Tính chất thu hẹp iđeean đối với các nửa nhóm iđeean

Aucoin cùng các cộng sự đã khảo sát các vấn đề này trong bài báo Semigroups with the ideal retraction property đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 66 năm 2003 xem [4] Ta nói rằng nửa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN ĐÌNH LỘC

TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHÓM IĐÊAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN – 2011

MỤC LỤC

Trang

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Tương đẳng Nửa nhóm thương và đồng cấu 4

1.2 Băng và nửa dàn Băng các nửa nhóm 10 Chương 2 TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI

2.1 Tính chất thu hẹp iđêan đối với các nửa nhóm có

2.2 Cấu trúc của nửa nhóm iđêan giao hoán 22

2.3 Nửa nhóm iđêan với tính chất thu hẹp iđêan 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

LỜI MỞ ĐẦU

Tính chất mở rộng iđêan đối với các nửa nhóm đã được đề xuất nghiên cứu những năm cuối thế kỷ hai mươi bởi J.I Giacia (1991), K.D Aucoin (1999) và đầu thế kỷ hai mươi mốt bởi X Guo (2001)

Một vấn đề tự nhiên nẩy sinh là xét tính chất thu hẹp iđêan của các nửa nhóm Tuy nhiên vấn đề này được quan tâm muộn hơn Năm 2003, K.D Aucoin cùng các cộng sự đã khảo sát các vấn đề này trong bài báo

Semigroups with the ideal retraction property đăng trên tạp chí Semigroup

Forum số 66 năm 2003 (xem [4])

Ta nói rằng nửa nhóm S được gọi là có tính chất thu hẹp iđêan nếu S không đơn (nghĩa là S có ít nhất một iđêan thực sự) và nếu I là một iđêan của S đều tồn tại một thu hẹp đồng cấu φ: S → I (nghĩa là φ là một đồng cấu và φ thu hẹp trên I là ánh xạ đồng nhất: φ(ab) = φ(a)φ(b), a, b  S và φ(x) = x, x  I)

Luận văn này dựa vào bài báo nêu trên để thu hẹp nghiên cứu lớp nửa nhóm iđêan với tính chất thu hẹp iđêan, đó là lớp nửa nhóm mà mỗi tương

đẳng trên nó là tương đẳng Rees

Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, luận văn gồm hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Tương đẳng Nửa nhóm thương và đồng cấu

1.2 Băng và nửa dàn Băng các nửa nhóm

Chương 2 Tính chất thu hẹp iđêan đối với các nửa nhóm iđêan

2.1 Tính chất thu hẹp iđêan đối với các nửa nhóm có phần tử zero

2.2 Cấu trúc của nửa nhóm iđêan giao hoán

2.3 Nửa nhóm iđêan với tính chất thu hẹp iđêan

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng tri ân chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Lê Quốc Hán, người đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành được luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo trong Khoa Toán – Trường Đại học Vinh, Khoa Sau Đại học – Trường Đại học Vinh và Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều kiện để chúng tôi hoàn thành chương trình học tập cũng như bản luận văn này Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Nguyễn Thành Quang đã đọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho bản luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 TƯƠNG ĐẲNG NỬA NHểM THƯƠNG VÀ ĐỒNG CẤU

1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp không rỗng Khi đó một tập

con  của tích Descartes đ-ợc gọi là một quan hệ trên X

Chúng ta sẽ viết (x,y)   hay xy để chỉ rằng cặp có thứ tự (x,y) nằm

trong quan hệ 

Giả sử ℬ(X) là tập hợp tất cả các quan hệ trên X Tập hợp ℬ(X) tạo thành

một vị nhóm d-ới toán tử là phép hợp thành

 = (x, y)  X.X  z  X : (x, z) , (z, y) 

