Nửa nhóm số hầu đối xứng bội 5

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN CHU THỊ TUYẾT NHUNG NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG BỘI 5 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học Th.S ĐỖ VĂN KIÊN...

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

CHU THỊ TUYẾT NHUNG

NỬA NHÓM SỐ

HẦU ĐỐI XỨNG BỘI 5

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học

Th.S ĐỖ VĂN KIÊN

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tại trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗchỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo, tôi đã học hỏi và tiếp thu đượcnhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tốt, bước đầuđược làm quen với công việc nghiên cứu khoa học

Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoaToán, các thầy cô trong tổ Đại số đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ dìudắt chúng tôi trưởng thành như ngày hôm nay

Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo Đỗ VănKiên, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiếnquý báu cho tôi trong thời gian thực hiện khóa luận

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bảnthân còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi rấtmong nhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinhviên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2017

Sinh viên

Chu Thị Tuyết Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi trình bày trong khóaluận này là kết quả quá trình nghiên cứu nghiêm túc của bản thân dưới

sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo, đặc biệt là thầy

Đỗ Văn Kiên Những nội dung này không trùng với kết quả nghiên cứucủa các tác giả khác

Hà Nội, ngày tháng năm 2017

Sinh viên

Chu Thị Tuyết Nhung

Mục lục

1.1 Nửa nhóm, nửa nhóm con 3

1.1.1 Nửa nhóm 3

1.1.2 Nửa nhóm con 5

1.1.3 Tập sinh của một nhóm 5

1.2 Nửa nhóm số 6

1.3 Tập Apéry 9

1.4 Số Frobenius và số giả Frobenius 10

1.5 Phân loại nửa nhóm số 14

1.5.1 Nửa nhóm số đối xứng 14

1.5.2 Nửa nhóm số giả đối xứng 16

1.5.3 Nửa nhóm số hầu đối xứng 19

1.5.4 Một số ví dụ 22

2 Nửa nhóm số hầu đối xứng bội 5 242.1 Đặc trưng các nửa nhóm số chiều nhúng 4 bội 5 qua tập

sinh tối tiểu 242.2 Đặc trưng các nửa nhóm số chiều nhúng 4 bội 5 qua iđêan

định nghĩa 34

Trong lý thuyết nửa nhóm số có ba loại nửa nhóm số rất cùngquan trọng là nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng và hầu đối xứng Chotrước một nửa nhóm số H, bài toán đặt ra xác định xem nửa nhóm số

H thuộc loại nào là một bài toán khó và rất phức tạp Kết quả chínhcủa luận văn này được thực hiện dựa theo bài báo của các tác giả Nari,Numata, Watanabe ([NNW], 2011) Cụ thể nếu H là nửa nhóm số sinhbởi 4 phần tử bội 5 thì sẽ trả lời được cho câu hỏi trên Hơn nữa, kiểucủa nó không vượt quá 3

Với ý nghĩa trên và lòng yêu thích chuyên ngành Đại số cùng với

sự gợi ý và giúp đỡ của thầy giáo - Th S Đỗ Văn Kiên em đã mạnhdạn chọn đề tài "Nửa nhóm số của hầu đối xứng bội 5" làm khóa luậntốt nghiệp của mình

Mục đích và nhiệm vụ chính của đề tài là cung cấp một số kiếnthức cơ sơ về nửa nhóm số và cung cấp một loại của nửa nhóm số hầu

đối xứng bội 5 với phép nhúng 4 chiều.

