Nửa nhóm số đối xứng và vành gorenstein

Giả sử H đóng kín đối với phép cộng và N\ H là tập hợp hữu hạn thì H được gọi làmột nửa nhóm số.. Giả sử H là một nửa nhóm số, số nguyên F H, xác định bởi F H := maxZ\ H được gọi là số F

PHAN VĂN ANH

NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG

VÀ VÀNH GORENSTEIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2017

PHAN VĂN ANH

NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG

VÀ VÀNH GORENSTEIN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An - 2017

2.1 Vành Gorenstein 262.2 Vành nửa nhóm số và một số ví dụ về vành Gorenstein 30

MỞ ĐẦU

Cho H là một tập con chứa 0 của tập hợp các số tự nhiên N Giả sử H

đóng kín đối với phép cộng và N\ H là tập hợp hữu hạn thì H được gọi làmột nửa nhóm số

Nếu a1, , an là các số nguyên dương sao cho gcd(a1, , an) = 1 thì tậphợp

ha1, , ani = {a1λ1 + + anλn | λ1, λn ∈ N}

là một nửa nhóm số Ngược lại mọi nửa nhóm số đều có dạng này

Giả sử H là một nửa nhóm số Vành nửa nhóm của H, ký hiệu k[H], đượcxác định như sau

k[H] = k[th | h ∈ H] ⊆ k[t],

ở đây k là trường và t là một biến Như vậy vành nửa nhóm số k[H] =k[ta1, , tan] là một vành con của vành đa thức k[t], nó đẳng cấu với vànhthương của vành đa thức k[t1, , tn]/IH, trong đó IH là hạt nhân của toàncấu k-đại số φ : k[t1, , tn] → k[H], xác định bởi φ(ti) = tai với mọi

i = 1, , n Iđêan IH xác định như thế được gọi là iđêan định nghĩa của

k[H]

Giả sử H là một nửa nhóm số, số nguyên F (H), xác định bởi

F (H) := max(Z\ H)

được gọi là số Frobenious của nửa nhóm số H

Một nửa nhóm số được gọi là đối xứng nếu với mọi x ∈ Z thì x ∈ H hoặc

F (H) − x ∈ H Rõ ràng nửa nhóm sốH là đối xứng nếu số Frobenious F (H)

là số lẻ Nửa nhóm số đối xứng là lớp nửa nhóm số được nghiên cứu nhiềunhất trong lý thuyết về nửa nhóm số Vì lớp nửa nhóm số này có nhiều ứngdụng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số Một kết quả quan trọng mànhờ nó nửa nhóm số đối xứng được chú ý nhiều là bài báo [4] của Kunz, chỉ

ra rằng: nửa nhóm số H là đối xứng khi và chỉ khi k[H] là vành Gorenstein.Kết quả này sau đó được Goto và Wantanabe chứng minh lại theo cách kháctrong [3] Kết quả này cho phép chúng ta nghiên cứu về đặc trưng của vànhGorenstein thông qua nửa nhóm số đối xứng Điều này làm cho việc nghiêncứu vành Gorenstein trở nên đơn giản hơn

Trong luận văn này, với mục tiêu là trình bày chứng minh định lý nói trêncủa Kunz [4], chúng tôi sẽ trình bày về nửa nhóm số đối xứng, vành nửa nhóm

số và vành Gorenstein Chúng tôi sẽ đưa ra một số ví dụ về vành Gorenstein

và một số ví dụ về vành không Gorenstein nhờ sử dụng kết quả nói trên Nộidung của luận văn được viết dựa vào [2], [3], [4], [5] và [6]

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận vănđược chia thành hai chương

Chương 1 Nửa nhóm số1.1 Nửa nhóm số

môn Đại số, các thầy cô giáo nghành Toán, Viện Sư Phạm Tự Nhiên củatrường Đại học Vinh đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 23 chuyên ngànhĐại số và Lý thuyết số tại trường Đại học Vinh Tác giả xin cảm ơn Ban lãnhđạo Viện Sư Phạm Tự Nhiên, Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu -Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quátrình học tập tại Trường.