Phần tử đơn vị của ℬ(X) là quan hệ đồng nhất i = i X = (x, x)  x  X

Phần tử không của ℬ(X) là quan hệ phổ dụng  = X = X.X = (x, y)  x,y  X Giả sử  ℬ(X) và Y  X Chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau đây:

1.1.2 Định nghĩa Một quan hệ   ℬ(X) đ-ợc gọi là một quan hệ t-ơng

đ-ơng nếu nó phản xạ (i X), đối xứng (-1

= ) và bắc cầu (  = )

Các tập hợp x đ-ợc gọi là các lớp t-ơng đ-ơng, chúng tạo thành một sự phân hoạch của tập X: X =



x X và x  y   x = y

1.1.3 Định nghĩa Giả sử  là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên nửa nhóm

S Khi đó  đ-ợc gọi là một t-ơng đẳng phải (trái) nếu  ổn định bên phải

(trái), nghĩa là với mọi x, y, z  S, xy  xzyz (hay t-ơng ứng zxzy)

 đ-ợc gọi là một t-ơng đẳng nếu nó vừa là t-ơng đẳng trái vừa là

đẳng nếu và chỉ nếu với mọi x1, x2, y1, y2 có: x1y1, x2y2  x1x2y1y2

Chứng minh.Giả sử  là một t-ơng đẳng Nếu x1y1 và x2y2 thì theo

định nghĩa, x1x2x1y2 và x1y2y1y2, do tính bắc cầu của  suy ra x1x2y1y2 Khẳng định ng-ợc lại là hiển nhiên 

1.1.5 Định nghĩa Giả sử X là một tập con của nửa nhóm S Xác định

một quan hệ X nh- sau: (x, y) X  (u, v  S1: uxv  X  uyv  X)

Khi đó X là một t-ơng đẳng trên S và đ-ợc gọi là t-ơng đẳng cú pháp của X trong S

Chúng ta nói rằng một t-ơng đẳng  bóo hũa một tập con X của nửa nhóm S nếu X là hợp của các lớp t-ơng đẳng của 

1.1.6 Bổ đề Một t-ơng đẳng  bóo hũa X  S nếu và chỉ nếu

X =



x X x (1.1)

Chứng minh Vì x  x nên X luôn luôn đ-ợc chứa trong hợp của (1.1)

Hơn nữa, nếu  bão hòa X, thì X bằng hợp trong (1.1) Khẳng định ng-ợc lại là

Rõ ràng, X đ-ợc chứa trong hợp của tất cả xX (x  X) Hơn nữa, nếu

y  xX thì bằng cách chọn u = v = ∧ trong định nghĩa của X, chúng ta

nhận đ-ợc x  X kéo theo y  X Từ đó xX  X với mọi x  X và do đó

X =



x XX. Suy ra X bão hòa X

Giả sử  là một t-ơng đẳng bão hòa X Theo Bổ đề 1.1.6, có X =



x X x

Giả thiết rằng xy và u, v  S1 là các phần tử tùy ý Thế thì uxuy và uxvuyv Từ

đó uxv  X nếu uyv  X, vì  bão hòa X Nh- vậy (x, y)  X và do đó

 X. Vậy X là t-ơng đẳng lớn nhất trên S bão hòa X 

1.1.8 Định nghĩa Giả sử  là một t-ơng đẳng trên S, và giả sử

S∕ = x x  S

là tập hợp tất cả các lớp t-ơng đẳng của S Khi đó t-ơng ứng (x, y)  xy

là một phép toán hai ngôi trên S∕ (theo Bổ đề 1.1.4), và với phép toán đó,

S∕ trở thành một nửa nhóm đ-ợc gọi là nửa nhóm th-ơng (của

S modulo)

Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.8 hợp lý, ta chỉ cần chứng tỏ phép toán hai

ngôi xác định trong S∕ nh- trên có tính chất kết hợp Thật vậy, với mọi x,

y, z  S, ta có

x.(y.z) = x.(yz) = (x(yz) = ((xy)z) = (xy).z = (x.y).z

1.1.9 Ví dụ (1) Xét nửa nhóm S = e, a, f, b với bảng nhân sau (xem

hỡnh 1a) Khi đó e và f là các lũy đẳng, e là đơn vị của S

Giả sử  là một quan hệ trên S khác quan hệ đồng nhất Thế thì chỉ có

Nếu  là một t-ơng đẳng của S, thì nm kéo theo (n + k)(m + k),

k  ℤ Giả thiết rằng k là nguyên không âm nhỏ nhất sao cho n(n + k) với n nào đó thuộc ℤ Nói riêng, 0k Ký hiệu m là số d- còn lại của m

đ-ợc chia bởi k: 0  m  m và m = m (modk) Khi đó m m Điều ng-ợc lại cũng đúng, và nh- vậy các t-ơng đẳng của (Z, +) thực chất là các t-ơng

đẳng đã xét trong Lý thuyết số,  bằng modk (k > 0)

Bây giờ, ta chứng minh rằng các t-ơng đẳng của một nửa nhóm S

đóng d-ới phép lấy giao

là t-ơng đẳng bé nhất của S chứa 

Chứng minh i) Giả sử xy và z  S Khi đó xi y, với mọi i  I và do đó

zxi zy, xzi yz, với mọi i  I, vì i là t-ơng đẳng, với mọi i  I Từ đó zxzy

và xzyz Do đó  là một t-ơng đẳng trên S

ii) Khẳng định thứ hai đ-ợc suy ra trực tiếp từ khẳng định thứ nhất và

định nghĩa giao của các tập hợp 

1.1.11 Định nghĩa Giả sử  là một t-ơng đẳng trên S Khi đó ánh xạ : S  S/, (x) = x là một toàn cấu và đ-ợc gọi là đồng cấu tự nhiên

Vì là một toàn ánh, nên để chứng tỏ Định nghĩa 3.11 hợp lý, ta chỉ cần chứng minh là đồng cấu

Thật vậy, x, y  S có (xy) = xy = x.y = (x) (y)

 

 

1.1.12 Định nghĩa Giả sử  : S  P là một đồng cấu nửa nhóm Khi

đ-ợc hình dung nh- là tích các quan hệ (thực hiện từ trái qua phải)

Sự kiện: ker() là một t-ơng đẳng đ-ợc suy ra trực tiếp từ định nghĩa

đồng cấu nửa nhóm và cách xác định ker() Hơn nữa, nếu  là một t-ơng

đẳng trên S, thì  = ker( ) Thật vậy, xy  x = y  (x) = (y)

 (x, y)  ker( )

Gộp các kết quả trên, ta nhận đ-ợc

1.1.13 Hệ quả Mỗi t-ơng đẳng là một hạt nhân của đồng cấu nào đó

Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh các Định lý về đồng cấu và

Hơn nữa,  là đồng cấu, vì

(x.y) = (xy) = (xy) = (x).(y) = (x).(y)

Cuối cùng,  là duy nhất vì nếu  : S/ P là một phép nhúng thỏa mãn

 =   thì (x) = (x), x  S nên (x) = (x), x  S/ Do đó

 =  

1.1.15 Định lý (Định lý đồng cấu nửa nhóm) Giả sử  : S  P là

đồng cấu nửa nhóm và   ker() là một t-ơng đẳng của S Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất : S/ P sao cho  =  , trong đó : S  S/

là đồng cấu tự nhiên

Chứng minh Chứng minh hoàn toàn t-ơng tự nh- chứng minh Định lý

1.1.14 ở đây chúng ta chú ý rằng ánh xạ  cho bởi (x) = (x) là hoàn toàn xác định, vì x = y xy  (x, y)  (x, y)  ker() (x) = (y),

do  ker() 

