểm của AB
Do đó , V EAN = V EBC (c.g.c) điểm)
Suy ra AN BC = (3)
C = N suy ra AN//BC (4) điểm)
Từ (2) và (4) suy ra ba điểm M A N , , thẳng hàng theo thứ tự đó
Suy ra MN MA AN = +
Từ(1) và (3) ta có : MN MA AN BC BC = + = + = 2 BC
Vậy MN = 2 BC (Đpcm)
0.25
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
1 1
2
1 2 1 2
2
D E
B
A
C
M N