Nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại

Hai lớp nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại được quan tâm nhiều nhất lànửa nhóm có tính chất Arf và nửa nhóm số bão hòa.. Một số đặc trưng của nửa nhóm số với chiều nhúng tốiđại Trong ch

LƯƠNG ĐÌNH TRUNG

NỬA NHÓM SỐ VỚI CHIỀU NHÚNG TỐI ĐẠI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2017

LƯƠNG ĐÌNH TRUNG

NỬA NHÓM SỐ VỚI CHIỀU NHÚNG TỐI ĐẠI

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS.TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An - 2017

2 Nửa nhóm số Arf và nửa nhóm số bão hòa 182.1 Nửa nhóm số Arf 182.2 Nửa nhóm số bão hòa 25

Tài liệu tham khảo 34

MỞ ĐẦU

Cho S là một tập con chứa 0 của tập hợp các số tự nhiên N Giả sử S

đóng kín đối với phép cộng và N \ S là tập hợp hữu hạn thì S được gọi làmột nửa nhóm số

Nếu n1, , ne là các số nguyên dương sao cho gcd(n1, , ne) = 1 thì tậphợp

< n1, , ne >= {n1λ1 + + neλe | λ1, , λe ∈ N}

là một nửa nhóm số Ngược lại mọi nửa nhóm số đều có dạng này

Mỗi nửa nhóm số đều có duy nhất một hệ sinh tối tiểu Hệ sinh tối tiểunày luôn hữu hạn

Giả sử S là một nửa nhóm số và {n1, n2, , ne}, (vớin1 < n2 < < ne)

là một hệ sinh tối tiểu của S Khi đó số n1 được gọi là bội của S và kí hiệu là

m(S) Số nguyên e là lực lượng của hệ sinh tối tiểu của S được gọi là chiềunhúng của S và được ký hiệu là e(S) Ta luôn có bất đẳng thức

e(S) ≤ m(S)

Trong trường hợp dấu đẳng thức xẩy ra tức là e(S) = m(S) thì nửa nhóm số

S được gọi là có chiều nhúng tối đại

Mặc dù khái niệm nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại được ra đời mộtcách tự nhiên trong Lý thuyết nửa nhóm số Tuy nhiên, chúng trở nên đượcđặc biệt chú ý nhờ những ứng dụng của nó trong Đại số giao hoán Chúng lànguồn cho những ví dụ về vành giao hoán với những tính chất tối đại

Hai lớp nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại được quan tâm nhiều nhất lànửa nhóm có tính chất Arf và nửa nhóm số bão hòa Hai lớp nửa nhóm này

liên quan đến vấn đề về giải kỳ dị của một đường cong Chúng có nhiều ứngdụng trong Đại số giao hoán, Hình học đại số và Đại số mã sửa sai.

Tổng hợp từ nhiều bài báo viết về nửa nhóm số trước đó, trong [3], J.C.Rosales, P.A García-Sán chez đã viết về nửa nhóm số một cách khá hoànchỉnh Nội dung của luận văn là trình bày một số tính chất của nửa nhóm sốvới chiều nhúng tối đại dựa theo [3] Nội dung này nằm ở Chương 2 của [3].Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dungcủa luận văn được viết thành hai chương

Chương 1 Một số đặc trưng của nửa nhóm số với chiều nhúng tốiđại

Trong chương này chúng tôi trình bày một số tính chất và đặc trưng củanửa nhóm số với số chiều nhúng tối đại Cách xây dựng nửa nhóm số vớichiều nhúng tối đại từ một nửa nhóm số cho trước

1.1 Nửa nhóm số và chiều nhúng của nửa nhóm số

1.2 Một số đặc trưng của nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại

Chương 2 Nửa nhóm số Arf và nửa nhóm số bão hòa

Trong chương này chúng tôi trình bày về hai lớp nửa nhóm số với chiềunhúng tối đại được quan tâm nhiều nhất là nửa nhóm số Arf và nửa nhóm

số bão hòa

2.1 Nửa nhóm số Arf

2.2 Nửa nhóm số bão hòa

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sài Gòn dưới sự hướng dẫncủa PGS.TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn sâusắc đến Cô, người đã tận tình hướng dẫn, dạy dỗ, động viên và tạo điều kiệnthuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộmôn Đại số, các thầy cô giáo Khoa Sư phạm Toán của trường Đại học Vinh

đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 23 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết

số tại trường Đại học Sài Gòn Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sưphạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu - Trường Đạihọc Vinh và Trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong suốt quá trình học tập tại Trường

Trân trọng!