Nội dung của đề tài được cấu trúc thành hai chương:

Chương 1: Nửa nhóm, nửa nhóm số

Chương 2: Nửa nhóm số của hầu đối xứng bội 5

Chương thứ nhất tập trung về tính đối xứng của nửa nhóm màtổng quát là nửa nhóm số hầu đối xứng Chương thứ hai đề cập tới dạngcủa nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi 4 phần tử bội 5 Các kết quảchính là ở các định lý 2.1.1, 2.1.4 và 2.2.2

Chương 1

Nửa nhóm và nửa nhóm số

1.1 Nửa nhóm, nửa nhóm con

Trước tiên, tôi sẽ trình bày kiến thức cơ sở về nửa nhóm, nửa nhóm con

để hình thành khái niệm nửa nhóm số

1.1.1 Nửa nhóm

Định nghĩa 1.1.1 Một phép toán hai ngôi trong tập hợp X là mộtánh xạ T : X × X → X Ảnh của (x, y) ∈ X × X qua ánh xạ T đượcgọi là hợp của x và y đối với phép toán T, kí hiệu là xT y

Thông thường phép toán T được kí hiệu là 00·00 (phép nhân ) hoặc 00+00(phép cộng )

Phép toán hai ngôi T trong tập hợp X được gọi là có tính chất kết hợpnếu và chỉ nếu với mọi x, y, z ∈ X ta có xT (yT z) = (xT y)T z

Phép toán hai ngôi T trong tập hợp X được gọi là có tính chất giaohoán nếu và chỉ nếu với mọi x, y ∈ X ta có xT y = yT x

Nếu tồn tại phần tử e ∈ X sao cho với mọi x ∈ X thỏa mãn xT e =

eT x = x thì e được gọi là phần tử đơn vị của X.

Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp X khác rỗng là nửa nhóm nếu X cùng vớimột phép toán hai ngôi đã cho trong X có tính chất kết hợp

Một nửa nhóm có phần tử đơn vị gọi là một vị nhóm

Một nửa nhóm mà phép toán của nó là giao hoán được gọi là nửa nhómgiao hoán

Ví dụ 1.1.3 (1) Tập hợp số nguyên Z với phép cộng thông thường tạothành vị nhóm giao hoán

(2) Tập hợp ma trận cấp 2 × 2 với hệ số thực cùng phép nhân các matrận không là một nửa nhóm giao hoán Thật vậy, lấy

Ta thấy A.B 6= B.A

Định lý 1.1.4 Giả sử x1, x2, , xn là n phần tử (phân biệt hay không )của nửa nhóm X thì

x1x2 xn = (x1 xi)(xi+1 xj) (xm+1 xn)

Nói cách khác, tích của n phần tử tùy ý trong một nửa nhóm không phụthuộc vào cách kết hợp

phụ thuộc vào thứ tự các nhân tử, tức là

Đặc biệt, nếu X = hAi thì ta nói X sinh bởi A Nếu X = hai , a ∈

X thì X được gọi là nửa nhóm con xyclic

Nhận xét 1.1.9

i) Nếu X là vị nhóm với đơn vị e và A = ∅ thì hAi = {e}

ii) Nếu A 6= ∅ thì

hAi = {λ1a1 + λ2a2 + · · · + λnan | n ∈ N \ {0} , ai ∈ A, λi ∈ N ∀i}

Sau đây, tôi sẽ đưa ra khái niệm nửa nhóm số và tính chất đặctrưng của nửa nhóm số.

1.2 Nửa nhóm số

Định nghĩa 1.2.1 Cho N là tập các số nguyên không âm Một tập con

H của N được gọi là một nửa nhóm số nếu thỏa mãn các điều kiên:

Mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa 1.2.1

Mệnh đề 1.2.2 Cho H = ha1, a2, , ani , n ≥ 2 Khi đó gcd(a1, a2, , an) =

1 nếu và chỉ nếu |N \ H| < ∞

Chứng minh • Điều kiện cần

Giả sử |N \ H| < ∞ Ta chứng minh gcd(a1, a2, , an) = 1

Đặt d = gcd(a1, a2, , an) Mọi số thuộc H đều chia hết cho d nên nếu

H Do đó tập N \ H là vô hạn, mâu thuẫn Vậy d = 1.

