Nửa nhóm số đối xứng và siêu đối xứng

Thứ nhất, với hai số nguyên ,m n khác nhau thì mana , khi đó S đẳng cấu với nửa nhóm cộng * các số nguyên dương và S có cấp vô hạn.. Nửa nhóm cộng * tất cả các số nguyên dương là nửa

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Vinh – 2012

3

Mục lục

Trang

Bảng chỉ dẫn các kí hiệu và định nghĩa 1

Mở đầu 2

Chương 1 Nửa nhóm số Nửa nhóm số đối xứng 4

1.1 Nửa nhóm số 4

1.2 Nửa nhóm số đối xứng 9

Chương 2 Nửa nhóm số đối xứng sinh bởi ba phần tử và nửa nhóm số siêu đối xứng 18

2.1 Nửa nhóm số đối xứng sinh bởi ba phần tử 18

2.2 Nửa nhóm số siêu đối xứng 24

Kết luận 30

Tài liệu tham khảo 31

t i i i

5

MỞ ĐẦU

Năm 1884, J.J.Sylvester đã phát biểu và giải bài toán sau:” Giả sử s1, s2 là hai số nguyên tố cùng nhau Xác định số nguyên lớn nhất g không biểu diễn được dưới dạng một tổ hợp tuyến tính n s1 1n s2 2 trong đó n1 và n2là những số nguyên không âm” Câu trả lời là g s s1 2  s1 s2 Tuy nhiên, Sylvester cũng

đã chỉ ra trong khoảng  0, g có những số không âm biểu diễn được dưới dạng

tổ hợp tuyến tính nguyên không âm của s1, s2và cũng chứa những số nguyên không âm không biểu diễn được dưới dạng ấy Tính chất đặc trưng đó của nửa nhóm S sinh bởi s1, s2 được Sylvester gọi là tính đối xứng

Năm 1942, Frobenius và Braur đã tổng quát hóa bài toán của Sylvester như sau: “Giả sử s1, s2, , s k là các số tự nhiên với ước chung lớn nhất bằng 1 Xác định số nguyên lớn nhất không biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính nguyên của s1, s2, , s k ” Số nguyên này được gọi là số nguyên Frobenius Việc giải

quyết bài toán trên đã làm xuất hiện một hướng nghiên cứu mới về các nửa

nhóm được gọi là nửa nhóm số

Luận văn của chúng tôi dựa trên các công trình On numerial semigroups đăng trên Semigroup Forum số 35 năm 1987 và The double of a numerial

semigroups đăng trên Journal of Pure and Applied Algebra số 213 (2009) để

tìm hiểu các nửa nhóm số đối xứng và siêu đối xứng

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 Nửa nhóm số Nửa nhóm số đối xứng Trong chương này chúng tôi

trình bày khái niệm nửa nhóm số, nửa nhóm số đối xứng và một số tính chất của chúng

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã hướng

dẫn tận tình, chu đáo trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Cũng nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Vinh, các bạn bè cao học Toán khóa 18 – Chuyên ngành Đại số và Đại số, các thầy cô trong khoa Sau đại học của trường Đại học Đồng tháp đã có những đóng góp quý báo để tác giả hoàn thành luận văn này

Mặt dù hết sức cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những sai sót Tác giả rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên

Vinh, tháng 10 năm 2012

Tác giả

CHƯƠNG 1 NỬA NHÓM SỐ NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG

Thứ nhất, với hai số nguyên ,m n khác nhau thì mana , khi đó S

đẳng cấu với nửa nhóm cộng * các số nguyên dương và S có cấp vô hạn

Thứ hai, tồn tại m n nhưng mana, ta được kết quả sau

xyclic sao cho mana với các số nguyên dương , m n khác nhau nào đó Giả

sử k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ka ra với rk và giả sử

m k n

(1) Đối với p q r , đẳng thức pa qa đúng nếu và chỉ nếu m chia hết cho p q ;

(2) S a a,2 , ,k1a có lực lượng k1;

(3) Gra r, 1 , ,a k1a là một nhóm con của S ; đơn vị của G

là ha , trong đó h là số nguyên thỏa mãn r   h m r 1 và h chia hết cho

m

Phần tử a được gọi là phần tử sinh của nửa nhóm S  a , r được gọi

là chỉ số và m gọi là chu kỳ của a ( và cũng được gọi là chỉ số và chu kỳ của nửa nhóm xyclic hữu hạn S  a ), còn số nguyên m r 1 được gọi là cấp

của phần tử a ( và cũng được gọi là cấp của nhóm xyclic S  a )

Chỉ số và chu kỳ của một nửa nhóm xyclic hữu hạn xác định duy nhất sai khác đẳng cấu Hơn nữa, đối với hai số nguyên dương rvà m, tồn tại nửa nhóm xyclic hữu hạn C r m ,  chỉ số r và chu kì m Nửa nhóm xyclic r m, 

8

là một nhóm nếu và chỉ nếu r 1, hơn nữa C 1,m là nhóm xyclic cấp m Mặt khác, mỗi nửa nhóm xyclic C r m ,  chứa một lũy đẳng duy nhất, đó chính là đơn vị của nhóm G trong Mệnh đề 1.1.1

Nửa nhóm cộng * tất cả các số nguyên dương là nửa nhóm xyclic vô hạn và nửa nhóm cộng các số nguyên không âm là vị nhóm nhận được từ

* bằng cách bổ sung thêm phần tử không

1.1.2 Định nghĩa Các vị nhóm con của một nửa nhóm cộng được gọi là

các nửa nhóm số nếu S là tập sinh của nhóm cộng các số nguyên

Giả sử S là một nửa nhóm số khác không và d là ước chung lớn nhất của các phần tử thuộc S Thế thì S d T , trong đó T S và ước chung lớn

nhất của các phần tử thuộc T bằng 1; chúng ta giả sử các nửa nhóm T như

vậy là các nửa nhóm số nguyên thủy Để xác định tất cả các nửa nhóm số, ta

cần xác định các nửa nhóm số nguyên thủy

Trước hết ta chứng minh các kết quả sau

Nếu na1b1 thì tồn tại các số nguyên không âm x và y sao cho

9

Từ Mệnh đề 1.1.3 suy ra rằng nửa nhóm số chứa hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau sẽ chứa một iđêan k  x \xk của , trong

đó k là số nguyên dương nào đó Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng mỗi nửa

nhóm số nguyên thủy khác không chứa một cặp số nguyên dương nguyên tố cùng nhau

1.1.4 Mệnh đề Nếu S là một nửa nhóm số nguyên thủy khác không thế thì

tồn tại các số nguyên dương a b, nguyên tố cùng nhau sao cho a b, S

Chứng minh Tồn tại một tập con hữu hạn a a1, 2, ,a n của S * với ước chung lớn nhất bằng 1 Chọn các số nguyên x x1, , ,2 x n sao cho:

1x a x a   x a n n Thế thì 1k a 1 a2 a n1x a n n x1 ka a n 1  x n1ka a n n1

đối với mỗi số nguyên k , và đối với k đủ lớn, mỗi x i kx n là các số nguyên dương sao cho 1   

1.1.5 Mệnh đề Giả sử S là nửa nhóm số khác không và d là ước chung

lớn nhất của các phần tử khác không thuộc S

(1) Tồn tại một số nguyên dương k sao cho S chứa md với mỗi

mk ;

(2) S hữu hạn sinh Từ đó, thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng a c c 

trên các nửa nhóm con;

(3) Tồn tại một tập con hữu hạn B các phần tử sinh nửa nhóm S sao cho nếu C là một tập sinh tùy ý của S (xét như một vị nhóm) thì BC

Chứng minh Khẳng định (1) suy ra trực tiếp từ các Mệnh đề 1.1.3 và

10

 s i t i1kd k, 1d, , 2 k1d Khẳng định nói rằng mỗi vị nhóm con của hữu hạn sinh suy ra điều kiện chuỗi tăng a c c  trên các vị nhóm con được thỏa trong

Để chứng minh (3), giả sử k1 là phần tử dương nhỏ nhất của S Thế thì

1

b thuộc vào mỗi tập sinh C của S Nếu  b1 sinh ra S như một vị nhóm thì

hãy lấy B b1 Ngược lại, giả sử b2 là phần tử nhỏ nhất của S không nằm

trong vị nhóm b1 được sinh bởi b1 Thế thì b b1, 2C đối với tập sinh C bất kỳ của S Tiếp tục quá trình này ta nhận được b b1, , ,2 b n S đối với n

nào đó vì thỏa mãn điều kiện a c c  trên các vị nhóm con, và ta hãy lấy

 1, , ,2 n

Chúng ta đã thấy rằng mỗi nửa nhóm số đẳng cấu với một vị nhóm nguyên thủy Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng các nửa nhóm số nguyên thủy khác nhau không đẳng cấu với nhau

một đồng cấu thì tồn tại số hữu tỉ q không âm sao cho   s qs với mỗi

sS Như vậy,  hoặc đơn ánh hoặc ánh xạ tất cả các phần tử của S thành

11

Nếu S và T là các nửa nhóm nguyên thủy và  toàn ánh, thế thì tính

nguyên thủy của S và bao hàm thức qS  kéo theo q là một số nguyên và tính nguyên thủy của T cùng với đẳng thức T qS chứng tỏ rằng q1 Như vậy, đẳng cấu giữa S và T cùng với tính nguyên thủy của chúng kéo theo

T S

1.1.5, thế thì lực lượng của B được gọi là hạng của S

Chẳng hạn với mỗi k *, nửa nhóm số k k, 1, ,2k1 có hạng bằng k

1.1.8 Mệnh đề Giả sử P là một vị nhóm con của nhóm cộng các số nguyên

sao cho P chứa đồng thời cả số nguyên dương và nguyên âm nào đó, thế thì P là một nhóm con của

Chứng minh Đặt P1 P , P2   P   Nếu d1 và d2 là ước chung lớn nhất của các phần tử thuộc P1 và P2 tương đương, thế thì do và

 đẳng cấu nên từ Mệnh đề 1.1.5 suy ra tồn tại các số nguyên dương k k1, 2

sao cho md1P1 đối với mỗi mk1 và nd2P2 đối với mỗi nk2

Giả sử d là ước chung lớn nhất của d1 và d2 Ta chứng minh S d

Bao hàm thức S d là rõ ràng Tồn tại các số nguyên x và y sao cho

d xd  yd , và vì xd1 yd2 xrd d2 1yrd d1 2 đối với các số nguyên tùy ý r, chúng ta có thể giả thiết rằng xk1 và  y k2 (mà không

mất tính tổng quát) Như vậy, d S và lập luận tương tự chứng tỏ rằng

d S

  Do đó dS và từ đó S d , nên S là nhóm con của

1.2 Nửa nhóm số đối xứng

bởi aS b nếu tồn tại cS sao cho a c b Tập hợp  s i các phần tử tối tiểu trong S\ 0  theo thứ tự này được gọi là tập hợp tối tiểu các phần tử sinh

đối với S Lý do của cách gọi đó là tất cả các phần tử thuộc Sđều là tổ hợp tuyến tính với các hệ số nguyên không âm của các phần tử sinh tối tiểu Tập

giả thiết rằng S có một phần bù hữu hạn trong

Như vậy, từ đây về sau khi nói về nửa nhóm số ta luôn luôn giả thiết

rằng các nửa nhóm này có phần bù hữu hạn trong , nghĩa là các nửa nhóm

số nguyên thủy như đã nói trong tiết 1.1

1.2.2 Định nghĩa Giả sử S là nửa nhóm số Khi đó số nguyên lớn nhất

không thuộc S được gọi là số Frobenius của S và được ký hiệu bởi F S  Như vậy: F S maxx |xS

sS và s g a với aS Khi đó S là vị nhóm con của  , nên

g  a s S, mâu thuẫn với định nghĩa của gF S  Đặc biệt, nếu S thì g 1 nên g      S 1  1 a a|      1, 2, 3,  \ Khi

đó SgS nên là nửa nhóm số đối xứng

13

Sau đây là một số mô tả khác về nửa nhóm số đối xứng

kiện sau đây tương đương

(1) S là nửa nhóm số đối xứng ;

(2) Đối với mỗi x có xS hoặc g x S ;

(3) Tồn tại một số aS sao cho đối với mỗi a có xS hoặc a x S ; (4) Nếu x y g thì có đúng một trong hai phần tử x hoặc y thuộc S ; (5) Tồn tại một số aS sao cho x y a kéo theo hoặc xS hoặc yS ; (6) Trong các số 0,1, , g số phần tử thuộc S và số phần tử không thuộc S bằng nhau

Chứng minh Vì SgS  nên SgS khi và chỉ khi

x y g kéo theo hoặc xS hoặc yS Như vậy (1) và (4) tương đương Tương tự, (2) là một cách phát biểu khác của (1) nên (1) và (2) tương đương

Hiển nhiên (2) kéo theo (3) ( lấy ag ) Mặt khác, với mọi sS ta có 0

s nên phải có số nguyên a lớn nhất sao cho aS Từ điều kiện (3) suy

ra SaS nên a F S   thỏa mãn điều kiện của Định nghĩa 1.2.4,

nghĩa là S là nửa nhóm số đối xứng Vậy (3) kéo theo (2) và do đó (2) và (3)

tương đương

(5) là cách phát biểu khác của (3) nên (3) và (5) tương đương

Vì S là nửa nhóm số đối xứng nếu và chỉ nếu với mỗi x hoặc

xS hoặc g x S, hơn nữa điều kiện này luôn đúng với mọi x0 ( Do đó

S là nửa nhóm con của ) nên (6) và (1) tương đương Nói riêng nếu S là

nửa nhóm số đối xứng thì số Frobenius g F S  là một số lẻ

1.2.5 Định nghĩa Giả sử S là nửa nhóm số và S là tập hợp tất cả các số '

nguyên không thuộc S sao cho:  s S', a S \ 0   s a S

Thế thì lực lượng (số phần tử) của 'S được gọi là dạng (type) của S và

được ký hiệu bởi   S

14

Chú ý rằng theo Định nghĩa 1.2.3 và 1.2.6 , g F S S' Nếu S là

nửa nhóm đối xứng thì SgS mà gSnên g g S, vậy

'

g S gS Mặt khác, nếu sS' thì sSnên s g S Do đó tồn tại

số a S sao cho s g a Khi đó g s a  Nếu a0 thì s a S (vì

sS) nên gS: mâu thuẫn với định nghĩa gF S S Do đó a0 nên

sg Từ đó suy ra: S là nửa nhóm số đối xứng thì S' g , do đó dạng của

S bằng 1 (  S = 1)

là số nguyên lớn nhất thuộc gS nhưng không thuộc S :

Rõ ràng nếu S không phải là nửa nhóm đối xứng thì SgS

và do SgS  nên hh S  tồn tại (Chú ý \ S là một tập hữu

hạn), hơn nữa hS' Giả thiết rằng với sS \ 0  nào đó, ta có h s S Vì

h s h(do s0) nên từ tính cực đại của h suy ra h  s g S, nghĩa là

'

h  s g s với 's S nào đó Nhưng khi đó h  g s s' g S: mâu thuẫn Điều này chứng tỏ rằng nếu nửa nhóm số không đối xứng thì S có ít '

nhất hai phần tử ( g và h ), nghĩa là dạng của ' S ít nhất bằng 2 Như vậy ta đã

chứng minh được kết quả sau:

1.2.7 Mệnh đề Nửa nhóm S là nửa nhóm số đối xứng nếu và chỉ nếu dạng

của chúng bằng 1, nghĩa là nếu và chỉ nếu S'F S  

Đặc trưng này của nửa nhóm đối xứng sẽ được sử dụng nhiều về sau Tiếp theo chúng ta sẽ xét các nửa nhóm không đối xứng và đặc trưng một lớp nửa nhóm số không đối xứng với những tính chất đặc biệt nào đó

Từ các lập luận trên, ta thấy rằng nếu nửa nhóm S không đối xứng thì

 

hh S là phần tử lớn thứ hai trong S và ' 2.h S F S  Thật vậy, giả sử

Chứng minh Các điều kiện (1)và (2) chính là các cách phát biểu lại của nhau

và chúng tương đương với (4) theo Mệnh đề 1.2.5

Giả thiết rằng có (1) Vì S'gS   g và S'  S nên

1.2.8 và vì g chẵn Như vậy (1) kéo theo (3) Mặt khác, vì hh S  là phần

tử lớn thứ hai trong 'S và là phần tử lớn nhất không thuộc cả S và gS nên

g

S gS   Như vậy (3) kéo theo (1)

1.2.9 Ký hiệu Giả sử S  s s1, , ,2 s t Với mỗi số tự nhiên a, ký hiệu S a,

là vị nhóm con của  , sinh bởi s s1, , , ,2 s a t

Năm 1977, E.S.Sallmer đề xuất vấn đề quyết định sự tồn tại a S sao cho F S F S a,  Năm 1980, N.S Mendelsohn chú ý rằng không tồn tại

aS nếu S được sinh bởi hai phần tử, và trường hợp S được sinh bởi ba

phần tử được giải quyết bởi C.Kirfel vào năm 1984 Câu trả lời cho vấn đề trên nằm trong mệnh đề sau:

S  g Nói riêng, dạng của S bằng 2

Chứng minh (1) Nếu SS g và S đối xứng thì với mỗi aS , a g s với

sS nào đó (vì SgS ) Do đó g  a s S a, nên

 , 

F S a g ; từ đó S là phần tử tối đại trong S g

Nếu S không đối xứng thì g S h, trong đó hh S  Thật vậy, giả

sử g S h, Khi đó g  s nh với n và sS nào đó Vì 2.hg nên 1

n ,khi đó h   g s g S, mâu thuẫn với cách xác định hh S  Như

vậy S không phải là phần tử tối đại trong S g

(2) Giả thiết rằng S' g2,g Nếu a S thì a g S hoặc

ví dụ đơn giản về tính không duy nhất như sau: Nếu S  4,6,7,9 thì

  5

F S  và S có thể nhúng vào cả hai nửa nhóm số S1  2,7 và

S  , cả hai đều là nửa nhóm đối xứng vì F S 1 F S 2  5

Mệnh đề tiếp theo chứng tỏ rằng số các nửa nhóm số đối xứng S tăng theo lũy thừa đối với g

với F S g không nhỏ hơn 8

F S g Trước hết chúng ta có thể mở rộng T tới nửa nhóm T1 bằng cách

bổ sung với tư cách các phần tử sinh tập E tùy ý các số chẵn 1

nhóm đối xứng T Dễ dàng suy ra rằng các cách chọn khác nhau của tập hợp

E đưa đến các nửa nhóm T khác nhau và số F T i còn lại như nhau trong suốt quá trình thực hiện Vì có ít nhất 8