Sài Gòn, tháng 08 năm 2017

Tác giả

Cho S là một tập con chứa 0 của tập hợp các số tự nhiên N Giả sử S

đóng kín đối với phép cộng và N \ S là tập hợp hữu hạn thì S được gọi làmột nửa nhóm số

Nếu n1, , ne là các số nguyên dương sao cho gcd(n1, , ne) = 1 thì tậphợp

< n1, , ne >= {n1λ1 + + neλe | λ1, , λe ∈ N}

là một nửa nhóm số Ngược lại mọi nửa nhóm số đều có dạng này

1.1.2 Số bội và chiều nhúng của nửa nhóm số

Một hệ sinh của một nửa nhóm số S được gọi là hệ sinh tối tiểu nếu mọitập con thực sự của nó đều không thể sinh ra S Mỗi nửa nhóm số đều códuy nhất một hệ sinh tối tiểu Hệ sinh tối tiểu này gồm hữu hạn phần tử.Giả sử {n1, n2, , ne}, (với n1 < n2 < < ne) là một hệ sinh tối thiểucủa nửa nhóm số S Khi đó số n1 được gọi là bội của S và kí hiệu là m(S)

Số nguyên elà lực lượng của hệ sinh tối tiểu của S được gọi là chiều nhúngcủa S và được ký hiệu là e(S)

Ta luôn có bất đẳng thức e(S) ≤ m(S) Trong trường hợp dấu đẳng thứcxẩy ra tức là e(S) = m(S) thì nửa nhóm số S được gọi là có chiều nhúng tối

Nếu x là phần tử sinh nhỏ nhất của của nửa nhóm số S và n ∈ S\{0, x}

thì x − n /∈ S Điều này kéo theo x ∈ Ap(S, n) Bổ đề sau cho thấy Ap(S, n)

là một hệ thặng dư đầy đủ mod nmà các phần tử trong đó là bé nhất thuộc

iii) Dựa vào Bổ đề 1.1.4 ta thấy Ap(S, 5) là tập hợp gồm 5 phần tử thuộc

S và nó là một hệ thặng dư đầy đủ mod 5 Do đó

Trong các bài giảng của mình, nhà toán học Frobenius đã đề cập đến vấn

đề đưa ra một công thức xác định số nguyên lớn nhất mà không biểu thịtuyến tính được qua một tập hợp các số nguyên dương có ước chung lớn nhất

là 1 với các hệ số nguyên không âm Ông cũng đặt ra câu hỏi về việc xác định

có bao nhiêu số nguyên dương không biểu thị tuyến tính được như thế Sửdụng thuật ngữ về nửa nhóm số, vấn đề thứ nhất tương đương với việc đưa

ra một công thức xác định số nguyên lớn nhất không thuộc nửa nhóm số S

thông qua các phần tử trong hệ sinh tối tiểu của S Phần tử này được gọi

là số Frobenius của S Số Frobenius của S được kí hiệu là F (S) và được xácđịnh như sau:

F (S) = max(Z\ S)

Ta biết rằng với mỗi nửa nhóm số S thì tập hợp G(S) = N \ S là hữuhạn và nó được gọi là độ hở của S Để giải quyết vấn đề thứ hai, về việcxác định có bao nhiêu số nguyên dương không biểu thị tuyến tính được quamột tập hợp các số nguyên dương có ước chung lớn nhất là 1 với các hệ số

nguyên không âm, người ta đưa ra khái niệm giống của S, kí hiệu là g(S), làlực lượng của tập hợp G(S), đôi khi nó còn được gọi là bậc kỳ dị của S.

1.1.7 Số giả Frobenius và kiểu

nhúng tối đại

Nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại được đặc trưng qua tập Apéry nhưsau

1.2.1 Mệnh đề ChoS là một nửa nhóm số có hệ sinh tối tiểu là {n1, n2, , ne}

(với n1 < n2 < < ne) Khi đó S có chiều nhúng tối đại khi và chỉ khi

1.2.2 Hệ quả ChoS là một nửa nhóm số với hệ sinh tối tiểu {n1, n2, , ne},trong đó n1 < n2 < < ne.

(1) Nếu S có chiều nhúng tối đại thì F(S) = ne− n1

(2) S có chiều nhúng tối đại khi và chỉ khi

g(S) = 1

n1(n2 + + ne) −

n1 − 1

2 .