Định lý đồng cấu cũng nh- Định lý đẳng cấu tiếp theo là những kết quả

đại số phổ dụng tiêu biểu, nghĩa là chúng đ-ợc thỏa mãn trong tất cả các cấu trúc đại số (nhóm, vành, đại số Bool…)

1.1.16 Định lý (Định lý đẳng cấu) Giả sử : S  P là một đồng cấu Thế thì

(S) ≃ S/ker()

Chứng minh Vì  : S  P là một đồng cấu nên  : S (S) là một toàn

cấu Theo Định lý 1.1.14, chúng ta nhận đ-ợc một phép nhúng duy nhất

 : S/ker() (S) Hơn nữa,  là toàn ánh vì  là toàn ánh từ S vào (S) và

 =  với  = Do đó  là một đẳng cấu, từ đó S/ker() ≃ (S) 

 

 

 

ker()

1.2 BĂNG VÀ NỬA DÀN BĂNG CÁC NỬA NHÓM

Trước hết ta nhắc lại một quan hệ thứ tự  trên một tập X được gọi là

một thứ tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Ta sẽ dùng

ký hiệu a b để chỉ  a b và  a b

1.2.1 Bổ đề Giả sử E là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm S

Khi đó quan hệ  xác định trên E bởi:e  f (e, f  E) nếu ef  fe e là một 

thứ tự bộ phận trên E

Chứng minh Vì e E nên  e2 e , do đó e e nên  phản xạ Hơn nữa, nếu e f ,  f e thì  ef  fe e và  fe ef  f nên e f , do đó   phản đối xứng Ta lại có: nếu e f và  f g thì  ef  fe e và  gf  fg f nên 

i) Phần tử b X được gọi là cận trên của Y nếu  y b với mọi  y Y 

ii) Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y,

nếu b c với mọi cận trên c của Y (nếu Y có một hợp trong X, thì rõ ràng 

hợp đó là duy nhất)

iii) Phần tử a X được gọi là cận dưới của Y nếu  a y với mọi y Y 

iv) Cận dưới a của Y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y nếu



d a với mọi cận dưới d của Y (nếu Y có một giao trong X, thì rõ ràng giao

đó cũng duy nhất)

v) Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên ( hay dưới), nếu

mỗi tập con gồm hai phần tử { , }a b của X có hợp (hay giao) trong X; trong

trường hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X Hợp (giao) của { , }a b sẽ được ký hiệu là a b ( hay  a b ) 

vi) Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dưới

vii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con X có một hợp và

một giao

1.2.4 Ví dụ 1) Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm

S bổ sung thêm tập rỗng Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lý thuyết tập hợp Vì giao của một tùy ý các nhóm con của S hoặc là rỗng , hoặc là một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ, Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y, trong lúc đó hợp của Y là nửa nhóm cảm sinh bởi hợp theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ “nửa nhóm con hay tập hợp của S” bởi

từ “tương đẳng trên S”

2) Tập tất cả các iđêan trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ sung thêm tập rỗng, đóng đối với phép hợp cũng như giao, nên là một dàn con

đầy đủ của đại số Boole tất cả các tập con của S

1.2.5 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử của S đều là lũy đẳng

Giả sử S là một băng Khi đó S = E và S được sắp thứ tự bộ phận tự

nhiên (a b a b S nếu và chỉ nếu  ( ,  ) ab ba a )  

1.2.6 Mệnh đề Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự

bộ phận tự nhiên trên S Giao a b của hai phần tử a và b của S trùng với 

tích ab của chúng Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối

với phép giao

Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.1, quan hệ  là một thứ tự bộ phận trên