Vậy gcd(a1, , an) = 1

• Điều kiện đủ Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

1 Xét trường hợp H = ha, bi , gcd(a, b) = 1

m = amu + bmv = amu + b(aq + y) (0 ≤ y < a)

= amu + abq + by = a(mu + bq) + by = ax + by

Duy nhất: Giả sử m = ax + by = ax0+ by0 với 0 ≤ y, y0 < a Suy raa(x − x0) = b(y0− y)

Vì gcd(a, b) = 1 nên a là ước của | y − y0 | Suy ra y = y0 Do đó

x = x0

Vậy với mọi m ∈ Z, m viết được duy nhất dạng m = ax + by, 0 ≤

y < a Từ đó m ∈ H ⇔ x ≥ 0 Do đó số lớn nhất không thuộc Hphải là

a(−1) + b(a − 1) = ab − a − bĐặt c = (a − 1)(b − 1) thì c − 1 = ab − a − b là số lớn nhất khôngthuộc H

Như vậy với mọi m ≥ c thì m > c − 1 ⇒ m ∈ H Suy ra |N\H| ≤

E

Do đó với mọi m ≥ m1 thì md ∈ ha1, a2 , an−1i

Đặt c = dm1 + (d − 1)an + 1 Ta chứng minh với mọi m ≥ c thì

m ∈ H Thật vậy, vì gcd(d, ne) = 1 nên m có biểu diễn duy nhất

m = dx + ney, 0 ≤ y < d Suy ra

dx = m − any ≥ (d − 1)an+ m1d + 1 − any ≥ dm1

Suy ra x ≥ m1 Do đó dx ∈ ha1, an−1i thì m = dx + any ∈ H Vìvậy |N\H| ≤ c − 1 < ∞

Định nghĩa 1.2.3 Cho một nửa nhóm số H = ha1, a2, , ani , với{a1, a2, , an} là hệ sinh tối tiểu của H

1 Ta gọi số e(H) := min H \ {0} là bội của H

2 Số emb(H) = n được gọi là chiều nhúng của H

3 Tập G(H) = N\H được gọi là tập các khoảng trống của H, g(H) :=

|G(H)| được gọi là giống của H

4 Vành đa thức k [H] = kth | h ∈ H = k [ta 1, , ta2], với k là mộttrường, t là biến số được gọi là vành nửa nhóm số của H.

1.3 Tập Apéry

Định nghĩa 1.3.1 Cho H là một nửa nhóm số và 0 6= n ∈ H Ta địnhnghĩa

Ap(H, n) = {x ∈ H | x − n /∈ H}

là tập Apéry của x đối với H

Mệnh đề dưới đây đưa ra một công thức cụ thể để tìm tập Apéry.Mệnh đề 1.3.2 Cho H là một nửa nhóm số, n ∈ H, n 6= 0 Khi đó

Ta có w(i) ∈ H, giả sử w(i) − n ∈ H suy ra w(i) − n = x Mà(w(i) − i) lại chia hết cho n Khi đó ta có thể viết w(i) − i = nq(q ∈ Z)hay nq + i − n = x suy ra n(q − 1) + i = x ∈ Z

Ta có x − i = nq chia hết cho n Giả sử tồn tại x0 ∈ H sao cho

x0 < x; mà (x0 − i) lại chia hết cho n hay x0 − i = np(p ∈ Z) tức là

x − x0 = n(q − p) > 0 từ đó q > p Do đó x − n = x0+ n(q − p − 1) ∈ H(mâu thuẫn với giả thiết x − n ∈ H)

Vậy {x ∈ H | x − n /∈ H} ⊆ {0 = w(0), w(1), , w(n − 1)}

1.4 Số Frobenius và số giả Frobenius

Định nghĩa 1.4.1 Cho H là một nửa nhóm số

1 Ta gọi số nguyên lớn nhất không thuộc H là số Frobenius của H,

kí hiệu là F (H), tức là F (H) = max Z \ H;

2 Ta gọi tập hợp

PF(H) = {x /∈ H | x + h ∈ H, ∀h ∈ H \ {0}}

là tập các số giả Frobenius, mỗi phần tử của nó được gọi là một sốgiả Frobenius Số phần tử của tập PF(H) được gọi là kiểu của H,

kí hiệu là t(H);

Nhận xét 1.4.2

i) F (H) ∈ PF(H)

Thật vậy, giả sử ngược lại F (H) /∈ PF(H) thì tồn tại h ∈ H \{0} sao cho

F (H)+h /∈ H điều này vô lí vì F (H) = max N\H mà F (H)+h > F (H)

Do đó F (H) ∈ PF(H)

ii) Cho ≤H là quan hệ hai ngôi xác định trên Z như sau x ≤H y nếu

y − x ∈ H Điều này rõ ràng thấy rằng (Z, ≤H) là một tập sắp thứ tựtừng phần và tập các số giả Frobenius của H là những phần tử cực đạicủa Z \ H theo quan hệ ≤H (xem mệnh đề 1.4.4)

Ví dụ 1.4.3 Cho nửa nhóm số H = h3, 7, 8i Ta có các bất biến

Chứng minh • Với mọi x ∈ PF(H) ta chứng minh

x ∈ {w − n | w ∈ max≤HAp(H, n)}

Vì 0 < n ∈ H, x ∈ PF(H) nên x + n ∈ H

Mà x + n − n = x /∈ H nên x + n ∈ Ap(H, n)

Suy ra tồn tại w ∈ Ap(H, n) sao cho x + n = w

Giả sử tồn tại u ∈ Ap(H, n) sao cho w ≤H u Suy ra u − w ∈ H hay

u − x − n ∈ H

Nếu 0 < u−x−n ∈ H thì x+(u−x−n) ∈ H Suy ra u−n ∈ H mâu thuẫn Do đó u − x − n = 0 hay u = x + n = w Khi đó w ∈ max≤HAp(H, n)thì x = w − n

Vậy x ∈ {w − n | w ∈ max≤H Ap(H, n)}

• Với mọi w ∈ max≤HAp(H, n) Ta chứng minh x = w − n ∈ PF(H)

Ta có w ∈ Ap(H, n) ⇒ w − n /∈ H

Giả sử tồn tại 0 < h ∈ H sao cho w − n + h /∈ H hay (w + h) − n /∈ H

Mà w + h ∈ H nên w + h ∈ Ap(H, n) Lại có w + h − w = h ∈ H Do

đó w ≤H w + h Mà w ∈ max≤HAp(H, n) suy ra w = w + h hay h = 0,mâu thuẫn

Do đó ∀h ∈ H \ {0} thì w − n + h ∈ H Khi đó w − n ∈ PF(H)

Do vậy, x ∈ PF(H)

Vậy PF(H) = {w − n | w ∈ max≤HAp(H, n)}

• F (H) = max Ap(H, n) − n Thật vậy,

Ta có max Ap(H, n) − n /∈ H

Nếu tồn tại x > max Ap(H, n) − n thì x + n > max Ap(H, n)

Suy ra

x + n = kn + max Ap(H, n), k > 0

Do đó

x = n(k − 1) + max Ap(H, n)Vậy F (H) = max Ap(H, n) − n

Mệnh đề 1.4.5 Cho H là nửa nhóm số Khi đó

• Với mỗi mi ∈ T, i = 1, F (H) + 1 ta có nếu mi ∈ H thì F (H) − m /∈ H

và ngược lại mi ∈ H thì F (H) − m ∈ H Do đó ta xét hai trường hợpsau:

+ Nếu F (H) lẻ thì T = T1 ∪ T2 với T1 = {m ∈ H | F (H) − m /∈ H} và

T2 = {m /∈ H | F (H) − m ∈ H}

Khi đó |T1| = |T2| hay 2g(H) = F (H) + 1

+ Nếu F (H) chẵn thi T = T1 ∪ T2 ∪ {F (H)

2 } Khi đó2g(H) = F (H) + 1 + 1 = F (H) + 2

Tiếp theo tôi sẽ phân loại các nửa nhóm số và đưa ra các đặc trưngcủa từng loại nửa nhóm số

1.5 Phân loại nửa nhóm số

(1) H đối xứng;

(2) w + w = w với 2 ≤ i ≤ n − 1;