(3) S có chiều nhúng tối đại khi và chỉ khi t(S) = n1 − 1

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng chiều ngược lại của phát biểu (1) trong hệ quảtrên là không đúng

1.2.3 Ví dụ Nửa nhóm số S =< 4, 5, 11 > có số Frobenius là

F(S) = 11 − 4 = ne − n1

nhưng nó không có chiều nhúng tối đại

1.2.4 Chú ý ChoS là một nửa nhóm số với hệ sinh tối tiểu là{n1, n2, , ne},trong đó n1 < n2 < < ne

1) Theo [3, Hệ quả 2.23], ta luôn có bất đẳng thức liên qua giữa kiểu vàbội của S như sau

t(S) ≤ m(S) − 1

Hệ quả 1.2.2 cho thấy S có chiều nhúng tối đại khi và chỉ khi xảy ra dấuđẳng thức trong bất đẳng thức trên Như vậy, nửa nhóm số với chiều nhúngtối đại là những nửa nhóm số có kiểu tối đại khi tính theo bội

Cho a là một số nguyên và n là một số nguyên khác 0 Ta ký hiệu a mod

n là phần dư của phép chia a cho n

1.2.5 Mệnh đề Cho n ∈ N∗ và

C = {w(0) = 0, w(1), , w(n − 1)} ⊆ N

sao cho w(i) đồng dư với i theo modulo n với mọi i ∈ {1, 2, , n − 1} Giả

sử S là nửa nhóm số sinh bởi {n} ∪ C Khi đó các điều kiện sau đây là tươngđương:

(1) Ap(S, n) = C;

(2) w(i) + w(j) ≥ w((i + j) mod n), với mọi i, j ∈ {1, 2, , n − 1}.Chứng minh Chú ý rằngw(i) + w(j)và w((i + j) mod n)là đồng dư khi chiacho n với mọi i, j ∈ {1, 2, , n − 1} Vì vậy điều kiện (2) là tương đương vớiđiều kiện sau đây:

(2’) Với mọii, j ∈ {1, 2, , n − 1} thì tồn tạit ∈ N sao cho w(i) + w(j) =

tn + w((i + j) mod n)

(1) ⇒ (2) :NếuAp(S, n) = C, theo [3, Bổ đề 2.6], ta có viết w(i)+w(j) =

kn + c, với k ∈ N và c ∈ C Rõ ràng, w(i) + w(j) ≡ c mod n Do đó

c = w((i + j) mod n)

(2) ⇒ (1) : Giả sử (2) được thỏa mãn Ta sẽ chứng minh rằng Ap(S, n) ⊆

C Thật vậy, nếu s ∈ Ap(S, n) ⊂ S thì ∃c1, c2, , ct ∈ C sao cho s =

t

P

i=1

ci.Bằng cách lặp đi lặp lại nhiều lần Điều kiện (2’), ta cós = kn+c, vớic ∈ C và

k ∈ N Điều đó đồng nghĩa với s ∈ Ap(S, n), do đó k = 0 suy ra s = c ∈ C.Theo [3, Bổ đề 2.4] thì số phần tử của Ap(S, n) là n, số phần tử của C

cũng là n mà Ap(S, n) ⊆ C, vì vậy Ap(S, n) = C

Theo Mệnh đề 1.2.1, tập Apéry của số bội trong nửa nhóm số với số chiềunhúng tối đại có dạng đặc biệt Từ Mệnh đề 1.2.1 và Mệnh đề 1.2.5 ta có hệquả sau

1.2.6 Hệ quả Cho S là một nửa nhóm số với số bội m và giả sử

Ap(S, m) = {w(0) = 0, w(1), , w(m − 1)}

với w(i) ≡ i mod m với mọi i ∈ {1, 2, , m − 1} Khi đó S là nửa nhóm sốvới số chiều nhúng tối đại khi và chỉ khi với mọi i, j ∈ {1, 2, , m − 1} thì

w(i) + w(j) > w((i + j) mod m)

Chứng minh Điều kiện cần được suy ra từ Mệnh đề 1.2.1 và Mệnh đề 1.2.5.Theo [3, Bổ đề 2.6], ta có

S =< m, w(1), , w(m − 1) >

Từ điều kiện w(i) + w(j) ≥ w((i + j) mod m), ta suy ra

{m, w(1), , w(m − 1)}

là hệ sinh tối tiểu của S Do đó S có chiều nhúng tối đại

Mệnh đề 1.2.5 và Hệ quả 1.2.6 có thể được sử dụng để xây dựng nửa nhóm

số với số chiều nhúng tối đại từ một nửa nhóm số tùy ý

1.2.7 Hệ quả Cho S là một nửa nhóm số và n là một số nguyên dươngtrong S Khi đó

< n, w(1) + n, , w(n − 1) + n >

là một nửa nhóm số với số chiều nhúng tối đại, trong đó w(i) ∈ Ap(S, n) và

w(i) đồng dư với i theo modulo n với mọi i ∈ {1, , n − 1}

1.2.8 Ví dụ Cho a, b là hai số nguyên dương lớn hơn 1 và gcd{a, b} = 1

Khi đó Ap(< a, b >, a) = {0, b, , (a − 1)b} Theo Hệ quả 1.2.7 thì nửanhóm số

< a, a + b, a + 2b, , a + (a − 1)b >

có chiều nhúng tối đại

Hệ quả sau đây, phát biểu cho vấn đề ngược lại Chứng minh của kết quảnày cũng suy từ Mệnh đề 1.2.5 và Hệ quả 1.2.6.

1.2.9 Hệ quả Cho S là một nửa nhóm số với số chiều nhúng tối đại và sốbội là m Với mỗi i ∈ {1, , m − 1}, ký hiệu w(i) là phần tử duy nhất trong

Ap(S, m) đồng dư với i theo module m Đặt

T =< m, w(1) − m, , w(m − 1) − m >

Khi đó T là nửa nhóm số với Ap(T, m) = {0, w(1) − m, , w(m − 1) − m}

Từ Hệ quả 1.2.7, Hệ quả 1.2.9 và [3, Định lý 2.12], ta có kết quả sau.1.2.10 Hệ quả Có sự tương ứng một-một giữa tập các nửa nhóm số với sốbội m và số Frobenius f và tập các nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại và

số Frobenius f + m, số bội m và những phần tử sinh còn lại của hệ sinh tốitiểu lớn hơn 2m

1.2.11 Chú ý Nếu ta muốn xây dựng tập tất cả các nửa nhóm số, theo kếtquả trên, ta chỉ cần xây dựng những nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại,nói cách khác, nửa nhóm số với số chiều nhúng tối đại có thể được sử dụng

để dại diện cho toàn bộ lớp nửa nhóm

Với mỗi số nguyên z và mỗi tập con A ⊆ Z, ta ký hiệu

Chứng minh (1) ⇒ (2): Nếu x − m(S) ∈ S hoặc y − m(S) ∈ S thì (2) hiểnnhiên đúng Vì vậy ta giả sử cả x và y đều thuộc Ap(S, m(S)) Khi đó từ Hệquả 1.2.6 ta suy ra điều phải chứng minh.

(2) ⇒ (3): Hiển nhiên

(3) ⇒ (1): Với mỗi 1 ≤ i ≤ m − 1, ký hiệu w(i) là phần tử duy nhất trong

Ap(S, m(S))đồng dư với i theo modulo m Chúng ta lại tiếp tục sử dụng Hệquả 1.2.6 Nếuw(i)+w(j) = w((i+j)mod m(S)) vớii, j ∈ {1, , m(S)−1}

nào đó thì

w(i)−m(S)+w(i)−m(S) = w((i+j) mod m(S))−2m(S) /∈ {x−m(S)|x ∈ S∗}

Điều này mâu thuẫn vì tập hợp này là một nửa nhóm số

Nếu trong mệnh đề trên, ta ký hiệu T = −m(S) + S∗ thì

Điều ngược lại là hiển nhiên.

Cho S là một nửa nhóm số Một iđêan quan hệ (relative ideal) của S làmột tập con I của Z sao cho I + S ⊆ I và s + I = {s + i | i ∈ I} ⊂ S với

s ∈ S nào đó Nếu I ⊆ S thì I được gọi là iđêan của S

Chú ý rằng, nếu s là một số nguyên không âm của S thì s + S là mộtiđêan của S Iđêan này được gọi là iđêan chính của S Cho x là một phần tửkhác 0 của nửa nhóm số S, nửa nhóm số có dạng (x + S) ∪ {0} được gọi làpi-nửa nhóm

Đối với nửa nhóm số S cho trước, ta định nghĩa

Kết quả này cho thấy từ một nửa nhóm số cho trước ta nhận được vô sốnửa nhóm số với chiều nhúng tối đại Các nửa nhóm số khác nhau sinh racác nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại khác nhau Tất cả các nửa nhóm sốvới chiều nhúng tối đại đều được xây dựng bằng cách này.

Trong phần này chúng tôi trình bày một số đặc trưng của nửa nhóm số

Arf và với một nửa nhóm số cho trước chúng ta sẽ tính toán nửa nhóm sốArf bé nhất chứa nó

Từ Mệnh đề 1.2.12, ta suy ra nửa nhóm số Arf có chiều nhúng tối đại.2.1.2 Ví dụ Chom là một số nguyên dương, khi đó nửa nhóm số {0, m, →}

là một nửa nhóm số Arf Chú ý rằng nửa nhóm số T ở Ví dụ 1.2.14 có chiềunhúng tối đại, nhưng không phải là nửa nhóm số Arf, bởi vì 14 + 14 − 13 =

15 /∈ T

Cho trước một số nguyên dương x trong nửa nhóm số S Từ định nghĩa,

ta dễ dàng suy ra nửa nhóm số (x + S) ∪ {0} là Arf khi và chỉ khi S là nửanhóm số Arf

2.1.3 Mệnh đề Cho S là một nửa nhóm số và x ∈ S∗ Khi đó S là nửanhóm số Arf khi và chỉ khi S0 = (x + S) ∪ {0} là nửa nhóm số Arf

Đặc biệt, S là nửa nhóm số Arf khi và chỉ khi mọi phần tử trong P I(S)

là Arf

Cho S là một nửa nhóm số Arf Khi đó S có chiều nhúng tối đại Theo Hệquả 1.2.13, tồn tại nửa nhóm số S0 và x ∈ S0\{0} sao cho S = (x + S0)\{0}

Nếu S 6= N thì S ( S0 Theo Mệnh đề 2.1.3 thì S0 cũng là một nửa nhóm sốArf Ta có thể lặp lại phương pháp này đối với S0 và nhận được nửa nhóm

số Arf S” và y ∈ S”\{0} sao cho S0 = (y + S”) ∪ {0} Do N\S có hữu hạnphần tử, nên quá trình trên là hữu hạn, làm theo cách này ta có được mộtdãy tăng dần các nửa nhóm số Arf:

và xi ∈ {xi+1, xi+1 + xi+2, , xi+1 + + xn, →} với mọi i ∈ {1, , n}

Chứng minh Điều kiện cần Suy ra từ việc xây dựng chuỗi

(7 + S) ∪ {0}, (11 + S) ∪ {0}, (13 + S) ∪ {0},

là các nửa nhóm số Arf Mệnh đề 2.1.3 cũng cho thấy T = −7 + S∗ là mộtnửa nhóm số Arf bởi vì S = (7 + T ) ∪ {0}

Chú ý rằng giao hữu hạn các nửa nhóm số là một nửa nhóm số Ví dụ saucho thấy rằng tính chất này không đúng trong trường hợp vô hạn.

2.1.6 Ví dụ Có thể dễ dàng thấy rằng

\

n∈N

hn, n + 1i = {0}

Từ định nghĩa ta cũng dễ dàng suy ra mệnh đề dưới đây

2.1.7 Mệnh đề Giao của hữu hạn nửa nhóm số Arf là một nửa nhóm sốArf

Cho S là một nửa nhóm số Do phần bù của S trong N là hữu hạn nêntập các nửa nhóm số Arf chứa S cũng hữu hạn Mệnh đề 2.1.7 đảm bảo rằnggiao của những nửa nhóm số này cũng là một nửa nhóm số Arf Chúng ta sẽ

ký hiệu giao này bởi Arf(S) và gọi là bao đóng Arf của S Dễ thấy rằng baođóng Arf của S là nửa nhóm số Arf bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa S

Nếu X là một tập con khác rỗng của N với gcd(X) = 1 thì hXi là mộtnửa nhóm số Bất kỳ nửa nhóm số Arf nào chứa X thì phải chứa hXi Điều

đó cho thấy rằng bao đóng Arf của X cũng chính là Arf(hXi) Vì vậy, ta cóthể viết Arf(X) thay cho Arf(hXi)

Việc xác định tập các nửa nhóm số chứa một nửa nhóm số cho trước là vấn

đề có thể không hấp dẫn Thậm chí nếu ai đó phải chỉ ra đâu là nửa nhóm

số Arf trong số chúng, thì sau đó cũng không cần tính toán giao của tất cảchúng và cũng không cần phải chỉ ra cái nào là nhỏ nhất Sau đây chúng tôitrình bày một phương pháp rất hiệu quả để xác định bao đóng Arf được giớithiệu trong [4]

2.1.8 Bổ đề Cho S là một vị nhóm con của của vị nhóm cộng các số tựnhiên N Khi đó

S0 = {x + y − z|x, y, z ∈ S, x ≥ y ≥ z}

là một vị nhóm con của N và S ⊆ S0