Về tích tenxơ của các không gian babach

tôpô đối với không gian tích tenxơ, và nghiên cứu cấu trúc giải tích của chúng đã được thực hiện trên không gian tuyến tính tôpô, không gian lồi địa phương xem[1], [3].. Từ đó, người ta

KHOA TOÁN

ĐINH BÍCH HẢO

VỀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHÔNG GIAN BANACH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN HỌC

VINH - 2010

KHOA TOÁN

VỀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHÔNG GIAN BANACH

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

Tích tenxơ của các không gian véctơ là phép toán quan trọng của toán học Các kết quả của phép tính tenxơ có ứng dụng sâu sắc trong nhiều ngành toán học khác nhau như giải tích, đại số và hình học Đặc biệt phép tính tenxơ có nhiều ứng dụng quan trọng trong một số ngành khoa học tự nhiên khác như: vật lý lý thuyết, hoá học, sinh học,…Phép tính tenxơ vừa là công cụ, vừa là một đối tượng nghiên cứu của một số chuyên ngành toán học Trong Toán giải tích, các vấn đề về trang bị

tôpô đối với không gian tích tenxơ, và nghiên cứu cấu trúc giải tích của chúng đã được thực hiện trên không gian tuyến tính tôpô, không gian lồi địa phương (xem[1], [3]) Từ đó, người ta thu được các ứng dụng trong Lý thuyết toán tử, Giải tích phức,… Trong khuôn khổ một khoá luận tốt nghiệp đại học, chúng tôi lựa chọn trình bày một số vấn đề cơ bản nhất về tích tenxơ của hai không gian Banach thông qua đề tài:

Về tích tenxơ của các không gian Banach.

Dựa vào tài liệu [4], chúng tôi trình bày 2 phương pháp trang bị chuẩn đối với tích tenxơ của hai không gian Banach và nghiên cứu một số ví dụ, tính chất của các không gian đó Với nội dung đó khoá luận được viết thành 2 chương:

Chương 1 Tích tenxơ của các không gian vectơ.

Chương 2 Tích tenxơ của các không gian Banach.

Khóa luận được hoàn thành tại trường đại học Vinh dưới sự hướng dẫn chu

đáo và nhiệt tình của Ths Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc

tới thầy giáo Kiều Phương Chi, các thầy cô giáo trong khoa Toán, tập thể lớp 47A, bạn bè và người thân, đặc biệt là gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa luận

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song khóa luận không tránh khỏi những thiếu xót về nội dung và hình thức Tác giả rất mong sẽ nhận được những lời chỉ bảo quý báu của thầy cô giáo và sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận hoàn thiện hơn

Vinh, ngày 08 tháng 05 năm 2010

Đinh Bích Hảo

Chương 1: TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Chương này trình bày một số kết quả về không gian véctơ, không gian Banach cần dùng về sau và tích tenxơ của các không gian véctơ

1.1 Không gian véctơ

1.1.1 Định nghĩa Tập hợp V ≠ ∅ cùng với phép cộng véctơ: V V× →V

( x y; ) a x y+

và phép nhân vô hướng: K× →V V

( α; x) a αx

được gọi là không gian véctơ trên trường K nếu với mọi x y z V, , ∈ và α β, ∈K

các điều kiện sau đây thỏa mãn:

)

iii Tồn tại véctơ không, có tính chất 0+ = + =x x 0 x

) 1

Ta gọi phần tử của V là véctơ, phần tử của K là phần tử vô hướng.

1.1.2 Ví dụ 1) Cho K là một trường Khi đó n { }

1( , , ) :n i

không gian véctơ với hai phép toán cộng và nhân vô hướng thông thường

2) Tập tất cả các đa thức một biến K[ ]x với phép cộng đa thức thông thường

và phép nhân đa thức với phần tử của trường là một không gian véctơ

λ = λ ∀ ∈ ∀ =λ K là một không gian véctơ

1.1.3 Định nghĩa Cho X là không gian véctơ trên trường K Một tập con hữu hạn

{ 1, , ,2 n}

M = x x x ⊂ X gọi là độc lập tuyến tính nếu α α1, 2, ,αn∈K mà

Nếu f X: →Y là ánh xạ tuyến tính thì ánh xạ f∗:Y# → X# xác định bởi

( )

f y = y fo ∀ ∈y Y gọi là ánh xạ đối ngẫu của f.

Ánh xạ tuyến tính f X: →Y là song ánh được gọi là một phép đẳng cấu đại số, các không gian X, Y gọi là đẳng cấu đại số với nhau

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Định nghĩa Giả sử E là không gian véctơ trên trường K và p E: →¡ :

x a x là một hàm, hàm p được gọi là một chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều

kiện sau:

) , ;

1.2.2 Định nghĩa Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu E

không gian mêtric đầy đủ đối với mêtric sinh bởi chuẩn

Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ

1.2.3 Ví dụ 1) Xét Kn là không gian tuyến tính trên K Với mỗi

2) Cho K là không gian tôpô Hausdorff compact, C K( ) là không gian các hàm

liên tục trên K Khi đó C K( )là không gian Banach với chuẩn f : sup f x( )

1.2.4 Định nghĩa Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường K Ánh xạ

tuyến tính f X: →Y được gọi là liên tục tại a X∈ khi và chỉ khi với mọi ε >0, tồn tại δ >0 sao cho ∀ ∈x X mà x a− <δ thì f x( ) − f a( ) <ε Kí hiệu L

(X,Y) là không các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y.

Không gian L( X,K) = X∗ được gọi là không gian liên hợp ( hay đối ngẫu) thứ

nhất của X

Không gian L( X∗,K) = X∗∗ được gọi là không gian liên hợp thứ hai của X.

1.2.5 Định nghĩa Cho X, Y là các không gian định chuẩn Ánh xạ f X: →Y

được gọi là một đẳng cự nếu f x( ) − f y( ) = −x y ,∀x y X, ∈

1.2.6 Định lý Cho E là không gian Banach Khi đó Enlà không gian Banach với

Từ đây suy ra x i k −x i l < ∀ε, k l k, ≥ 0,∀ =i 1, , n Do đó, với mỗi i =1, ,n,

Vì vậy x k →p xkhi k → ∞ Điều phải chứng minh

Chứng minh tương tự ta nhận được các kết quả sau

1.2.7 Định lý Cho E là không gian Banach Khi đó

1.3 Tích tenxơ của các không gian vectơ

1.3.1 Định nghĩa Cho X Y Z, , là các không gian vectơ trên trường K Ánh xạ

:

1)A( α1 1x +α2 2x y, ) =α1A x y( 1, ) +α2A x y( 2, ),

2) A x( ,β1 1y +β2 2y ) = β1A x y( , 1) +β2A x y( , 2),

với mọix x X y y Y i, ∈ , ,i ∈ và ,α βi i∈K.,i =1,2 Nếu Z =K thì ta gọi là dạng song tuyến tính.

Kí hiệu B X Y Z( × , ) là tập hợp các ánh xạ song tuyến tính từ X Y× vào

Z, khi đó B X Y Z( × , ) là không gian véctơ trên trường K với các phép toán cộng

và nhân vô hướng các ánh xạ theo điểm thông thường Ta ký hiệu B X Y( × ) là

không gian véctơ của các dạng song tuyến tính.

1.3.2 Định nghĩa Cho X Y, là các không gian véctơ trên trường K Với mỗi

=

=∑ ⊗ là một tenxơ và A là một dạng song tuyến tính thì sự tác

(a) ( x1 + x2) ⊗ = ⊗ + ⊗y x1 y x2 y;

(b) x⊗( y1 + y2) = ⊗ + ⊗x y1 x y2;

(c) λ ( x⊗ y) ( )= λx ⊗ = ⊗y x ( ) λy ;

(d) 0⊗ = ⊗ =y x 0 0

Sử dụng (c) suy ra u còn có sự biểu diễn

1

n

i i i

=

=∑ ⊗ Mệnh đề sau đưa ra cách xác định cơ sở đối với không gian tích tenxơ

1.3.3 Mệnh đề Cho X và Y là không gian vectơ.

a) Cho E và F tương ứng là tập con độc lập tuyến tính của X và Y Khi đó:

=

=∑ ⊗ = 0; x i ∈E y; i∈F,λi ∈K.Với mỗi ϕ∈X#;ψ ∈Y#, xét dạng song tuyến tính xác định bởi

1.3.4 Nhận xét 1) Từ Mệnh đề trên ta nhận được, nếu X, Y là không gian hữu hạn

chiều thì dim( X ⊗Y)= dim(X).dim(Y)

2) Cho mỗi 0 u X≠ ∈ ⊗Y , giả sử u có sự biểu diễn

1

n

i i i

=

= ∑ ⊗ với n là một số

tự nhiên nhỏ nhất Khi đó, các tập {x x1; ; ;2 x n} và { y y1; ; ;2 y n} là độc lập tuyến

tính Số n được gọi là hạng của u.