2g(H) = F (H) + 1 ⇔ g(H) = F (H) + 1

2 ⇔ {0, 1, , F (H)} có đúngmột nửa số phần tử thuộc H ⇔ x /∈ H thì F (H) − x ∈ H ⇔ H đốixứng

1.5.2 Nửa nhóm số giả đối xứng

Định nghĩa 1.5.4 Cho H là nửa nhóm số H được gọi là giả đối xứngnếu F (H) chẵn và mọi x ∈ Z \ F (H)

2

thì x ∈ H hoặc F (H) − x ∈ H

Nhận xét 1.5.5 Nếu H là giả đối xứng thì F (H)

(1) H là giả đối xứng;

(2) wi + wn−1−i = wn, 2 ≤ i ≤ n − 1;

(3) PF(H) =  F (H)

2 , F (H) ;(4) 2g(H) = F (H) + 2

Lấy x ∈ Z sao cho x 6= F (H)

2 , x /∈ H ta chứng minh F (H) − x ∈ H.Thật vậy

• Lấy w ∈ Ap(H, n) sao cho w ≡ x( mod n)

Suy ra w = x + kn với k ∈ N \ {0} hay x = w − kn

Xét cả hai trường hợp

1.5.3 Nửa nhóm số hầu đối xứng

Định nghĩa 1.5.7 Cho H là một nửa nhóm số H là hầu đối xứng nếuvới mọi x ∈ Z sao cho x /∈ H và F (H) − x /∈ H thì x ∈ P F (H) và

> Giả sử H là hầu đối xứng Với mọi x ∈ L(H) suy ra x /∈ H và

F (H) − x /∈ H Do đó theo giả thiết x ∈ PF(H) suy ra L(H) ⊆ PF(H).ii) Từ nhận xét (i) dễ dàng thấy rằng

H đối xứng ⇔ L(H) = ∅

H là giả đối xứng ⇔ L(H) = {F (H)2 }

Do đó nửa nhóm số đối xứng, và giả đối xứng là hầu đối xứng Vì vậykhái niệm nửa hóm số hầu đối xứng là khái niệm tổng quát của nửanhóm số đối xứng và giả đối xứng.

iii) Nửa nhóm số hầu đối xứng kiểu 2 là giả đối xứng Thật vậy,

Giả sử F (H) lẻ, 2g(H) = F (H) + 1 (từ mệnh đề 1.4.6) suy ra t(H) = 1(bởi định lý 1.5.9), mâu thuẫn

Suy ra F (H) chẵn nên F (H)

2 ∈ Z Do đó F (H)

2 ∈ H (vì nếu/ F (H)

2 ∈ Hthì F (H) ∈ H )

Thỏa mãn điều kiện wi + wn−1−i = wn−1 với 2 ≤ i ≤ n − 1.

Do đó H là nửa nhóm số giả đối xứng

Ví dụ 1.5.12 Cho H = h4, 5, 6, 7i

Ta có N \ H = {1, 2, 3} nên F (H) = 3

PF(H) = {1, 2, 3} thỏa mãn fi+ ft(H)−i = F (H), 1 ≤ i ≤ t − 1

Vậy H là nửa nhóm số hầu đối xứng

Ví dụ 1.5.13 H = h3, c, di có Ap(H, c) có ba phần tử không thỏa mãn

wi + wc−i = wc

Do đó H không là nửa nhóm số đối xứng

Ví dụ 1.5.14 H = ha, a + 1, , 2a − 1i = {0, a + 1, →}

Ta có F (H) = a − 1, PF(H) = {a − i, , a − 2, a − 1} với 1 ≤ i ≤ a − 1thỏa mãn điều kiện tương đương nên H là nửa nhóm số hầu đỗi xứng

Nếu a = 2 thì H = h2, 3i là đối xứng

Nếu a = 3 thì H = h3, 4, 5i , P F (H) = {1, 2}

Do đó H là nửa nhóm số giả đối xứng

Nếu a = 4 thì H = h4, 5, 6, 7i , P F (H) = {1, 2, 3} H không là nửanhóm số giả đối xứng, không là nửa nhóm số hầu đối xứng

Vậy với a ≥ 4 thì H không là nửa nhóm số giả đối xứng, không là nửanhóm số hầu đối xứng.

Chương 2

Nửa nhóm số hầu đối xứng bội 5

Trong chương này, chúng tôi sẽ phân loại hoàn toàn các nửa nhóm sốsinh bởi bốn phần tử với số bội 5

2.1 Đặc trưng các nửa nhóm số chiều nhúng 4 bội

5 qua tập sinh tối tiểu

Trước khi đi vào định lý chính, ta cần đến hai định lý dưới đây

Định lý 2.1.1 Cho H = h5, b, c, di là một nửa nhóm số, e(H) = 5,{5, b, c, d} là một hệ sinh tối tiểu của H Khi đó t(H) ≤ 3

Hơn nữa, nếu t(H) = 3 và Ap(H, 5) = {0, b, c, d, w}, có thể sắpxếp lại {b, c, d} thì ta có w = 2d

Chứng minh Giả sử b ≡ α1(mod 5), c ≡ α2(mod 5), d ≡ α3(mod 5)với 0 ≤ αi ≤ 4

Khi đó ta có Ap(H, 5) = {0, b, c, d, w}

> Ta có 0 ∈ max≤ Ap(H, 5) nên t(H) ≤ 4

Với w ∈ H thì w = 5c1 + bc2 + cc3 + dc4, ci ≥ 0.

+ Nếu c2 = c3 = c4 = 0 thì w = 5c1, mâu thuẫn vì {0, b, c, d, w} là một

hệ thặng dư đầy đủ môđun 5

+ Giả sử c2 > 0 thì w = 5c1 + bc2 + cc3 + dc4

Suy ra w − b = 5c1+ b(c2− 1) + cc3+ dc4 ∈ H ⇒ b ≤H w Do đó b ≤H whoặc c ≤H w hoặc d ≤H w

Suy ra t(H) = |max≤HAp(H, 5)| ≤ 3

> Ta chứng minh nếu t(H) = 3 thì w = 2d

+ Ta luôn có b ≤H w hoặc c ≤H w hoặc d ≤H w Chẳng hạn d ≤H w thì

w − d = 5c1 + b(c2 − 1) + cc3 + dc4 Nếu c2 > 0 thì w − b = 5c1 + b(c2 −1) + cc3 + d(c4 + 1) ∈ H Suy ra b ≤H w, mâu thuẫn Do đó c2 = 0.Tương tự ta có c3 = 0

suy ra nd /∈ Ap(H, 5) mâu thuẫn Do đó 2 ≤ n ≤ 4

Ta xét hai trường hợp n = 3 và n = 4 Ta thấy

• Với n = 3 ta có PF(H) = {b − 5, c − 5, 3d − 5} Khi đó vì {0, b, c, d, 3d}

là một hệ thặng dư đầy đủ modulo 5 nên với số nguyên d + b ta có

• Chứng minh tương tự với trường hợp n = 4,

Do vậy t(H) = 3 thì w = 2d

Ví dụ 2.1.2 (1) Cho nửa nhóm số H = h5, 6, 8, 7i.

Ta có PF(H) = {9}; t(H) = 1 và Ap(H, 5) = {0, 6, 7, 8, 14}, ta thấy

d = 7, w = 14 = 2d

(2) Cho nửa nhóm số H = h5, 8, 9, 6i

Ta có PF(H) = {3, 4, 7} ⇒ t(H) = 3 và Ap(H, 5) = {0, 6, 8, 9, 12}, tathấy d = 6, w = 12 = 2d

Định lý 2.1.3 Cho H = h5, b, c, di là một nửa nhóm số bội 5, {5, b, c, d}

là một hệ sinh tối tiểu của H Khi đó có thể sắp xếp lại {b, c, d} ta có:(1) H là giả đối xứng khi và chỉ khi 5 + b + c = 2d;

(2) H là hầu đối xứng và t(H) = 3 khi và chỉ khi b + c = 2d + 5;

(3) H là đối xứng khi và chỉ khi b + c = 2d