S (= E) Ta chứng tỏ rằng nếu tích ab (= ba) của hai phần tử a b S trùng , 

với cận dưới lớn nhất của { , }a b

Từ ( )ab a a ba ( )a ab( )aab a b ab 2  và a ab( ) ( ) aa b a b ab 2  suy

ra ab a Tương tự  ab b nên ab là cận dưới của { , } a b Giả sử c a và



c b Thế thì ( ) ab c a bc ( )ac c ,và tương tự, ( ) c ab c , từ đó c ab 

Do đó ab là cận dưới lớn nhất của { , }a b Do đó S là nửa dàn dưới

Mệnh đề đảo là hiển nhiên

1.2.7 Chú ý Giả sử S là một băng giao hoán Khi đó nếu đặt a b khi 

và chỉ khi ab ba( )b thì ( , ) S  là nửa dàn trên Tuy nhiên để cho thống nhất, trong luận văn này ta giữ Định nghĩa nêu trong 1.2.5 Từ đây về sau,

ta sẽ dùng nửa dàn như đồng nghĩa với từ băng giao hoán Hơn nữa, từ nửa dàn sẽ được ngầm hiểu là nửa dàn dưới, nếu không nói gì thêm

1.2.8 Ví dụ Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý S X Y là tích  

Decartes của X và Y Ta đinh nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt

Nếu X 1,Y 1thì băng chữ nhật trên X Y đẳng cấu với nửa nhóm các phần tử không bên phải

1.2.9 Định nghĩa Nếu nửa nhóm S được phân hoạch thành hợp của các

nửa nhóm con rời nhau S,I (I là tập hợp các chỉ số nào đó) thì ta nói

rằng S phân tích được thành các nửa nhóm con S,I

Chú ý rằng sự phân tích trên đây chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con

S thuộc vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S

Giả sử S { ,S I} là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho với mọi cặp  , I, tồn tại I để cho S S  S Ta định nghĩa một phép toán đại số trong I bằng cách đặt     nếu S S  S, khi đó I trở

thành một băng đối với phép toán đó Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm S

Ánh xạ :SI xác định bởi ( )a  nếu a S là một toàn cấu và 

các nửa nhóm con S là các lớp của tương đẳng hạt nhân Ker Đảo lại, nếu  là một toàn cấu từ một nửa nhóm S lên băng I thì ảnh ngược

Chương 2 TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHÓM IĐÊAN

2.1 TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHÓM CÓ PHẦN

TỬ ZERO

2.2.1 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm có tính chất thu

hẹp iđêan (ideal retraetion property - IRP) nếu S không phải là nửa nhóm

đơn (nghĩa là S có ít nhất một iđêan thực sự) và với mỗi iđêan I của S đều

tồn tại một đồng cấu thu hẹp φ: S→ I (nghĩa là φ là đồng cấu nửa nhóm và

φ thu hẹp trên I là tự đẳng cấu đồng nhất của I)

2.1.2 Ký hiệu Giả sử S là một nửa nhóm

i) Phần tử e  S được gọi là lũy đẳng nếu e 2 = e Tập hợp tất cả các phần tử lũy đẳng của S được ký hiệu bởi E(S), E s hay E – nếu không sợ

nhầm lẫn

ii) Phần tử 0  S được gọi là phần tử zero (phần tử không) nếu thỏa mãn các điều kiện 0.x = 0 = x.0 với mọi x  S

Nửa nhóm S có thể có hoặc không có phần tử zero Nếu S chứa phần tử zero

thì phần tử ấy phải duy nhất, khi đó S được gọi là nửa nhóm với phần tử zero

2.1.3 Chú ý a) Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó ta có thể nhúng S

vào nửa nhóm S0

với phần tử zero bằng cách đặt

Trong trường hợp thứ hai, 0 là một ký hiệu không thuộc S thỏa mãn 0.x = 0 = x.0 với mọi x S và phép nhân trên S chính là phép nhân trên S 0 thu hẹp trên S Khi đó 0 là phần tử zero của S 0

b) Phần tử đơn vị và phần tử zero (nếu có) là các lũy đẳng của S

2.1.4 Mệnh đề Giả sử S là một nửa nhóm thỏa mãn hai điều kiện:

i) E = E(S) là một tập con thực sự của S

S nếu S có phần tử zero

S  {0} nếu S không có phần tử zero

S 0 =

ii) Tồn tại phần tử e  E sao cho với mọi a, b  S có

Khi đó S là nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan

Chứng minh Từ giả thiết suy ra E ≠ , E ≠ S và E là một iđêan của S Vậy S không phải là nửa nhóm đơn

