Nửa nhóm số với các thương có chiều nhúng cực đại

LỜI NÓI ĐẦU Tập con S của  được gọi là nửa nhóm số numerical semigroup nếu S là vị nhóm con của nửa nhóm cộng .. Giả sử S là nửa nhóm số và S* là tập hợp các phần tử khác zero của S.

MỤC LỤC

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Nửa nhóm giao hoán giản ước được 4

1.2 Vị nhóm con của nhóm cộng các số nguyên  9

1.3 Vị nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỷ  15

CHƯƠNG II NỬA NHÓM SỐ VỚI CÁC THƯƠNG CÓ CHIỀU NHÚNG CỰC ĐẠI 2.1 Nửa nhóm số bão hòa và nửa nhóm số Arf 18

2.2 Nửa nhóm số với các thương có chiều nhúng cực đại 21

2.3 Nửa nhóm số FMED 27

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

LỜI NÓI ĐẦU

Tập con S của  được gọi là nửa nhóm số (numerical semigroup) nếu

S là vị nhóm con của nửa nhóm cộng 

Giả sử S là nửa nhóm số và S* là tập hợp các phần tử khác zero của S Khi đó S có một tập sinh tối tiểu duy nhất Lực lượng của tập sinh tối tiểu

đó gọi là chiều nhúng của S và ký hiệu bởi e(S) Phần tử khác zero nhỏ nhất của S được gọi là số bội (multiplicity) của S và ký hiệu bởi (S) Phần

tử lớn nhất của  \ S gọi là số Frobenius (Frobenius number) của S và được ký hiệu bởi F(S), theo định nghĩa F(  ) = -1 Hơn nữa e(S)  (S), nếu e(S) = (S) thì S được gọi là có chiều nhúng cực đại (maximal embedding dimension) hay S là một nửa nhóm số MED

Nửa nhóm S gọi là bão hòa (saturated) nếu s, s1, s2, … , snS, sao cho

s si với mỗi i{1, 2, …, n} và z1, z2, … , zn  sao cho z1s1+…+ znsn  0, thế thì: s + z1s1 + z2s2 +… + znsn S Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm

Arf nếu thỏa mãn điều kiện: đối với mọi a, b, c S* sao cho a  b  c,

ta có a + b – c  S

Mục đích của luận văn là dựa vào bài báo Numerical semigroups

whose fractions are of maximal embedding dimension của các tác giả

David E Dobbs – Harold J Smith đăng trên tạp chí Semigroup Forum

tháng 11 năm 2010, để tìm hiểu một số tính chất đặc trưng của các nửa nhóm số MED, đồng thời tìm hiểu mối liên hệ giữa các nửa nhóm số bão

hòa, MED và Arf

Ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, luận văn

gồm hai chương:

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về nửa nhóm giao hoán

được, vị nhóm con của nhóm cộng các số nguyên  và vị nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỷ 

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm về các lớp nửa nhóm số Arf, nửa nhóm số MED, nửa nhóm số bão hòa và chứng minh một số tính chất đặc trưng của chúng, đồng thời tìm hiểu mối liên hệ giữa các nửa nhóm số bão hòa, MED và Arf Phần cuối luận văn chúng tôi giới thiệu khái niệm về lớp nửa nhóm số FMED và bao hàm thức A  F  E liên quan đến một số lớp nửa nhóm số: Arf, FMED và MED

Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của

PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này, xin cho phép học viên được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Lê Quốc Hán

Tác giả tỏ lòng biết ơn Quý Thầy Cô đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Đại số và Lý thuyết số khóa 18 (Đại học Sài Gòn), Ban Giám Hiệu Trường Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh và Ban quản lý lớp học đã nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành luận văn này

Do trình độ có hạn, nên mặc dù đã rất cố gắng, luận văn cũng không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được những góp ý, nhận xét quý báu của Thầy Cô và đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 08 năm 2012

Chương này dành cho việc khảo sát một số tính chất của các nửa nhóm con của nhóm cộng các số nguyên, nhóm cộng các số hữu tỷ

1.1 Nửa nhóm giao hoán giản ước được

1.1.1 Định nghĩa và ký hiệu

Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm giao hoán nếu phép toán trên S có

tính chất giao hoán, nghĩa là a   với mọi b b a a b, S Ở đây, phép toán được viết theo lối cộng

Nếu S là vị nhóm, nghĩa là S có đơn vị thì đơn vị của S được gọi là phần

tử không của S, ký hiệu bởi 0

Giả sử S là một nửa nhóm không có đơn vị, khi đó S có thể nhúng được

,

điều kiện txx  , với mọi t x xS0. Khi đó t trở thành phần tử đơn vị của S

Giả sử S là một nửa nhóm A và B là các tập con khác rỗng của S Ký

Giả sử {S |   I} là một họ các nửa nhóm con của nửa nhóm S sao cho

 { S |   I}   Khi đó T =  {S |   I} là một nửa nhóm con của S và

là nửa nhóm con nhỏ nhất của S được chứa trong các S,   I Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S Khi đó giao của tất

cả các nửa nhóm con của S chứa B là một nửa nhóm con nhỏ nhất của S chứa

B Nó được gọi là nửa nhóm con sinh bởi B và được ký hiệu là < B > Rõ

ràng, < B > chứa tất cả các phần tử dạng

1

n i i

b



 = b 1 + b 2 + …+ b n , trong đó

b i  B,  i = 1, 2, … , n

Tập con khác rỗng I của nửa nhóm S được gọi là một iđêan của S nếu

s + I  I, với mọi s  S, trong đó s + I := {s + x | x  I}

Giao của một họ tùy ý các iđêan của nửa nhóm S là một iđêan của S nếu

giao này khác rỗng

Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S, thế thì B  (B + S) là iđêan của S và là iđêan nhỏ nhất chứa B Nó được gọi là iđêan sinh bởi B (của

S) Nếu S là vị nhóm thì B  B + S, nên B + S là iđêan của S sinh bởi B

Giả sử I là một iđêan thực sự của nửa nhóm S ( nghĩa là I  S ), khi đó I

được gọi là iđêan nguyên tố của S nếu x + y  I kéo theo x  I hoặc y  I với

mọi x, y thuộc S Như vậy, một iđêan thực sự I của nửa nhóm S là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu phần bù S \ I của I trong S là nửa nhóm con của S Giả sử I là một iđêan của nửa nhóm S và  là tập hợp tất cả các số 

nguyên dương Khi đó, tập con {s S | tồn tại n  sao cho ns  I} là một iđêan của S và được gọi là căn của iđêan I, ký hiệu bởi rad(I) hay I Trong phần sau đây, chúng tôi sẽ hệ thống lại một số kết quả đã biết trong lý thuyết nửa nhóm về các iđêan trong nửa nhóm

(3) Nếu I là một iđêan của S, thì căn rad(I) là giao của họ các iđêan nguyên tố chứa I của S

Chứng minh (1) Giả sử S là một nhóm và I là iđêan của S Khi đó I   nên

tồn tại a  Vì S là nhóm nên tồn tại b I  S sao cho a + b = 0, trong đó 0 là

phần tử đơn vị của S, vì I là iđêan của S, a I nên 0 = a + b  I Khi đó, với

mọi xS: x = 0 + x I nên S  I Hiển nhiên I  S nên I = S

Giả sử a, b S Khi đó a + S là iđêan của S và theo giả thiết (S là iđêan duy nhất của S) ta có a + S = S Vì b S nên b a + S, suy ra tồn tại c  S sao cho a + c = b, do đó phương trình a + x = b có nghiệm trong S Vậy S là một

Vì I  T =  nên a + b T Vậy I là iđêan nguyên tố

(3) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa căn rad(I) và kết quả (2) ở trên 

1.1.3 Định nghĩa và ký hiệu

Giả sử S là một vị nhóm giao hoán (cộng tính) với đơn vị (phần tử không)

là 0, khi đó phần tử s S được gọi là khả nghịch nếu tồn tại x  S sao cho

s + x = 0 Tập hợp G tất cả các phần tử khả nghịch tạo thành một nhóm con

của S và là nhóm con lớn nhất của S chứa 0 Một tổng hữu hạn

1

n i i

hoạch S thành các lớp ghép rời nhau s + H của H Thực tế, nếu quan hệ  trên

S được xác định bởi a  b nếu a = b + h với h  H, thì  là quan hệ tương

đương trên S và s + H là lớp tương đương chứa sS

Một phần tử s  S được gọi là giản ước được nếu s + a = s + b kéo theo

a = b, với mọi a, b thuộc S Giả sử C là tập hợp các phần tử giản ước được

của nửa nhóm S và C   Thế thì C là một nửa nhóm con của S Khi đó một

tổng hữu hạn

1

n i i

s



 C nếu và chỉ nếu mỗi si  C, từ đó S \ C là một iđêan nguyên tố của S nếu S  C Trong trường hợp S = C, ta nói rằng S là một nửa

nhóm giản ước được

Một kết quả trong lý thuyết nhóm sơ cấp phát biểu rằng nửa nhóm giản

ước được hữu hạn là một nhóm Hiển nhiên, một nửa nhóm con của một

nhóm là giản ước được Định lý 1.1.4 sau đây khẳng định kết quả ngược lại

1.1.4 Định lý Nếu S là một nửa nhóm cộng tính ( giao hoán ) và C là nửa

nhóm của S sao cho mỗi phần tử thuộc C giản ước được trong S, thì tồn tại

một phép nhúng f từ S vào một vị nhóm T sao cho các điều kiện sau đây được

thỏa mãn:

(1) Với mỗi c  C, f(c) có một nghịch đảo trong T ( mà ta sẽ ký hiệu là –f(c)) (2) T = { f(s) – f(c) | s  S , c  C}

Vị nhóm T được xác định bởi (1) và (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm

Nếu S là nửa nhóm giản ước được và S = C thì T là một nhóm

Chứng minh Chúng ta nêu cách xây dựng vị nhóm T tương tự như cách xây

dựng vành các số nguyên từ tập hợp các số nguyên không âm

Giả sử A = S x C và  là quan hệ trên A xác định bởi (s1, c1)  (s2, c2) nếu

s1 + c2 = s2 + c 1 Vì C giản ước được nên  là quan hệ tương đương trên A

Ký hiệu [s,c] là lớp tương đương chứa (s,c) và T là tập hợp tất cả các lớp

tương đương [s,c] với s  S và c  C T cùng với phép toán cho bởi:

[s1,c1] + [s2,c2] = [s1 + s2, c1 + c2]

là một vị nhóm giao hoán với phần tử đơn vị (phần tử không) là [c,c], với mọi

cC

Hơn nữa, ánh xạ f: S  T xác định bởi f(s) = [s + c, c] là một phép

nhúng từ S vào T Nếu c  C thì f(s) = [2c,c] có nghịch đảo [c,2c] trong T, và

một phần tử tùy ý [s,c] của T được viết dưới dạng [s +c,c] +[c,2c] = f(s) – f(c)

Rõ ràng T được xác định bởi các tính chất (1) và (2) sai khác một đẳng cấu

nửa nhóm, nghĩa là nếu g: S  T’ là một phép nhúng từ S vào một vị nhóm T’

sao cho điều kiện (1) vá (2) được thỏa mãn thì tồn tại một đẳng cấu nửa nhóm

: T  T’ sao cho   f = g, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán :

Hơn nữa, nếu S = C thì một phần tử tùy ý [s, c] của T có nghịch đảo [c, s] trong T nên T là một nhóm Điều này kết thúc phép chứng minh Định lí 1.1.4 

1.1.5 Định nghĩa Vị nhóm thương được xây dựng trong phép chứng minh Định lý 1.1.4 được gọi là vị nhóm thương của S theo C Vì f là đơn cấu nên ta có thể đồng nhất f(s) với s và như vậy mỗi phần tử của T được viết dưới dạng s – c thay cho f(s) – f(c) Nếu S giản ước được, thì nhóm T trong Định lý 1.1.4 được gọi là nhóm thương của S, nếu không kể sự sai khác đẳng cấu thì T chính là nhóm Abel nhỏ nhất mà S có thể được nhúng vào



g

T’

f

1.1.6 Chú ý

Từ Định nghĩa 1.1.5 và Định lý 1.1.4, ta có thể phân lớp các nửa nhóm

(giao hoán) giản ước được theo thuật ngữ các nhóm thương (Abel) của chúng

Ta nhắc lại rằng một nhóm Abel G dược gọi là nhóm Abel phi xoắn nếu

0 là phần tử duy nhất của G có cấp hữu hạn, G được gọi là nhóm xoắn nếu

mọi phần tử của G đều có cấp hữu hạn Thế thì từ Định lý 1.1.14 suy ra:

Nhóm thương G của nửa nhóm S (giao hoán, giản ước được) là nhóm phi

xoắn nếu và chỉ nếu S thỏa mãn điều kiện:

(*) Đối với mọi số nguyên dương n và x , y  S, đẳng thức n.x = n.y kéo theo x = y

Từ đó đưa đến định nghĩa:

Nửa nhóm S được gọi là nhóm phi xoắn nếu điều kiện (*) được thỏa mãn

1.2 Vị nhóm con của nhóm cộng các số nguyên

Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản về nửa nhóm

xyclic, với phép toán trên nửa nhóm được ký hiệu theo lối cộng

Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm xyclic nếu tồn tại phần tử aS

sao cho S  a 1, 2 ,3 , ,a a na Có hai trường hợp xảy ra:

Thứ nhất, với hai số nguyên m, n khác nhau thì mana, khi đó S đẳng

hạn

Thứ hai, tồn tại m  n, nhưng mana, ta nhận được kết quả sau:

1.2.1 Định lý Giả thiết rằng S = < a > là một nửa nhóm xyclic sao cho

ma = na với các số nguyên dương m, n khác nhau nào đó Giả sử k

là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ka = ra với k > r, và giả sử m=k–r

(1) Đối với u  v  r , đẳng thức ua = va đúng nếu và chỉ nếu m chia

hết cho u – v

(2) S = { a, 2a, … , (k – 1)a} có lực lượng k – 1

(3) G = {ra, (r + 1)a, …, (k – 1)a} là nhóm con của S, đơn vị của G là

ha, trong đó h là số nguyên thỏa mãn r < h < m + r – 1 và h chia hết cho m

Phần tử a được gọi là phần tử sinh của nửa nhóm S = < a >; r được gọi

là chỉ số và m được gọi là chu kỳ của a (và r cũng được gọi là chỉ số và m

được gọi là chu kỳ của S); còn số nguyên r + m – 1 được gọi là cấp của a (và

cũng được gọi là cấp của S)

Nếu < a > hữu hạn thì phần tử a được gọi là tuần hoàn Nửa nhóm S

vô hạn thì phần tử a được gọi là không tuần hoàn Nửa nhóm S được gọi là

nửa nhóm không tuần hoàn nếu mọi phần tử, khác đơn vị, của S không tuần

hoàn

Chỉ số và chu kỳ của một nửa nhóm xyclic S xác định duy nhất sai khác

một đẳng cấu Hơn nữa, đối với hai số nguyên dương r và m, tồn tại nửa

nhóm xyclic C(r, m) có chỉ số r chu kỳ m Một trong các nửa nhóm như vậy là

nửa nhóm được sinh bởi lớp X trong  [X] / (X r + m – X r ) Chúng ta chú ý

rằng C(r, m) là một nhóm nếu r = 1, hơn nửa C(1, m) là một nhóm xyclic cấp

m Mặt khác, mỗi nửa nhóm xyclic C(r,m) chứa một lũy đẳng duy nhất (chú ý

rằng nếu S là một nửa nhóm, mà phép toán trên đó được ký hiệu theo lối

cộng, thì phần tử e S được gọi là phần tử lũy đẳng nếu thỏa mãn điều kiện

e + e = e)

Nửa nhóm cộng  tất cả các số nguyên dương là nửa nhóm xyclic vô 



 bằng cách bổ sung thêm phần tử không Mặt khác, Định lý cơ bản của số

học chứng tỏ rằng nửa nhóm nhân  là tổng trực tiếp yếu của một số đếm 

được các bản copy theo nghĩa sau:

1.2.2 Định nghĩa Giả sử S là một vị nhóm cộng tính với phần tử không là 0

Nếu { S } I là một họ các vị nhóm con của S chứa 0 thỏa mãn điều kiện:

mỗi phần tử của S biểu diễn được dưới dạng

1 i

n a i

s



s  S  đối với mỗi i

(trong đó i  I, i = 1, 2, …, n) và nếu mỗi đẳng thức

  I, nhưng hai điều kiện trên không đảm bảo S là tổng trực tiếp yếu của họ

{ S } I Trong trường hợp I hữu hạn, I = {1, 2, … , n} thì ta viết

S = S1  S2  …  Sn hay S =

1

n i

i

S 



1.2.3 Định nghĩa.Các nhóm con của nhóm cộng  được gọi là các vị nhóm

số (numerical monoid) dạng đơn giản

Nếu S là một vị nhóm số khác không, giả sử d là ước chung lớn nhất

(gcd) của các phần tử thuộc S Thế thì S = d.T, trong đó T  S và g.c.d của các

phần tử thuộc T bằng 1 Chúng ta gọi vị nhóm số T như vậy là nguyên

thủy Để xác định tất cả các vị nhóm số ta cần xác định các vị nhóm nguyên

thủy Trước hết ta chứng minh kết quả sau:

1.2.4 Định lý Giả sử a và b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau

Nếu n  (a – 1)(b – 1), thế thì tồn tại các số nguyên không âm x và y

sao cho n = xa + yb

Chứng minh Trường hợp a hoặc b bằng 1 là tầm thường, vì vậy chúng ta có

 là một tập hợp đầy đủ các thặng dư moda

Nếu n  ( a – 1)( b – 1), chúng ta viết n = ta + r, trong đó 0  r < a, từ

đó r   i a 01

i

r 

 Nếu r = rj, thế thì t  qj ; đối với t < qj kéo theo

ta + rj = n < qja + rj = jb Do đó jb – n chia hết cho a Nhưng

Vậy t  qj và từ đó n = (t – qj)a + qja + rj =(t–qj)a+jb 

Kết quả sau đây chứng tỏ rằng mỗi vị nhóm số nguyên thủy khác không

chứa một cặp số nguyên dương nào đó nguyên tố cùng nhau

1.2.5 Định lý Nếu S là một vị nhóm nguyên thủy khác không, thế thì tồn tại

các số nguyên dương a, b  S sao cho gcd{a , b} = 1

Chứng minh Tồn tại một tập con hữu hạn {a1, a1, … ,an } của S   với gcd 

bằng 1 Chọn các số nguyên x 1 , x 2 , … , x n sao cho 1 = x 1 a 1 + x 2 a 2 + … + x n a n

1.2.6 Định lý Giả sử S là một vị nhóm số khác không và d là ước chung lớn

Để chứng minh (2), ta chú ý rằng tập hợp { si}t i1 các phần tử thuộc S mà

bé hơn kd hữu hạn và s được sinh bởi {si}t i1 {kd, (k+1)d, … , (2k–1)d}

Khẳng định nói rằng mỗi vị nhóm con của  hữu hạn sinh suy ra rằng a.c.c trên các vị nhóm con được thỏa mãn trong 

Để chứng minh (3), giả sử b1 là phần tử dương nhỏ nhất của S Thế thì b1

thuộc vào mỗi tập sinh C của S Nếu {b1} sinh ra S như một vị nhóm, thế thì hãy lấy B = {b 1 } Ngược lại, giả sử b2 là là phần tử nhỏ nhất của S không nằm trong vị nhóm <b 1> được sinh bởi b1 Thế thì {b 1, b2 }  C đối với tập sinh C bất kỳ của S Tiếp tục quá trình này, ta nhận được < b 1, b2, … , bn >0 = S đối với n nào đó vì  thỏa mãn điều kiện a.c.c trên các vị nhóm con và ta hãy lấy B = { b 1 , b 2 , … , b n}  Chúng ta đã thấy rằng mỗi vị nhóm số đẳng cấu với một vị nhóm nguyên thủy Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng các vị nhóm số nguyên thủy khác nhau không đẳng cấu với nhau

1.2.7 Định lý Giả thiết rằng S và T là các vị nhóm số Nếu  : S  T là một đồng cấu, thế thì tồn tại số hữu tỷ q không âm sao cho h(s) = qs, với mỗi

s  S Như vậy,  hoặc đơn ánh, hoặc ánh xạ tất cả các phần tử thuộc S

thành 0 Nếu S và T là các vị nhóm nguyên thủy và  là một đảng cấu từ S lên T thì S = T

Chứng minh Giả sử s là một phần tử khác không của S và t = (s), giả sử

Nếu S và T là hai vị nhóm nguyên thủy và  là toàn ánh, thì tính nguyên

thủy của S và bao hàm thức qS   kéo theo q là một số nguyên, và tính

nguyên thủy của T cùng với bao hàm thức T = qS chứng tỏ rằng q = 1

Như vậy, đẳng cấu giữa S và T cùng với tính chất nguyên thủy của chúng kéo theo S = T 

1.2.8 Chú ý

Nếu S và B là các tập hợp đã nêu trong phần (3) của Định lý 1.2.6, thì

lực lượng của B gọi là hạng của S

Vị nhóm con < k, k + 1, … , 2k – 1 >0 của  có hạng bằng k, đối với mỗi k   

Khác với  chúng ta chú ý rằng các vị nhóm con của  x  - tổng ,trực tiếp ngoài của  với chính nó - không nhất thiết hữu hạn sinh Chẳng

hạn, (1,k)  < (1,0), (1,1), … , (1,1- k) >0 với k tùy ý

1.2.9 Định lý Nếu S là vị nhóm con của vị nhóm cộng  chứa đồng thời

các số nguyên dương và nguyên âm nào đó, thế thì S là một nhóm con của  Chứng minh Giả sử S1 = S   và S2 = S  (-  ) Nếu d 1 và d2 là các ước

chung lớn nhất của các phần tử thuộc S1 và S2 tương ứng, do  và  đẳng

cấu nên từ Định lý 1.2.6 suy ra tồn tại các số nguyên dương k 1 , k 2 sao cho

md1  S1 với mỗi m  k 1 và -nd2  S2 đối với mỗi n  k 2

Giả sử d = gcd{d 1, d2 } Chúng ta chứng tỏ rằng S = d  Bao hàm thức

S  d  là rõ ràng Tồn tại các số nguyên x và y sao cho d = xd1 + yd2 và vì

xd 1 + yd 2 = (x + rd 2 )d 1 + (y - rd 1 )d 2 , đối với mỗi số nguyên tùy ý r, không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả thiết rằng x  k 1 và -y  k 2 Như vậy

d  S và lập luận tương tự chúng ta được – dS Do đó d   S, như vậy

d  = S 

1.3 Vị nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỷ 

Trong phần này, chúng ta sẽ mở rộng kết quả nêu trong Định lý 1.2.9

cho trường hợp nhóm cộng các số hữu tỷ  Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức cơ sở liên quan đến nhóm cộng này

Trước hết, với mỗi số hữu tỷ khác không r   ánh xạ x , rx là một tự

con chứa  , trong việc xét các nhóm con như vậy, chúng ta luôn giả thiết

rằng   G

Chúng ta nhắc lại rằng nhóm H được gọi là có tính chất địa phương E

nếu mỗi nhóm hữu hạn sinh của H có tính chất E Nói riêng, H được gọi là

xyclic địa phương nếu mỗi nhóm con hữu hạn sinh của H là xyclic

1.3.1 Định lý Nếu  i n1

i i

a

b  là một tập con hữu hạn của  , trong đó bi >0

đối với mỗi I và mỗi i

i

a

b là thành phần nhỏ nhất

Nếu m là bội chung nhỏ nhất của b 1 ,b 2 , …, b n thì nhóm con của  được sinh bởi {1}  i n1