Trân trọng!

Nghệ An, tháng 07 năm 2017

Tác giả

CHƯƠNG 1NỬA NHÓM SỐ

Tập hợp S được gọi là một nửa nhóm nếu trên đó trang bị một phép toán

có tính chất kết hợp Tập hợp các số tự nhiên N với phép cộng là một nửanhóm Tập hợp H 6= ∅ là một tập con của N và khép kín đối với phép cộngthì H là một nửa nhóm con của N Trong số các nửa nhóm con của N thì cómột lớp các nửa nhóm con đặc biệt được gọi là nửa nhóm số

1.1.1 Định nghĩa Cho H là một tập con chứa 0 của tập hợp các số tựnhiên N Giả sử H đóng kín với phép cộng và N\ H hữu hạn thì H được gọi

là một nửa nhóm số

Cho A là một tập con khác rỗng của N\ {0} Một nửa nhóm con nhỏ nhấtcủa N (theo quan hệ bao hàm) chứa A được gọi là nửa nhóm sinh bởi A, kíhiệu hAi và được xác định bởi:

hAi = {λ1.a1 + + λn.an|λ1, , λn ∈ N; a1, , an ∈ A}

A được gọi là hệ sinh của nửa nhóm hAi

1.1.2 Mệnh đề Mỗi nửa nhóm số đều tồn tại duy nhất một hệ sinh tối thiểuhữu hạn

Như vậy, mỗi nửa nhóm số đều là nửa nhóm hữu hạn sinh.Trong luận văn,nếu không nói gì thêm thì chúng tôi luôn giả thiết hệ sinh của một nửa nhóm

số là hệ sinh tối thiểu

Cho A là một tập con khác rỗng của N Định lý sau cho thấy nhóm concủa N sinh bởi A là một nửa nhóm số nếu và chỉ nếu ước chung lớn nhất củacác phần tử trong A là 1.

1.1.3 Định lý Cho A là một tập con khác rỗng của N\ {0} Khi đó, hAi làmột nửa nhóm số khi và chỉ khi gcd(A) = 1

Chứng minh Đặt d = gcd(A) Rõ ràng nếu s ∈ hAi thì d | s Do hAi là mộtnửa nhóm số nên N \ hAi là tập hữu hạn và vì vậy tồn tại một số nguyêndương x sao cho d | x và d | (x + 1) Suy ra d = 1

Ngược lại, ta cần chứng minh N\ hAi là một tập hợp hữu hạn Thật vậy,

do 1 = gcd(A) nên tồn tại các số nguyên z1, z2, , zn và a1, a2, , an ∈ A

q ≥ s − 1 ≥ r Vì vậy,

n = (rs + r) + (q − r)s = r(s + 1) + (q − r)s ∈ hAi

1.1.4 Tập Apéry của nửa nhóm số

Một trong những công cụ tốt nhất để nghiên cứu về nửa nhóm số nóichung và nửa nhóm số đối xứng nói riêng là tập Apéry, được định nghĩa nhưsau:

Cho H là một nửa nhóm số và n ∈ H \ {0} Tập hợp được xác định bởi:

Ap(H, n) = {h ∈ H|h − n /∈ H}

được gọi là tập Apéry của n trong H

Mệnh đề sau đây cho ta cách tìm tập Apéry của một nửa nhóm số

1.1.5 Mệnh đề Cho H là một nửa nhóm số và n ∈ H \ {0} Khi đó ta có:

Ap(H, n) = {0 = w(0), w(1), , w(n − 1)}

trong đó w(i) là số nhỏ nhất của H sao cho

w(i) ≡ i(modn), ∀i ∈ {0, 1, , n − 1}

Chứng minh Rõ ràng, với mỗi i ∈ 1, 2, , n − 1 thì tập hợp

{i + kn | k ∈ N}

các số tự nhiên đồng dư với i theo môđun n là tập hợp vô hạn Vì tập hợp

N\ H hữu hạn nên sẽ tồn tại k ∈ N sao cho i + kn ∈ H Gọi w(i) là số nhỏnhất thuộc S có dạng i + kn, nghĩa là, w(i) là số nhỏ nhất thuộc H đồng dưvới i theo môđun n Khi đó rõ ràngw(i) − n /∈ H vì w(i) − n = i + kn − n =

i + (k − 1)n < w(i) Vậy w(i) ∈ Ap(H, n) với mọi i ∈1, 2, , n − 1 Dođó

Từ Mệnh đề 1.1.5 ta suy ra Ap(H, n) là một hệ thặng dư đầy đủ modn.

Vì từ mỗi lớp thặng dư mod n ta trích ra số nguyên nhỏ nhất trong đó thuộc

H Như vậy, tập Apéry của phần tử n trong nửa nhóm số H có n phần tử.1.1.6 Ví dụ Cho nửa nhóm số

H = h5, 7, 9i = {0, 5, 7, 9, 10, 12, 14 →}

(trong đó kí hiệu →nghĩa là các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 14) Ta tínhđược

Ap(H, 5) = {0, 7, 9, 16, 18},Ap(H, 7) = {0, 5, 9, 10, 15, 18, 20}

1.1.7 Chiều nhúng và số bội của nửa nhóm số

Cho H là một nửa nhóm số với hệ sinh tối thiểu là A = {a1, , ae} thỏamãn a1 < a2 < < ae Giá trị e được gọi là chiều nhúng của H và kí hiệu

là e(H) và giá trị a1 được gọi là số bội của H và được kí hiệu là m(H).Mệnh đề sau đây cho ta thấy được mối quan hệ giữa số bội và chiều nhúngcủa một nửa nhóm số Ở đây chúng tôi trình bày chứng minh theo cách khácvới cách chứng minh của mệnh đề này trong [6]

1.1.8 Mệnh đề Cho nửa nhóm số H, khi đó ta có:

e(H) ≤ m(H)

Chứng minh Nếu e(H) = 1 thì H = N Vì m(N) = 1 nên e(H) = m(H).Nếu e(H) ≥ 2 và H có hệ sinh tối thiểu là A = {a1, , an} được sắp xếptheo thứ tự tăng dần Khi đó, e(H) = n và m(H) = a1 Giả sử n > a1, tồntại trong tập A hai số ai < aj sao cho ai ≡ aj(mod a1) Điều này có nghĩa làtồn tại số nguyên dương k sao cho aj = k.a1+ ai, suy ra A không phải là hệsinh tối thiểu của H (mâu thuẫn với giả thiết) từ đó ta có điều phải chứngminh

Trong trường hợp e(H) =m(H) thì ta nói nửa nhóm số H có chiều nhúngtối đại.

1.1.9 Số Frobenius và giống của nửa nhóm số

Trong các bài giảng của mình, nhà toán học Frobenius đã đề cập đến vấn

đề đưa ra một công thức xác định số nguyên lớn nhất mà không biểu thịtuyến tính được qua một tập hợp các số nguyên dương có ước chung lớn nhất

là 1 với các hệ số nguyên không âm Ông cũng đặt ra câu hỏi về việc xác định

có bao nhiêu số nguyên dương không biểu thị tuyến tính được như thế Sửdụng thuật ngữ về nửa nhóm số, vấn đề thứ nhất tương đương với việc đưa

ra một công thức xác định số nguyên lớn nhất không thuộc nửa nhóm số H

thông qua các phần tử trong hệ sinh tối tiểu của H Phần tử này được gọi là

số Frobenius của H Số Frobenius của H được kí hiệu là F (H) và được xácđịnh như sau:

F (H) = max(Z\ H)

Ta biết rằng với mỗi nửa nhóm số H thì tập hợp G(H) = N \ H là hữuhạn và nó được gọi là độ hở của H Để giải quyết vấn đề thứ hai, về việc xácđịnh có bao nhiêu số nguyên dương không biểu thị tuyến tính được qua mộttập hợp các số nguyên dương có ước chung lớn nhất là 1 với các hệ số nguyênkhông âm, người ta đưa ra khái niệm giống của H, kí hiệu là g(H), là lựclượng của tập hợp G(H), đôi khi nó còn được gọi là bậc kỳ dị của H

1.1.10 Ví dụ 1) Cho nửa nhóm số H = h5, 7, 9i Khi đó

Để tính số Frobenius và giống của một nửa nhóm số ta có mệnh đề sau.1.1.11 Mệnh đề Cho một nửa nhóm số H, và 0 < n ∈ H Khi đó ta có:(1) F(H) = maxAp(H, n) − n,

Từ những chứng minh trên ta thấy ngay F(H) = maxAp(H, n) − n

(2) Để ý rằng mỗi w ∈ Ap(H, n), nếu w ≡ i(modn), i ∈ {0, 1, , n − 1}

thì tồn tại số nguyên không âm ki sao cho w = ki.n + i Vì vậy, theo Mệnh

Trong trường hợp nửa nhóm số có chiều nhúng bằng 2 thì ta có thể tính

số Frobenius và giống của nó như sau

1.1.12 Hệ quả Cho H = ha, bi một nửa nhóm số, trong đó a, b là các sốnguyên dương sao cho gcd(a, b) = 1 Khi đó số Frobenius và giống của nửanhóm số H được xác định như sau

Chứng minh của mệnh đề sau đây được trình bày trong [6]

1.1.13 Mệnh đề Cho một nửa nhóm số H có hệ sinh là {a1, , an}, gọi

1.1.14 Ví dụ Cho nửa nhóm số H = h20, 30, 17i Khi đó gcd(20, 30) = 10

1.1.16 Số giả Frobenius và kiểu của nửa nhóm số

Cho một nửa nhóm số H Số nguyên x được gọi là số giả Frobenius của H

nếu x /∈ H và x + h ∈ H, ∀h ∈ H \ {0} Tập hợp các số giả Frobenius được

ký hiệu là PF(H) Lực lượng của PF(H) được gọi là kiểu của H và ký hiệu

1.1.18 Quan hệ thứ tự "≤H " trên tập hợp các số nguyên

Cho một nửa nhóm số H Xét quan hệ "≤H " trên tập hợp số nguyên Znhư sau: a ≤H b ⇔ b − a ∈ H với a, b ∈ Z Ta có thể kiểm tra được "≤H "

là quan hệ thứ tự bộ phận trên tập hợp các số nguyên Z

Cho A là tập con của tập các số nguyên Z Tập hợp các phần tử tối đạitheo quan hệ "≤H " trên tập A được ký hiệu Maximals≤ (A)

Ta có thể xác định tập hợp các số giả Frobenius của một nửa nhóm số nhờcác mệnh đề sau Chúng tôi đề xuất chứng minh cho các mệnh đề này.Theo định nghĩa thì số Frobenius F(H) là số lớn nhất trong Z\ H theoquan hệ bé hơn hoặc bằng thông thường Mệnh đề sau đây cho thấy tập các

số giả Frobenius PF(H) chính là tập các phần tử cực đại của Z \ H theoquan hệ "≤H "

1.1.19 Mệnh đề Cho H là một nửa nhóm số Ta có các khẳng định sau:(1) PF(H) = Maximals≤H(Z\ H),

(2) x ∈ Z\ H ⇔ p − x ∈ H, p ∈ PF(H)

Chứng minh (1) Ta chứng minh PF(H) ⊆ Maximals≤H(Z \ H) Lấy x ∈PF(H), cần chứng minh

x ∈ Maximals≤H(Z\ H)

Giả sử tồn tại y ∈ Z\ H, y 6= x sao cho x ≤H y hay 0 < y − x ∈ H Do x ∈

PF(H) nên y = x + (y − x) ∈ H mâu thuẫn với y ∈ Z\ H Vì vậy,

⇒ x + n = w − (k − 1)n.

Vì x + n ∈ H nên k = 1 hay x = w − n Giả sử tồn tại w0 ∈ Ap(H, n) saocho 0 < w0 − w ∈ H, chọn h = w0− w ta có

x + h ∈ H ⇒ w − n + w0 − w = w0 − n ∈ H

Điều này mâu thuẫn với w0 ∈ Ap(H, n) Do đó, w ∈ Maximals≤HAp(H, n)

Bây giờ ta chứng minh

Theo Mệnh đề 1.1.20 thì PF(H) = {(a − 1)b − a} = {ab − a − b}.

2) Cho nửa nhóm số H = h5, 7, 9i Khi đó ta có

Ta dễ dàng chứng minh được tương ứng trên là một ánh xạ, hơn thế nữa ϕ

là một đơn ánh Trong trường hợp ϕ là một song ánh ta nói nửa nhóm số H

(2) Với mọi số nguyên x thì x ∈ H hoặc F(H) − x ∈ H

Chứng minh Ta dễ thấy ϕ là một đơn ánh Như vậy, ϕ là một song ánh khi

và chỉ khi ϕ là một toàn ánh

(1) ⇒(2): Giả sử H là một nửa nhóm số đối xứng, suy ra ϕlà một toàn ánh

Khi đó mọi phần tửx ∈ Z\H đều có thể viết dưới dạngx = F(H)−h, h ∈ H

hay F(H) − x ∈ H, ∀x ∈ Z\ H

(2) ⇒ (1): Giả sử y là số nguyên bất kỳ thuộc vào tập hợp Z \ H Theo giảthiết của (2) ta có F(H) − y ∈ H Đặt x = F(H) − y thì

ϕ(x) = F(H) − x = F(H) − (F(H) − y) = y

Vậy ϕ là toàn ánh, do đó H là một nửa nhóm số đối xứng

Định lý trên tương đương với định nghĩa nửa nhóm số đối xứng nên tacũng có thể xem nó như là một định nghĩa khác của nửa nhóm số đối xứng.Định lý sau đây chỉ ra các điều kiện tương đương với một nửa nhóm sốđối xứng Chúng tôi cũng đề xuất một phép chứng minh cho định lý này.1.2.2 Định lý Cho H là một nửa nhóm số và n ∈ H \ {0} với tập Apéry

Ap(H, n) = {0 = w0 < w1 < < wn−1} Các khẳng định sau là tươngđương

(4) ⇒ (5): Cho Maximals≤HAp(H, n)} = {wn−1}, ta chứng minh wi +

wn−1−i = wn−1, ∀i ∈ {0, , n − 1} Vì Maximals≤HAp(H, n)} = {wn−1}

Vậy, wi+ wn−1−i = wn−1, ∀i ∈ {0, , n − 1}

(5) ⇒ (6): Cho wi + wn−1−i = wn−1, ∀i ∈ {0, , n − 1}, ta chứng minh

Nếu wn−1− wi ∈ H/ thì tồn tại wj ∈ Ap(H, n) sao cho

wn−1− wi = wj − kn, (k ∈ N\ {0})

⇒ wn−1 = wi+ wj − kn < wi + wj

Giả sử t(H) > 1, khi đó tồn tại wi ∈ Ap(H, n) sao cho wn−1 − wi ∈ H./ Từnhận xét trên ta có 2(w0 + w1 + + wn−1) > nwn−1, điều này mâu thuẫnvới giả thiết 2(w0 + w1 + + wn−1) = nwn−1 Vậy, t(H) = 1

(2) ⇒ (1): Cho t(H) = 1, ta chứng minh H là nửa nhóm số đối xứng.Nếu H không là nửa nhóm số đối xứng thì tồn tại số nguyên x /∈ H mà

Như vậy, một nửa nhóm số là đối xứng nếu và chỉ nếu nó có duy nhất một

số giả Frobenius đó chính là số Frobenius

Cho một nửa nhóm số H Khi đó, số nguyên

c(H) = min{c ∈ N | a ∈ H, ∀a ≥ c}

được gọi là conductor của H Ta thấy ngay c(H) = F(H) + 1

Từ Định lý 1.2.2 ta thấy rằng, nếu H là một nửa nhóm đối xứng thì trongtập hợp

1.2.3 Mệnh đề Cho các số nguyên dương a, b sao cho gcd(a, b) = 1 Khi

đó, H = ha, bi là nửa nhóm số đối xứng

Chứng minh Theo Ví dụ 1.1.21,

PF(H) = {(a − 1)b − a} = {ab − a − b}

hay t(H) = 1 Theo Định lý 1.2.2, H là nửa nhóm số đối xứng

Trường hợp nửa nhóm số có chiều nhúng tối đại, chúng tôi đề xuất mệnh

1.2.5 Hệ quả Cho các số nguyên dương a, b > 3 sao cho gcd(3, a, b) = 1.

Khi đó nửa nhóm số H = h3, a, bi không đối xứng

1.2.6 Hệ quả Cho số nguyên dương a, với a ≥ 3 Khi đó nửa nhóm số

H = ha, a + 1, , 2a − 1i

không phải là một nửa nhóm số đối xứng

1.2.7 Hệ quả Nếu một nửa nhóm số H đối xứng thì e(H) < m(H)

1.2.8 Mệnh đề Cho số nguyên dương a, a ≥ 3 Khi đó, nửa nhóm số

H = ha, a + 1, , 2a − 2i

là một nửa nhóm số đối xứng

Chứng minh Ta có Ap(H, a) = {0, a + 1, , 2a − 2, 3a − 1}, xét hiệu

3a − 1 − (a + i) = a + (a − 1 − i) ∈ Ap(H, a), ∀i ∈ {1, 2, , a − 2}

⇒ (a + i) ≤H (3a − 1), ∀i ∈ {1, 2, , a − 2}

⇒ Maximals≤HAp(H, a) = {3a − 1}

Theo Định lý 1.2.2, H là một nửa nhóm số đối xứng

Trong trường hợp nửa nhóm số sinh bởi 3 phần tử, kết quả sau đây đãđược chứng minh bởi J Herzog năm 1970, S Goto, K Watanabe [3] và R

Fro berg, C Gottlieb, R Ha ggkvist năm 1987 Không dựa vào các tài liệutham khảo, ở đây chúng tôi trình bày chứng minh (1) ⇒ (2) Chiều ngượclại chúng tôi chưa chứng minh được, chứng minh của điều này có thể đượcxem trong các tài liệu nói trên

1.2.9 Mệnh đề Cho nửa nhóm số H = ha, b, ci Các phát biểu sau là tươngđương:

trong đó w00 = 0 < w01 < < w0c−1, wi = dwi0, ∀i ∈ {0, 1, , c − 1} TheoMệnh đề 1.2.3 thì T đối xứng, theo Định lý 1.2.2 ta có

w0i+ wc−i−10 = wc−10 , ∀i ∈ {0, 1, , c − 1}

⇒ dw0i + dw0c−i−1 = dwc−10 , ∀i ∈ {0, 1, , c − 1}

⇒ wi + wc−i−1 = wc−1, ∀i ∈ {0, 1, , c − 1},

do đó H đối xứng

(⇒) Xem trong các tài liệu trên

Từ mệnh đề trên ta có hệ quả sau đây

1.2.10 Hệ quả Cho H = ha, b, ci là một nửa nhóm số Nếu a, b, c nguyên

tố cùng nhau từng đôi một thì H không phải là nửa nhóm số đối xứng

1.2.11 Ví dụ 1) Xét một nửa nhóm số H = h6, 8, 25i ta có: gcd(6, 8) = 2;

6 = 2.3, 8 = 2.4 và 25 = 3.3 + 4.4 nên 25 ∈ T = h3, 4i Theo Mệnh đề 1.2.9thì H là nửa nhóm số đối xứng

2) ChoH = h2015, 2016, 2017ilà một nửa nhóm số, vì các số2015, 2016, 2017

nguyên tố cùng nhau đôi một nên theo Hệ quả 1.2.10 thì H không phải làmột nửa nhóm số đối xứng