Giả sử I là một iđêan của S Ta xác định ánh xạ φ: S → I bởi

Thế thì φ thu hẹp trên I là một tự đẳng cấu đồng nhất của I Ta chứng minh

φ là đồng cấu nửa nhóm Xét các trường hợp sau:

i) a  I, b  I Khi đó ab  I vì I là iđêan của S và φ(a) = a, φ(b) = b, φ(ab) = ab Do đó φ(ab) = φ(a)φ(b)

ii) a  I, b S \ I Khi đó ab  I vì I là iđêan của S và φ(a) = a, φ(b)= e, φ(ab)= ab

+) Nếu a  E thì φ(a)φ(b) = ae = a = ab = φ(ab)

+) Nếu a  S \ E thì φ(a)φ(b) = ae = e và φ(ab) = φ(e) = e Do đó φ(ab)= φ(a)φ(b) ≠ e

iii) a  S \ I, b  I và (iv) a  S \ I, b  S \ I được lập luận tương tự

2.1.5 Ví dụ Giả sử S = {e, a, b, c} là nửa nhóm cấp 4 với bảng nhân

Thế thì các iđêan của S là S, E = {e, c}, I = {e, b, c} và J ={e, a, c} Vậy S không phải là nửa nhóm đơn

Thử trực tiếp thấy e  E thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 2.2.4 Do

đó S có tính chất thu hẹp iđêan

Đặc trưng sau đây cho một dấu hiệu khác để nhận biết một nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan

2.1.6 Mệnh đề Giả sử S là nửa nhóm với phần tử zero 0 và S ≠ {0}

thỏa mãn các điều kiện sau:

Thế thì S có tính chất thu hẹp iđêan

Chứng minh Vì {0} là một iđêan của S và {0} ≠ S nên S không phải là

nửa nhóm đơn

Giả sử I là một iđêan của S Xác định ánh xạ φ: S →I cho bởi

Khi đó φ thu hẹp trên I là một ánh xạ đồng nhất Thử trực tiếp φ là đồng cấu nửa nhóm nên S là nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan

2.1.7 Ví dụ Giả sử S = {0, a, b, c} là nửa nhóm cấp 4 với bảng nhân

Thế thì phần tử zero 0  E và các điều kiện của Mệnh đề 2.1.6 được thỏa mãn Do đó S có tính chất thu hẹp iđêan

2.1.8 Ví dụ Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng: lớp các nửa nhóm có tính

chất thu hẹp iđêan không khép kín với việc lấy nửa nhóm con

Giả sử S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} là nửa nhóm con cấp 6 với bảng nhân

Khi đó S là nửa nhóm với tính chất iđêan

Giả sử T = {1, 5, 6} Khi đó T là một nửa nhóm con của S và I = {1, 6}

là một iđêan của T Vì không tồn tại một đẳng cấu thu hẹp nào từ T lên I nên T không có tính chất thu hẹp iđêan

2.1.9 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử zero Nếu I và

J là hai iđêan của S thỏa mãn hai điều kiện I  J =  và I  J = S thì ta nói rằng các iđêan của I và J là các iđêan đối ngẫu (dual ideal) của S và S là tổng trực tiếp (direct sum) của I và J Ký hiệu S = I  J

2.1.10 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử zero sao cho mỗi

iđêan của S có một iđêan đối ngẫu Thế thì S có tính chất thu hẹp iđêan Chứng minh Giả sử I và J các iđêan của S sao cho S = I  J Xác định ánh xạ φ: S → I cho bởi: