Tính chất mở rộng và thu hẹp iđêan đối với các t nửa nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ THỊ THANH TÚ TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH – 2011... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ THỊ THANH TÚ

TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP

IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH – 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ THỊ THANH TÚ

TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP

IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

MÃ SỐ: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN

VINH – 2011

MỤC LỤC

Trang

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 Iđêan và các quan hệ Grin trên nửa nhóm 4

Chương 2 TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN

ĐỐI VỚI CÁC t-NỬA NHÓM 18

2.1 Tính chất mở rộng iđêan và mở rộng tương đẳng đối với

Luận văn của tôi dựa trên bài báo chính “On t – semigroups” của

J.A.Dumesnil đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 50 (1995) để tìm hiểu tính chất mở rộng và thu hẹp iđêan các iđêan

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

rong chương này ch ng t i tr nh bày các hái niệm và tính chất của các iđêan các quan hệ rin trên nửa nhóm yclic

Chương 2 Tính chất mở rộng và thu hẹp iđêan đối với các t – nửa nhóm

2.1 Tính chất mở rộng iđêan và mở rộng tương đẳng đối với các t –

nửa nhóm

2.2 Tính chất mở rộng và thu hẹp Iđêan đối với các t – nửa nhóm 2.3 Tính chất thu hẹp iđêan đối với các nửa nhóm tách được

Luận văn được hoàn thành tại rư ng Đại ọc inh dưới sự hướng

d n của P S S Lê uốc án

Nhân d p này t i in bày t l ng biết ơn sâu s c tới thầy ngư i đã

đ nh hướng và thư ng uyên gi p đ ch ng t i trong quá tr nh học tập và tập dượt nghiên cứu hoa học

i in bày t l ng biết ơn tới các thầy c ở hoa toán – rư ng Đại

ọc inh đ c biệt là các thầy c trong chuyên nghành đại số và l thuyết

số đã tận t nh dạy ch ng t i trong hai năm qua Tôi xin bày t l ng biết ơn tới hoa Sau Đai ọc - rư ng Đại học inh và rư ng Đại học Sài n

đã tạo mọi điều iện để t i hoàn thành chương tr nh học tập c ng như bản luận văn này

M c d đã hết sức cố g ng song luận văn h ng tránh h i nh ng thiếu sót i rất mong nhận được iến đóng góp của các thầy c bạn b

để luận văn được hoàn thành tốt hơn

inh tháng 12 năm 2011

ác giả

Ng h hanh

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 IĐÊAN VÀ CÁC QUAN H GRIN TRÊN NỬA NHÓM

1.1.1 Định nghĩa iả sử I là một tập con h ng rỗng của nửa nhóm S

Khi đó:

i) I được gọi là iđêan trái (tương ứng, phải) của nửa nhóm S nếu (tương ứng IS

ii) I được gọi là iđêan của S nếu I vừa là idêan trái vừa là iđêan phải

Từ đ nh nghĩa trực tiếp suy ra

1.1.2 Hệ quả Giả sử I là tập con khác rỗng của nửa nhóm S Thế thì

i) I là iđêan trái (tương ứng, phải) của S nếu với mọi , với mọi

có (tương ứng, )

ii) Nếu I là iđêan trái của S thì I là một nửa nhóm con của S

iii) Nếu I và J là các iđêan trái (phải) của S với

cũng là iđêan trái (phải) của S

1.1.3 Định nghĩa Giả sử I là một iđêan của S a đ nh nghĩa một quan hệ

I

 ác đ nh bởi

I I I i s

(nghĩa là xI y nếu và chỉ nếu ho c x, ho c x = y) Khi đó I là một

tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳng Rixơ trên S liên kết với I

Để chứng t Đ nh nghĩa 1.1.3 hợp l ta cần chứng minh rằng I là một tương đẳng nhưng điều đó được suy ra trực tiếp từ đ nh nghĩa

Nửa nhóm thương

I

S

 sẽ được hiệu là SI và được gọi là thương

Rixơ của iđêan I S

I có một phần tử là I và các phần tử hác {x} với

Ix = I = xI với mọi Do đó I là phần tử h ng (zero) của

1.1.4 Định nghĩa Một iđêan I của nửa nhóm S được gọi là iđêan tối tiểu

nếu với mọi iđêan J của S,J  I kéo theo J = I

1.1.5 Bổ đề Giả sử I là iđêan tối tiểu và J là iđêan tùy ý của S Thế thì

Do đó ( , +) không có iđêan tối tiểu uy nhiên mọi nửa nhóm h u hạn S đều có một iđêan tối tiểu đó chính là iđêan có số phần tử ít nhất (iđêan như vậy tồn tại v S là một iđêan của S và S chỉ có h u hạn phần tử)

1.1.7 Định nghĩa Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn nếu nó

không có iđêan khác S

1.1.8 Bổ đề Nửa nhóm đơn nếu và chỉ nếu S = SxS, với mọi x S

Chứng minh Rõ ràng rằng, với mọi x có SxS = S là iđêan của S và do đó

nếu S đơn th SxS = S

Đảo lại giả thiết rằng với mọi x có SxS = S Khi đó nếu I là một đêan của S và x nào đó th S = SxS I nên I = S ậy S đơn

1.1.9 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm a đ nh nghĩa các quan hệ

L, , sau đây trên S

L

trong đó S 1 a, aS 1 và S 1 aS1là các iđêan chính trái chính phải và iđêan chính

của S được sinh ra bởi a heo đ nh nghĩa

a L

Từ đ nh nghĩa trực tiếp suy ra các quan hệ L, là các quan hệ

tương đương trên S hực ra là một tương đẳng phải và là một tương đẳng trái trên S

ới mỗi x ta hiệu L x là L - lớp tương đương chứa x:

(2) iả sử TX là nửa nhóm đầy đủ các

phép biến đổi trên tập X hế th đối với α, β TX:

1.1.11 Định lý Các quan hệ L giao hoán : L o = o L

Chứng minh iả sử (x,y)L o hế th có một phần tử z S sao cho

x L z, z y Do đó tồn tại các phần tử s, s’

, r, r’ S sao cho

x = sz, z = s’x, z = yr, y = zr’

K hiệu t = szr’ hế th t = szr’ = xr’, x =sz = syr =szr’r =tr nên x t

a lại có: t = szr’ = sy, y = zr’ = s’szr’ = s’t nên Lt

Suy ra (x, y) oL nên oL L o

Tương tự có L o L o nên L o = oL.

1.1.12 Định nghĩa iả sử L và là các quan hệ tương đương đã được

ác đ nh theo Đ nh nghĩa 1.1.9 a ác đ nh các quan hệ trên S bởi:

D = L o = oL và H = L

Khi đó H là quan hệ tương đương lớn nhất của S được chứa trong L

và theo lý thuyết tập hợp a chứng minh D là quan hệ tương đương bé

nhất chứa cả L và

Thật vậy, vì L và là quan hệ tương đương nên D = L o c ng là

quan hệ tương đương ơn n a, x Lx và x x với mọi xS1 nên L D và

L

Nếu T là một quan hệ tương đương trên S chứa L, thì D  T, nên

D là quan hệ tương đương bé nhất chứa L và an hệ L, , D,

H được ác đ nh như trên đươc gọi là các quan hệ Grin trên nửa nhóm S

Biểu đồ bao hàm của các quan hệ Grin được cho bởi h nh dưới đây với chú ý D  T

Ký hiệu D x và H x là các D – lớp và H – Lớp tương ứng chứa x  S Khi đó với mọi x có L x  x = H x

1.1.13 Bổ đề Đối với mỗi nửa nhóm S, ta có

R x ∩ L y

R x {

L y

Để chứng minh iii), chúng ta chú ý rằng u H v nếu và chỉ nếu uLv và

u v do đó u Hv  s (u) Ls v và s (u) (v)  s (u) Hs (v) s (v)

do ii) và vì là một tương đẳng trái (và s (u) = su, s (v) = sv) M t khác,

nếu s (u) Hs (v) nghĩa là su H sv thì uHv, vì do (1.1), u = s’su và

v = s’sv (và do là một tương đẳng trái và s gi nguyên các L - lớp)

Nói riêng, s ánh xạ mỗi H - lớp H 2 (với z  x) song ánh vào

i) r : L y L z và : L z L y là các song ánh;

ii) = là hàm ngược của λ r được hạn chế trên L y ;

iii) r : bảo toàn các lớp, nghĩa là w λ r (w) với mọi w  L y

1.1.16 Hệ quả

i) Giả sử e  E s là một lũy đẳng Nếu x Le thì xe = x Nếu x e thì ex = x;

ii) Mỗi H – lớp chứa không quá một lũy đẳng

Chứng minh i) Nếu x Le thì x  L s nghĩa là x = se với s  S1 nào đó hế

thì x = se = se2 = se.e = xe Chứng minh khẳng đ nh còn lại tương tự

ii) Giả sử e, f  E S và e Hf Khi đó L và nên e (vì đối

xứng) Do đó i) có ef = e và ef = f 

1.1.17 Hệ quả Các H – lớp nằm trong một D – lớp có cùng lực lượng, nghĩa là tồn tại một song ánh giữa H x và H y nếu x Dy

Chứng minh Thật vậy, nếu x, z  S nằm trong cùng một lớp D – sao cho

x Ly, y z Với sx = y, s’y = x, yr = z, zr’ = y thì theo các bổ đề trên,

s

 : H x  Hy và

r

 : H y  H z là các song ánh do đó r s :H S  H Z là một song ánh

Kết quả sau đây là đ nh l đ nh v của Miller và Clifford (1956)

1.1.18 Định lý Giả sử x, y  S, thế thì xy  x L y  R y L x chứa một lũy đẳng duy nhất

Chứng minh rước hết ta giả sử rằng xy  x  L y Vì y Lxy, chúng ta có

thể chọn s = x trong Bổ đề 1.1.15 và như vậy p x : R y  R xy làsong ánh Vì

xy x nên R xy = R x do đó p x : R y  x là một song ánh Ánh xạ x bảo toàn

các L - lớp và do đó x ánh xạ Ry  L x vào R x  L x = H x Do đó tồn tại

z  R y  L x sao cho x (z) = x nghĩa là zx = x

Vì z Lx nên tồn tại u  S1 sao cho z = ux Khi đó xux = xz = z và do

rong Đ nh lý Grin sau đây G được gọi là một nhóm con nửa nhóm

S nếu G là một nửa nhóm con mà bản thân G là một nhóm

1.1.19 Bổ đề Giả sử e, f  E S Thế thì với mọi x  R e  L f , tồn tại

1.1.20 Định lý Giả sử H là một H – lớp của nhóm S Thế thì các điều

kiện sau đây là tương đương:

i) H chứa một lũy đẳng;

ii) Tồn tại x, y  H sao cho xy  H;

iii) H là một nhóm con của S

Chứng minh

i) ii): là hiển nhiên, vì ta có thể chọn x = e = y với l y đẳng e  H ii) iii): Do đó H chứa một l y đẳng e, và theo khẳng đ nh ngược lại

của Đ nh lý 1.1.18 chúng ta biết rằng H là một nửa nhóm con của S ơn

n a, H là v nhóm con với đơn v là e theo Hệ quả 1.1.16 Rồi áp dụng Bổ

đề 1.1.19 với e = f Điều này suy ra H là một nhóm

i): Vì phần tử đơn v của một nhóm con H là một l y đẳng của

S

1.2 NỬA NHÓM XYCLIC

Ta nh c lại rằng, tập hợp con A khác rỗng của nửa nhóm S được gọi là

một nửa nhóm con của S nếu A khép kín dưới phép lấy tích nghĩa là với

không rỗng Khi đó, A là nửa nhóm con của S

Chứng minh Thật vậy, giả sử x, y  A thì x, y  A i với mọi i  I Vì A i là

nửa nhóm con của S với mọi i  I nên xy  

I



A i hay xy  A Vậy A là nửa nhóm con của S

Giả sử X là một tập hợp con khác rỗng của nửa nhóm S, ta ký hiệu [X] S

là giao của tất các các nửa nhóm con của S chứa X Theo Bổ đề 1.2.1 [ X] S

là một nửa nhóm con của S và gọi là nửa nhóm con sinh bởi X, và nó là nửa nhóm con bé nhất của S chứa X rong trư ng hợp S đã được ác đ nh rõ ràng trong ng cảnh đang ét th ta sẽ viết [X] thay cho [X] S

Nếu X = {x 1 ,x 2 ,…} là một tập h u hạn hay vô hạn đếm được thì ta sẽ

viết [x 1 ,x 2 …] thay cho [{x 1 ,x 2 …}] Nói riêng, nếu X là một tập đơn tử

X = {x} thì ta sẽ viết [x] thay cho [{x}] S

1.2.2 Mệnh đề Giả sử X là một tập con không rỗng của nửa nhóm S

X n Khi đó A là nửa nhóm con của S M t

khác, X n  [X] S , với mọi n  1 nên từ [X] S là nửa nhóm con của S chứa X ta

có điều phải chứng minh

1.2.3 Mệnh đề Giả sử  : S  P là một đồng cấu của nhóm và XS

Khi đó  ([X] S ) = [ (X)] P.

Chứng minh Nếu y  ([X] S ) thì có x  ([X]S ) sao cho y =  (x) Khi đó

tồn tại x 1 , x 2, …,xn  X sao cho x = x 1 x 2 …x n Vì  là đồng cấu nên

y =  (x) =  ( x 1 x 2 …xn) =  (x1)  (x2)…  (xn)  [ (X)] P (Vì

(x i)  (X) với mọi i = 1, 2 n) Do đó  ([X] S) [ (X)] P Đảo lại, nếu

y  [ (X)] P thì tồn tại y 1 , y 2, …,y m [X] sao cho y= y 1 y 2 …y m Với mỗi

j = 1,2 … m có x j  X sao cho  (xj) = yj Khi đó x = x 1 x 2 …x m [X] S và

y =  (x1)  (x2)…  (x m) =  (x 1 x 2 …x m) =  (x)  ([X] S) nên [ (X)] P ([X] s) và do đó  ([X]S) = [ (X)]P.

Từ Bổ đề 1.2.1, trực tiếp suy ra

1.2.4 Hệ quả Nếu A là nửa nhóm con của S và  :S  P là một đồng cấu nửa nhóm thì  (A) là một nửa nhóm con của P

Bây gi ta ét trư ng hợp đ c biệt X chỉ gồm một phần tử a Khi đó [X] s được gọi là nửa nhóm con xyclic sinh bởi a

Theo Mệnh đề 1.2.2, nửa nhóm con [a] của S gồm các l y thừa nguyên dương của a

[a] = {a, a2, a3…}

Hai khả năng ảy ra:

i) Ho c mỗi l y thừa a điều hác nhau hi đó [a] có vô hạn đếm

được phần tử hơn n a ánh xạ :  [a] đ t tương ứng mỗi số nguyên dương n với phần tử a n  [a] là một đẳng cấu từ nửa nhóm cộng các số nguyên dương *

lên [a] nên [a]  *

rong trư ng hợp này, ta nói rằng

[a] là nửa nhóm xyclic vô hạn

ii) Ho c tồn tại số nguyên dương k sao cho [a] = {a,a2, ,a k – 1} gồm

k – 1 phần tử riêng biệt Khi đó, tồn tại số nguyên dương r sao cho a k = a r

với 1 r  k – 1 Đ t m = k – r thì k = m + r và từ a k

= a r có a m + r = a r nên

a r + m + 1 = a r + 1 , … a r + m + n = a r + m = a r

Do đó a n

= a n + m với mọi n  r rong trư ng hợp này, m được gọi là

chu kỳ và r được gọi là chỉ số của nửa nhóm con [a]

Ta tổng kết các kết quả trên vào mệnh đề sau

1.2.5 Mệnh đề Gỉả sử a là một phần tử của nửa nhóm S và [a] là nửa

nhóm xyclic sinh bởi a Nếu [a] là nửa nhóm xyclic vô hạn thì mọi lũy thừa của a khác nhau Nếu [a] là nửa nhóm xyclic hữu hạn với chỉ số r và chu kì

m của thì a m + r = a r và [a] ={a,a 2 ,…,a r

, a r + 1 ,…,a m + r – 1 }.Khi đó số phần tử

[a] bằng m + r – 1 Tập K a = { a r , a r + 1 ,…, a m + r – 1

} là nhóm con xyclic cấp

m của nửa nhóm S

Chứng minh.Ta chỉ cần phải chứng minh K a là nhóm con xyclic cấp m của

S Thật vậy, dễ thấy K a là nửa nhóm con của S Đ t a n  K a

(r  n  r + m – 1 ) và xét ánh xạ : a n  (m) + n trong đó (m) + n là lớp

th ng dư theo mod m Khi đó  là một đẳng cấu từ K a lên tất cả các

lớp th ng dư theo mod m Từ đó K a là nhóm con xyclic cấp m của S

1.2.6 Chú ý a thấy,  (a n ) = (m) khi và chỉ khi n chia hết cho m Do đó đơn v của K a là phần tử a n th a mãn r  n  m + r – 1 sao cho n  0 (mod )