Mệnh đề sau mô tả đặc trưng của tenxơ không Từ đây ta nhận được đặc trưng của 2 tenxơ bằng nhau

1.3.5 Mệnh đề Cho

1

n

i i i

Lấy A B X Y∈ ( × ) và gọi E, F là các không gian con của X Y, tương ứng sinh bởi { x x1; ; ;2 x n} ; { y y1; ; ;2 y n} Gọi B là hạn chế của A trên E F×

Chọn trước cơ sở cho các không gian hữu hạn chiều E, F và xét một sự biểu diễn B dạng

bằng cách sử dụng sự biểu diễn của B được cho ở trên Lưu ý rằng A và B có thể là dạng song tuyến tính khác nhau trên X Y× , nhưng chúng bằng nhau trên E F× Khi đó ta có

Giả sử E, F tương ứng là không gian con của không gian véctơ X, Y Khi đó

E⊗Fcó thể được xem như không gian con củaX ⊗Y một cách tự nhiên như sau

Nếu

1

n

i i i

∑ trên X ⊗Y Khi đó, với mỗi dạng song tuyến tính B trên E×F tồn tại dạng song tuyến tính A trên X×Y

∑ trên E⊗F Suy ra điều phải chứng minh

Mệnh đề sau trình bày sự phân tích tích tenxơ qua tổng trực tiếp của tích tenxơ các không gian con

w

n

i i i

m

j j j

Định lý sau trình bày cấu trúc của đối ngẫu đại số của không gian X ⊗Y.

1.3.10 Định lý Nếu X Y, là các không gian véctơ trên trường K thì

A X% ⊗ →Y K xác định bởi u X∈ ⊗Y a A u%( ) =u A( ) Dễ dàng kiểm tra được

A% là dạng tuyến tính trên X Y⊗ Hơn nữa,

A x y

∑ Vì vậy A% hoàn toàn xác định Ta nhận được mệnh đề sau

1.3.11 Mệnh đề (tuyến tính hoá) Cho mỗi ánh xạ song tuyến tính: A X Y: × → Z ,

1.3.12 Mệnh đề Cho X và Y là các không gian vectơ Giả sử tồn tại một không

Chứng minh Đầu tiên ta chỉ ra W là bao tuyến tính của ảnh X Y× qua ánh xạ B

Thật vậy, áp dụng giả thiết định lý đối với A B= , Z =span (B X Y× ) và từ tính duy nhất của L ta nhận được W span (= B X Y× ) Tiếp theo, áp dụng giả thiết định lý cho Z = ⊗X Yvà ánh xạ

:

ta nhận được ánh xạ tuyến tính L W: → ⊗X Y sao cho L B x y( ( , ))= ⊗x y với mọi x y, . Mặt khác, theo Mệnh đề 1.3.11, tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính :

B X% ⊗ →Y W sao cho B x%( ⊗ =y) B x y( , ) với mọi x y, . Ta nhận được

( ( , )) ( , )

Vì X ⊗Y và W là tổ hợp tuyến tính của các phần tử x⊗ y và B x y( , ) suy ra

J = B% là đẳng cấu cần tìm

Sau đây ta định nghĩa tenxơ của hai ánh xạ tuyến tính

1.3.13 Định nghĩa Cho các ánh xạ tuyến tính S X: → E và T Y: →F Khi đó, tenxơ của T và S là ánh xạ tuyến tính T ⊗S X: ⊗ → ⊗Y E F được cho bởi

(S T x⊗ )( ⊗ =y) ( ) ( ),Sx ⊗ Ty ∀ ∈x X y Y, ∈

Sau đây ta đưa ra một số ví dụ về tích tenxơ của hai không gian

1.3.14 Ví dụ 1) Không gian của các ma trận

Xét tích tenxơ K n ⊗K m, ở đây K K n, m được cho với cơ sở tiêu chuẩn

{e e1, , ,2 e n} và { f f1, , ,2 f m} tương ứng Tích tenxơ có thể được đồng nhất với không gian vectơ M mn( )K của ma trận cấp m n× với các phần tử thuộc K Tenxơ

i j

e ⊗ f được đồng nhất với ma trận có số hạng bằng 1 ở vị trí ( ),i j và bằng 0 ở các vị trí khác.Vì vậy, cơ sở tích tenxơ {e i ⊗ f j} tương ứng là cơ sở tiêu chuẩn cho

( )

mn

2) Không gian hàm nhận giá trị vectơ

Cho F S( ) là không gian vectơ của tất cả các hàm từ S vào K, với định nghĩa

phép cộng và phép nhân với vô hướng thông thường Cho X là một không gian

vectơ và F S X( , ) là không gian vectơ của hàm từ S nhận giá trị trong X Cho

mỗi f ∈F S( ) và x X∈ , ta định nghĩa hàm S → X xác định bởi sa f s x( ) và

= = ∀ ∈

Nhưng những hàm tử định giá f a f s( ) là một tập con tách của không gian đối

ngẫu của F S( ).Vì vậy, áp dụng Mệnh đề 1.3.5 ta có

1

0

n

i i i

Chương 2: TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHÔNG GIAN BANACH

Chương này trình bày hai phương pháp trang bị chuẩn đối với tích tenxơ của hai không gian Banach

2.1 Tích tenxơ của không gian Banach với chuẩn xạ ảnh

Cho X, Y là các không gian Banach và với mỗi u X∈ ⊗Y ta định nghĩa

2.1.1 Định lý Nếu X và Y là các không gian Banach thì π là một chuẩn trên

π =π λ λ− ≤ λ π λ−với mọi sự biểu diễn của u Suy ra λ π ( )u ≤π λ ( )u Do đó, π λ ( )u = λ π ( )u

với mọi λ∈Kvà u X∈ ⊗Y

Tiếp theo ta chỉ ra π thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Với u v X, ∈ ⊗Y

và cho ε >0 tuỳ ý Khi đó từ tính chất của cận dưới đúng ta chọn được các biểu

diễn

1

n

i i i

Cuối cùng, giả sử π ( )u = 0 Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại một biểu diễn

=

≤

∑ Do đó, với mọi ϕ∈X∗,ψ ∈Y∗ ta có

( ) ( )1

n

i i i

2.1.2 Định nghĩa Chuẩn π trên X ⊗Yxác định như trong (2.1) được gọi là

Suy ra oB u( ) ≤π ( )u ,∀ ∈ ⊗u X Y Do vậy, oB là một hàm tuyến tính bị chặn trên không gian được định chuẩn ( X ⊗Y,π ) và B% ≤1.Suy ra

Ta nhận được π(x⊗ =y) x y

2.1.4 Nhận xét Ta sẽ ký hiệu tích tenxơ X ⊗Y được cho bởi chuẩn xạ ảnh, π là

X ⊗π Y Ta có X ⊗π Y không đầy đủ nếu X Y, đồng thời là vô hạn chiều, tức là

X ⊗π Y không phải là không gian Banach Bao đầy của X ⊗π Y được ký hiệu bởi X⊗µ πY Không gian Banach X⊗µ πY được gọi là tích tenxơ xạ ảnh của các

không gian Banach X, Y

Mệnh đề sau mô tả tích tenxơ xạ ảnh của một không gian hữu hạn chiều và không gian Banach

2.1.5 Mệnh đề Nếu X là một không gian Banach thì Kn⊗µ πX ≅ X n ,trong đó X n

là không gian Banach với chuẩn được xác định như trong Định lý 1.2.5.

n

i i i

1( , , )

Ta có ( )n *

i

ψ ∈ K Áp dụng (2.2) lần lượt cho các ψi ta nhận được các x i =0 Suy

ra x=0 Tiếp theo ta chỉ ra Φlà một toàn ánh Giả sử u = ⊗λ x∈Kn⊗ X với

Ta dễ dàng nhận được hệ quả sau

2.1.6 Hệ quả Tích tenxơ xạ ảnh của không gian hữu hạn chiều với không gian

Banach là một không gian Banach.

Mệnh đề sau mô tả cấu trúc của hình cầu đơn vị đóng của không gian tích tenxơ xạ ảnh Ta ký hiệu B X là hình cầu đơn vị đóng của không gian Banach X

2.1.7 Mệnh đề Hình cầu đơn vị đóng của X⊗µ πY là bao lồi đóng của tập

X Y

Chứng minh Vì hình cầu đơn vị đóng của X⊗µ πY là bao đóng của hình cầu đơn

vị đóng của tích tenxơ X ⊗π Y nên ta chỉ cần chứng minh mệnh đề cho không gian X ⊗π Y Giả sử u nằm trong hình cầu mở của X ⊗π Y Khi đó, theo định nghĩa của chuẩn xạ ảnh, tồn tại biểu diễn của u sao cho

n

i i i i i

X ⊗π Y Suy ra điều phải chứng minh

Định lý sau cho phép mô tả cấu trúc của đối ngẫu của không gian tích tenxơ

xạ ảnh

2.1.8 Định lý Giả sử B X Y: × → Z là một ánh xạ song tuyến tính bị chặn Khi

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.3.11, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính

:

B X% ⊗ →Y Z sao cho B x y%( , )= B x y( , ) với mọi x X∈ và y Y∈ Ta chỉ ra B%

là toán tử bị chặn đối với chuẩn xạ ảnh trên X ⊗Y Với

1

n

i i i

(bởi vì Blà song tuyến tính bị chặn) Bất đẳng thức trên đúng với mọi sự biểu diễn của u Suy ra B u%( ) ≤ B π( )u với mọi u X∈ ⊗Y Vậy B% là bị chặn và

xạ song tuyến tính bị chặn được xác định bởi B x y( , )= L x( ⊗ y) với mọi x X∈

và y Y∈ thoả mãn B L% = Suy ra ánh xạ Ba B% là một đẳng cự, đẳng cự giữa

Với Z là trường vô hướng ta nhận được hệ quả sau

2.1.9 Hệ quả Đối ngẫu của không gian tenxơ xạ ảnh X⊗¶ πY là không gian các

Sau đây chúng ta trình bày một ví dụ về tích tenxơ xạ ảnh quan trọng

2.1.10 Ví dụ Không gian tích tenxơ xạ ảnh µ

Dãy (a x n ) là dãy khả tổng tuyệt đối vì

Suy ra J u( ) 1 ≤π ( )u với mọi sự biểu diễn của u.

Ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại Với mỗi biểu diễn

1

m

i i i

vậy, cho Πk là phép chiếu của l1 lên k tọa độ đầu, tức là

i k i i i

l ⊗πX vào l X1( ) Hơn nữa, toán tử

này là toàn ánh Thật vậy, nếu v=( ) ( )x n ∈l X1 thì k n 0

2.2 Tích tenxơ của không gian Banach với chuẩn nội xạ

Cho X Y, là các không gian véctơ trên trường K và X# và Y# tương ứng là

đối ngẫu của đại số của X Y, Với mỗi x X y Y∈ , ∈ ta xét định nghĩa dạng song tuyến tính B x y, trên X#×Y# như sau

B

1( ) ( ) 0

n

i i i

∑ trong X ⊗Y Vậy J là một đơn ánh Do

đó ta có thể xem X ⊗Y là một không gian con của B X Y( #, #) bằng cách đồng

nhất x⊗ y với B x y, Chú ý rằng nếu

1

n

i i i

=

= ∑ ⊗ thì

# # 1

−

⊗

Ta có định lý sau.

2.2.1 Định lý Công thức (2.3) xác định một chuẩn trên X ⊗Y

Chứng minh Rõ ràng ε( ) 0u ≥ với mọi u X∈ ⊗Y Giả sử ε( ) 0u = Khi đó

( ) ( )1

0

n

i i i

i n

Vậy ε là một chuẩn trên X ⊗Y.

2.2.2 Định nghĩa Chuẩn ε trên X Y⊗ xác định như trong Định lý 2.2.1 được gọi

là chuẩn nội xạ trên X Y⊗

Không gian định chuẩn (X Y⊗ , )ε nói chung không phải là không gian Banach Bao đầy của (X Y⊗ , )ε là không gian Banach, ký hiệu là X ˆ Y

ε

⊗ và được

gọi là không gian tích tenxơ nội xạ của X và Y

Mệnh đề sau đưa ra một cách xác định khác của chuẩn nội xạ

Mặt khác, theo hệ quả của Định lý Hahn-Banach, với mỗi x X∈ tồn tại f0∈B X*

sao cho f x0( )= x Suy ra