i i

a

b  là xyclic và được sinh bởi 1 m Nói riêng,  là xyclic địa phương

Chứng minh Trong chứng minh này chúng ta sử dụng < Y > để ký hiệu

nhóm con của  được sinh bởi tập con Y của  Bao hàm thức

ta sử dụng phương pháp quy nạp theo n

Nếu n = 1 ta viết 1 = a x1 b y1 đối với các số nguyên x, y nào đó Thế

Giả thiết rằng khẳng định đúng đến n = k, trong trường hợp n = k + 1, giả sử m’ là bội chung nhỏ nhất của b1, b2, … , bk Khi đó m là bội chung nhỏ nhất của m’, bk+1 Từ trường hợp n = k và n = 2 đúng kéo theo

1

m  b   b  b 

Một nửa nhóm con hữu hạn sinh tùy ý < Y > của  được chứa trong

<{1} Y> Vì nhóm con của nhóm xyclic là nhóm xyclic và <{1} Y> là nhóm xyclic, nên <Y> là nhóm xyclic, từ đó  là nhóm xyclic địa phương 

1.3.2 Hệ quả Giả sử H là một nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỷ 

(1) H là hợp của một dãy tăng các nhóm con xyclic

(2) Nếu H chứa  , thì H được sinh bởi tập hợp

Chứng minh (1) Giả sử  h i 1 là một sự liệt kê các phần tử của H Nếu

Hi = h1, ,h đối với mỗi I, thì mỗi H i i là nhóm xyclic, H1  H2 … và

1.3.3 Định lý Nếu S là một vị nhóm con của  chứa các số hữu tỷ dương

và âm nào đó, thế thì S là một nhóm con của 

Chứng minh Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng - s S đối với mỗi phần tử

khác không s S Chọn t S sao cho st < 0 Nhóm con G của  sinh bởi {s, t} xyclic; giả thiết rằng g là phần tử sinh của G

Nếu s = mg và t = ng , thì mn < g

Như vậy, nửa nhóm con < s, t > của G là một nhóm con (Chúng ta sử dụng kết quả: G thừa nhận chỉ một thứ tự toàn phần – hoặc trong đó g > 0 hoặc – g > 0 Từ đó – s  < s, t >  S) 

CÓ CHIỀU NHÚNG CỰC ĐẠI

2.1 Nửa nhóm số bão hòa và nửa nhóm số Arf

2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu

(i) Tập con S của tập các số nguyên không âm  được gọi là nửa nhóm

số ( numerical semigroup) nếu S là vị nhóm con của nửa nhóm cộng 

(ii) Giả sử S là nửa nhóm số và S* là tập hợp các phần tử khác không của

S Khi đó S hữu hạn sinh và và S có một tập sinh tối tiểu duy nhất Lực lượng

của tập sinh tối tiểu đó gọi là chiều nhúng (embedding dimension) của S và

ký hiệu bởi e(S) Phần tử khác zero nhỏ nhất của S được gọi là số bội (multiplicity) của S và ký hiệu bởi (S) Phần tử lớn nhất của  \ S gọi là số

Frobenius (Frobenius number) của S và được ký hiệu bởi F(S), theo định

nghĩa F(  ) = -1 Hơn nữa, e(S)  (S) Nếu e(S) = (S) thì S được gọi là có

chiều nhúng cực đại (maximal embedding dimension) hay một nửa nhóm số MED

(iii) Nửa nhóm số S được gọi là bão hòa (saturated ) nếu thỏa mãn điều

kiện: Giả sử s, s1, s2, … , sn là các phần tử thuộc S sao cho s  si với mỗi

i{1, 2, … , n } và z1, z2, … , zn   sao cho z1s1 + z2s2 +… + znsn  0, thế thì

s + z1s1 + z2s2 +… + znsn  S

(iv) Nửa nhóm số S được gọi là nửa nhóm Arf nếu thỏa mãn điều kiện:

đối với mọi a, b, c  S* sao cho a  b  c, ta có a + b – c  S