Nếu [ ] là nửa nhóm xyclic vô hạn thì [ ] đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên dương * Do đó cấu trúc của các nửa nhóm xyclic vô hạn

em như đã được mô tả một cách tư ng minh Tuy nhiên, kết quả sau đây khá bất ng

1.2.7 Mệnh đề Mỗi ảnh đồng cấu của nửa nhóm xyclic vô hạn là một

nhóm xyclic hữu hạn, và mỗi nhóm xyclic hữu hạn là ảnh đồng cấu của nửa nhóm xyclic vô hạn

Chứng minh Giả sử  :  G là một đồng cấu từ nửa nhóm xyclic lên nửa nhóm G ( là nửa nhóm cộng các số tự nhiên) và  (1)= y Khi đó với mỗi g  G, tồn tại k  sao cho  ( ) k  g  g = y k

nên G là một nhóm xyclic sinh bởi y

M t khác, nếu  là tương đẳng hạt nhân cảm sinh bởi  (nghĩa là

ab nếu và chỉ nếu  ( ) a   ( ) b thì hay Do đó:

+) Ho c  = thì G mâu thu n vì G là một nhóm mà là nửa

nhóm

+) o c  ≠ th h u hạn nếu G h u hạn thì G là nhóm

xyclic h u hạn

Đảo lại, nếu G là nhóm xyclic cấp m thì ơn n a, tương ứng :  Z m,  (k) = k là một đồng cấu từ lên nên là ảnh

đồng cấu của Từ đó suy ra G là ảnh đồng của nửa nhóm

a quan tâm đến các nhóm xyclic h u hạn Đối với hai số nguyên

dương cho trước r và m, có thể xây dựng nửa nhóm xyclic [a] mà chỉ số bằng r và chu kỳ bằng m Chẳng hạn, nếu:

X = {0 1 2 … r, r +1 …, r + m – 1} và A là nửa nhóm con của nửa

nhóm đầy đủ các phép biến đổi T X sinh bởi phần tử

r

m r m r r r

1

1

3

2

1

1 2

1

2

1

0

 th A là nửa nhóm xyclic h u hạn chỉ số r và chu kỳ m Hiển nhiên, hai nửa nhóm xyclic h u hạn đẳng

cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng chỉ số và chu kỳ

CHƯƠNG 2 TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP IĐÊAN

ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM.

2.1 TÍNH CHẤT MỞ RỘNG IĐÊAN VÀ MỞ RỘNG TƯƠNG

Đ NG ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM

2.1.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó S được gọi là một t –

nửa nhóm (t-semigroup) nếu quan hệ “là iđêan của” có tính chất b c cầu

(transitive) trong tập hợp các iđêan của S

Cụ thể hơn S là một t – nửa nhóm nếu điều kiện sau đây được thoả mãn: Nếu J là một iđêan của S và I là một iđêan của J thì I là iđêan của S

Ta nh c lại rằng một nhóm G được gọi là t – nhóm nếu quan hệ “là

nhóm con chuẩn t c của” có tính b c cầu trong tập hợp các nhóm con của

nghĩa là: Nếu L, M, N là các nhóm con của G sao cho LM, MN thì

N

L các iđêan của một nửa nhóm theo một nghĩa nào đó tương tự các

nhóm con chuẩn t c của một nhóm, nên các t – nửa nhóm tương tự các t –

nhóm Chẳng hạn năm 1977 B.Biró, E.W.Kiss và P.R.Páfy đã chứng minh

được rằng: một nhóm h u hạn G có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm nếu và chỉ nếu G là một t – nhóm giải được Chúng ta tìm hiểu mối liên hệ

gi a các t – nửa nhóm với sự mở rộng ho c thu hẹp iđêan và tính chất mở rộng tương đẳng trên nửa nhóm

Từ Đ nh nghĩa 2.1.1, suy ra

2.1.2 Mệnh đề

i) Ảnh đồng cấu của một t – nửa nhóm là một t – nửa nhóm;

ii) Tích trực tiếp tuỳ ý của các t – nửa nhóm là một t – nửa nhóm

Chứng minh